Struktury niezawodnościowe
R(t) − funkcja niezawodności,
− szeregowa
Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą nieobciążoną. Czas zdatności elementu ma F(t) − funkcja zawodności,
1
2
rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest ET − oczekiwany czas zdatności,
równy 1500 [h]. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń elementu.
r(t) − pozostały oczekiwany czas zdatności,
Funkcja niezawodności takiej struktury jest iloczynem funkcji niezawodności poszczególnych f(t) − gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia,
elementów:
λ(t) − intensywność uszkodzeń,
R (t) = R (t) ⋅ R (t) ⋅...⋅ R (t)
u
1
2
n
Rezerwa nieobciążona
µ
− intensywność odnowy.
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Intensywność uszkodzeń takiej struktury jest równa sumie intensywności uszkodzeń Dane: ETu = 1500 [h]
Wzory ogólne
poszczególnych elementów:
Szukane: fe(t) = ?
λ (t) = λ (t) + λ (t) + ... + λ (t)
f(t)
R '
− (t)
u
1
2
n
R(t
) + F
(t
) = 1
, f(t) = R'
− (t) , λ(t) =
=
R(t)
R(t)
−
równoległa
1
f (t) =
, k = ?
Rozkład wykładniczy czasu zdatności elementu
k
λ − intensywność uszkodzeń elementu
k
3
=
=
u = ETe + ETe + ETe = 3ETe, ET
→ ET
k
e
2
u
2
1
Dla elementu:
−λt
R (t) = e
,
−λt
F (t) = 1 − e
,
−λt
f (t) = λe
, r (t) =
3
1
1
e
e
e
e
λ
k = 1500 → k = 1000 [h] → f (t)
e
=
2
1000 h
f (t)
λ (t)
e
=
= λ − dla rozkładu wykładniczego intensywność uszkodzeń elementu jest stała
1
1
e
dla t
∈ < 0,1 000h >
R (t)
e
Funkcja zawodności takiej struktury jest iloczynem funkcji zawodności poszczególnych Odp. f (t) = 1
000 h
.
e
elementów:
>
1
0 d
la t 1
000 h
ET =
− oczekiwany czas zdatności elementu,
=
⋅
⋅ ⋅
e
F (t)
F (t) F (t) . .. F (t)
λ
u
1
2
n
∞
Rezerwa nieobciążona
ET
R (t) dt − oczekiwany czas zdatności urządzenia,
Urządzenie składa się z trzech jednakowych elementów, elementu podstawowego i u =
∫ u
dwóch elementów rezerwowych będących rezerwą nieobciążoną. Czas zdatności elementu ma 0
∞
1
rozkład wykładniczy z parametrem λ równym 0,005 [1/h]. Wyznaczyć oczekiwany czas r (t)
R (x)dx − pozostały oczekiwany czas zdatności urządzenia,
zdatności urządzenia.
u
=
∫ u
R (t)
u
t
Rozkład jednostajny czasu zdatności elementu
Rezerwa nieobciążona
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy z parametrem λ
k − kres górny czasu zdatności elementu
Dane: λ = 0,005 [1/h]
Oczekiwany czas zdatności takiego układu jest równy sumie oczekiwanych czasów zdatności t
t
Szukane: ETu = ?
Dla elementu: R (t) = 1−
, F (t) =
poszczególnych elementów:
e
k
e
k
ET = ET + ET + . .. + ET
u
1
2
n
1
f (t) =
dla rozkładu jednostajnego gęstość prawdopodobieństwa
−
Rezerwa obciążona (zwykłe równoległe połączenie)
ETu = ETe + ETe + ETe = 3ETe, ETe = ?
e
k
uszkodzenia elementu jest stała
1
3
ET =
→ ET =
= 600[ h]
e
λ
u
λ
k − t
f (t)
1
r (t) =
, λ (t)
e
=
=
Odp. ETu = 600 [h].
e
2
e
R (t)
k − t
k
ET =
− oczekiwany czas zdatności elementu,
e
2
ET
R (t)dt − oczekiwany czas zdatności urządzenia,
Tu oczekiwany czas zdatności urządzenia liczymy wg wzoru całkowego. Pozostałe parametry u = ∫
u
[f
0
u(t), λu(t)] liczymy z podstawowych wzorów.
k
1
r (t)
R (x)dx − pozostały oczekiwany czas zdatności urządzenia,
Używane w zadaniach całki i pochodne
u
=
∫ u
R (t)
u
t
n+1
∫
1
'
'
tn
= t
dt
−
−
−
−
,
-λt
λt
∫e dt =
e
, ( n
t )
n 1
= nt , ( λt
e
)
λt
= −λe
n +1
− λ
Zadanie 16
ET
ET
R (t) dt , R
A =
u = ETA + ETA + ETA = 3ETA, ETA = ?,
∫
A(t) = ?
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych A
0
elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0.
elementów. Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu jest równa 1/300 [1/h].
R (t) = 1− F (t) , F (t
) = F
(t) ⋅ F (t) = F2 (t) ,
−λt
F (t) = 1 − e
Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h]. Obliczyć oczekiwany czas zdatności Obliczyć oczekiwany czas zdatności urządzenia.
A
A
A
e
e
e
e
2
urządzenia.
F (t) = (
−λt
1 − e
= 1− 2e− + e− → R (t )=1 − 1− 2e− + e−
= e
2 − − e−
A
(
λt
2λt )
λt
2λt
A
)
λt
2λt
∞
∞
∞
∞
∞
ET =
−
∫
− −
=
−
∫
−
−
∫
=
−
−
−
=
A
(2e λt e 2λt)
2
dt
2 e λt dt
e 2λt dt
[ λt]
1
e
[e 2λt]
Rezerwa nieobciążona
Rezerwa nieobciążona
− λ
− 2λ
Rozkład czasu zdatności − jednostajny
0
0
0
0
0
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
2
1
2
1
3
1 1
(0 −1) +
(0 −1) =
−
=
Dane: ET
f (t)
e
=
e = 120 [h]
Dane:
− λ
2λ
λ
2λ
2λ
Szukane: ET
300 h
u = ?
3
9
1
9ET
2ET
2 ⋅ 450
Szukane: ET
= ⋅
=
=
=
=
=
=
u = ?
ET
3
, ET
→ ET
e → ET
u
100[
h]
u
2λ
2λ
e
λ
u
2
e
9
9
Odp. ET = 100[
h] .
ET
=
=
ET
R (t) dt , R
A =
u = ETA + ETB, ET
ET
120[
h] ,
∫
B
e
A
A(t) = ?
0
2
2
t
t
t
R (t
) = R
(t) ⋅ R (t) = R2 (t) , R (t) = 1 − , R (t) = 1− = 1− 2 +
A
e
e
e
e
k
k
A
2
k
k
k
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech ET
ET
R (t)dt , R
A =
u = ETA + ETA = 2ETA, ETA = ?,
∫
A(t) = ?
jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy o wartości k
k
A
k
k
k
k
t
t2
2
1
2
3
0
k
oczekiwanej 1/λ. Wyznaczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia rozpatrywanego ET = ∫ 1− 2 +
dt
= ∫dt − ∫ tdt +
∫t2dt =
− +
=
A
2
2
2
2
[t] 2 t
1
t
k
k
k
k
0
k 2
k2 3
t
2
t
t
urządzenia.
0
0
0
0
= −
, F (t
) = F
(t) ⋅ F (t) = F (t) ,
= →
=
= −
0
0
R (t) 1 F (t)
F (t)
F (t)
→ R (t)
1
A
A
A
e
e
e
e
k
A
2
k
A
2
k
2 k2
1 k3
k
1
k −
+
= k − k + = k , k
= ?
k
k
k
k
t2
1
k
1
t3
1 k3
k
2k
k 2
k2 3
3
3
ET = ∫ 1−
dt
= ∫dt −
∫ t dt =
−
= −
= − =
A
2
2
[t]
k
k
k
k
0
k2 3
k2 3
3
3
Układ mieszany: rezerwa nieobciążona i obciążona
k
k
0
0
0
0
ET =
→
= 120 → k = 240 [h] → ET
e
A = 80 [h] → ETu = 200 [h]
Rozkład czasu zdatności − wykładniczy
2
2
2k
4k
1
1
1
4 ⋅ 300
ET = 2 ⋅
=
, k = ?, f (t) =
→
=
→ k = 300 [h] → ET =
= 400[ h]
1 1
u
e
u
Dane: ET
e =
Odp. ET
3
3
k
k
300
3
u = 200 [h].
λ h
Odp. ETu = 400 [h].
Szukane: fu(t) = ?
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych Zadanie 19
elementów. Oczekiwany czas zdatności elementu jest równy 120 [h]. Obliczyć oczekiwany Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z jednakowych czas zdatności urządzenia, jeżeli intensywność uszkodzeń elementu jest stała.
elementów. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 450 [h]. Obliczyć oczekiwany
czas zdatności elementu, jeżeli intensywność uszkodzeń elementu jest stała.
f (t) = −R ' (t) , R
u
u
u(t) = ?
2
Rezerwa nieobciążona
R (t) = 1− F (t) , F (t
) = F
(t) ⋅ F (t) = F (t)
Rezerwa nieobciążona
u
u
u
A
A
A
Rozkład czasu zdatności elementu −
Rozkład czasu zdatności − wykładniczy
Skorzystamy w tym momencie z wyniku zadania 36, w którym wyliczono funkcję wykładniczy
Dane: ET
zawodności [F
Dane: ET
u = 450 [h]
A(t)] struktury A (rezerwa nieobciążona):
e = 120 [h]
Szukane: ET
−λt
−
−
Szukane: ET
e = ?
F (t) = 1 − (1+ λt)e
F (t
)
= 1− (1+ λt)e
R (t) = 1 − 1 − (1 + λt)e
u = ?
→
→
u
(
)2
λt
u
(
)2
λt
A
f (t) = −(
−λt
1 − 1 − (1 + λt)e
= 2 1− (1+ λt)e− − λe− − (1+ λt)(−λ)e− =
u
)'2
(
)
(
λt )(
λt
λt )
ET
2
−λt
2λ te
(
−λt
1 − (1 + λt)e
)
u = ETA + ETA = 2ETA, ETA = ?
1
1
ET =
, λ
ET =
, λ = ?
−
−
A
A = λ + λ + λ = 3λ →
2
λt
λt
λ
A
3λ
Odp. f (t) = 2λ te
1 − (1+ λt)e
u
(
)
A
1
1 1
λ =
→ λ =
→ ETA = 40 [h] → ETu = 2ETA = 80 [h]
ET
120 h
e
Odp. ETu = 80 [h].
1
(3 < T ≤ 4)
1
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech P
.
Urządzenie składa się z dwóch jednakowych elementów, elementu podstawowego i
(
=
=
T > 3)
10
elementów, których intensywności uszkodzeń nie zależą od czasu, a ich wartości nie są znane.
7
7
elementu rezerwowego. Element rezerwowy jest rezerwą obciążoną. Intensywność uszkodzeń Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 500 [h]. Obliczyć oczekiwane czasy 10
elementu jest równa 0,001 [1/h]. Po wystąpieniu uszkodzenia dowolnego elementu urządzenie zdatności elementów wiedząc, że intensywność uszkodzeń pierwszego elementu jest dwa razy 1
(3 < T ≤ 4)
1
jest nadal zdatne, ale intensywność uszkodzeń działającego elementu wzrasta o 1,5. Do Odp. P(3 < T ≤ 4) =
, P
=
większa od intensywności uszkodzeń elementu drugiego.
(T > )
10
3
7
odnowy uszkodzonych elementów przystępuje się, gdy urządzenie jako całość przechodzi w stan niezdatności. Intensywność odnowy całego urządzenia jest równa 0,1 [1/h]. W trakcie A
odnowy usuwa się wszystkie uszkodzenia. Uszkodzenia o wspólnej przyczynie pomijamy.
1
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
Obliczyć stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne.
Urządzenie składa się z dwóch jednakowych elementów, elementu podstawowego i Dane: λ
1 = 2λ2, ETu = 500 [h]
elementu rezerwowego będącego rezerwą obciążoną. Intensywności elementów są stałe i Szukane: ET
Rozpatrywane stany urządzenia:
1 = ?, ET2 = ?
równe 0,01 [1/h]. Intensywności odnowy również są stałe i równe 0,1 [1/h]. Obliczyć 1
0 – wszystkie elementy zdatne
stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne. Pomijamy 1 – jeden element niezdatny
tzw. uszkodzenie o wspólnej przyczynie oraz zakładamy, że nie ma żadnych ograniczeń, co 2 – dwa elementy niezdatne
do liczby elementów, które mogą być odnawiane w tym samym czasie.
∞
(λ + 1,5λ)
ET
R (t)dt , R
u =
∫ u
u(t) = ?
Rozpatrywane stany urządzenia:
0
2λ
2,5λ
0 – wszystkie elementy zdatne
R (t
) = 1− F
(t) , F (t
) = F
(t) ⋅ F (t) = F2 (t)
u
u
u
A
A
A
1 – jeden element niezdatny
F (t
) = 1− R
(t) , R (t
) = R
(t)⋅ R (t),
−λ t
−
1
R (t
) = e
,
λ t
2
R (t
) = e
2 – dwa elementy niezdatne
A
A
A
e1
e2
e1
e2
0
1
2
λ
2
− λ
−
−
−
2
=
2λ t
λ t
3λ
2
2
2
=
⋅
=
1 = 2λ2 →
t
R (t
)
e
→
t
R (t
)
e
e
e
e1
A
2λ
λ
3
− λ t
2
−3λ t
3
− λ t
−6λ
2
F (t
) = 1− e
,
2
2
2
F (t) = 1− e
= 1− 2e
+ e
u
(
)
t
A
µ
−
−
−
−
2
2
2
2
R (t
) = 1
− 1− 2e
+ e
= 2e
− e
u
(
3λ t
6 λ t )
3λ t
6λ t
0
1
2
∞
∞
P
∞
∞
∞
o, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w
−
−
−
−
2
−
1
stanie 0, 1, 2, szukamy P
ET =
2e
−
2
∫
− e 2 dt = 2 e 2 dt
∫
− e 2 dt
∫
=
e
2
−
e
2
=
2.
u
( 3λ t 6λ t)
3λ t
6λ t
[ 3λ t]
[ 6λ t]
− 3λ
− 6λ
µ
0
0
0
2
2
2µ
0
0
−
P 2λ
o
+ P µ
2
= 0
2
1
2
1
3
1
(0 −1) +
(0 −1) =
−
=
=
−
P
λ
3
6λ
λ
3
6λ
6λ
2λ
o, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w
−
P 2,5λ
1
+ P 2λ
o
= 0
2
2
2
2
2
2
stanie 0, 1, 2, szukamy P
2
1
−
P µ
2
+ P 2,5λ
1
= 0
=
1
1
1
1 1
1
500 → λ
, ET =
= 1000[ h], λ
, ET =
= 50 [
0 h]
1 = 2λ 2 =
2 =
2λ
1000 h
2
λ
500 h
1
λ
−
P 2λ
Po + P1 + P2 = 1
o
+ P µ
1
=
2
2
1
0
Odp. ET
−
P µ
1
− P λ
1
+ P λ
2
o
+ P 2µ
2
= 0
1 = 500 [h], ET2 = 1000 [h].
z jednego równania możemy zrezygnować (mamy 4 równania i 3 niewiadome)
−
P µ
2
2
+ P λ
1
= 0
P µ
P µ
P
z pierwszego równania: P
2
=
, z trzeciego równania: P
2
=
o + P1 + P2 = 1
o
1
Czas zdatności pewnego obiektu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0, a 2λ
2,5 λ
kres górny nie jest znany. Wiadomo, że oczekiwany czas zdatności obiektu jest równy 5 lat.
P µ
P µ
Z drugiego równania możemy zrezygnować (mamy 4 równania i 3 niewiadome)
i podstawiamy do ostatniego równania otrzymując: 2
2
+
+ P =1
Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywany obiekt:
2λ
2,5 λ
2
a) uszkodzi się w czwartym roku użytkowania,
P µ
Z pierwszego równania: P
1
=
5λ
b) bezawaryjnie przepracował trzy lata, uszkodzi się w czwartym roku pracy.
o
2λ
po przekształceniach otrzymujemy: P =
2
4,5µ + 5λ
2
k
k
P 2µ
P µ
2
ET =
→
= 5 → k = 10 lat − kres górny czasu zdatności obiektu
Z trzeciego równania: P
2
=
, czyli: P =
i podstawiamy do ostatniego równania
1
1
1 1
1
1
o
e
2
λ =
µ =
=
2
2
λ
λ
podstawiając dane liczbowe:
,
otrzymujemy: P
.
1000 h
10 h
2
91
2
2
2
2
2
T − zmienna losowa czasu pracy obiektu do chwili powstania uszkodzenia
P µ
P 2µ
µ + 2µ + λ
λ
λ
2
2
+
+ P =1 → P
= 1 → P =
=
λ2
λ
2
2
λ2
2
2
2
2
µ + 2µ + λ
(µ + λ)
t
Odp. Stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne jest a) P(3 < T ≤ 4) = ? , P(3 < T ≤ 4) = F (4) − F (3) , F (t) =
e
e
e
1 1
1 1
1
k
Podstawiając dane liczbowe: λ =
1
, µ =
otrzymujemy: P =
2
równe
.
4
3
4
3
1
100 h
10 h
121
91
F (4) =
, F (3) =
→ P(3 < T ≤ 4) =
−
=
e
10
e
10
10
10
10
Odp. Stacjonarne prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywane urządzenie jest niezdatne jest
(3 < T ≤ 4)
(3 < T ≤ 4)
P[(3 < T ≤ 4) ∩ (T > 3)]
P(3 < T ≤ 4)
b) P
1
, P
=
=
(
=
T > )
?
3
(T > )3
równe
.
P(T > 3)
P(T > 3)
121
3
7
1
P(T > 3) = 1− P(T ≤ 3) = 1− F (3) = 1−
=
, P(3 < T ≤ 4) =
(policzone w punkcie a)
e
10
10
10
Zadania z ćwiczeń
F (t) = (
λ
−
−
−
−
−
−
−
3
3
3
1− e
= 1− e
2
+ e
→
3
3
3
3
R (t
) =1
− 1− 2e
+ e
= 2e
− e
C
(
λ t
2λ t )
λ t
2λ t
C
)2t
λ t
2λ t
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech
'
−λ t
−2λ t
−λ t
2
− λ t
3
3
3
3
R (t) = (
2 −λ )e
− (−2λ )e
= 2
− λ e
+ 2λ e
3
3
3
3
jednakowych elementów. Czasy zdatności elementów mają rozkłady wykładnicze o znanym
−λ t
−2λ t
−λ t
−λ t
−λ t
3
3
3
3
3
2λ e
− 2λ e
2λ e
(1− e
)
2λ (1− e
)
Czas zdatności obiektu ma rozkład jednostajny , którego kres dolny jest równy zero, parametrze λ. Obliczyć oczekiwany czas zdatności rozpatrywanego urządzenia.
3
1
3
3
λ (t) =
=
=
C
−λ t
−2λ t
−λ t
−λ t
−λ t
3
3
3
3
3
−
−
−
kres górny jest równy 10 lat. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że rozpatrywany obiekt: e
2
e
e
(2 e
)
2 e
a) uszkodzi się w trzecim lub czwartym roku użytkowania,
−λ t
−λ t
1
3
2λ (1− e
)
2λ (1− e
)
1
3
λ (t) =
+ λ +
b) uszkodzi się w dziesiątym roku użytkowania, jeśli wiadomo, że bezawaryjnie Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
u
λ
− t
2
−λ t
1
3
2 − e
2 − e
przepracował dziewięć lat.
Dane: λ
−λ t
−λ t
1
3
2λ (1− e
)
2λ (1− e
)
1
3
Szukane: ET
Odp. λ (t) =
+ λ +
.
u = ?
u
−λ t
2
−λ t
1
3
2 − e
2 − e
k = 10 lat − kres górny czasu zdatności obiektu
T − zmienna losowa czasu pracy obiektu do chwili powstania uszkodzenia
A
a) P(2 < T ≤ 4) = ? , P(2 < T ≤ 4) = F (4) − F (2) , F (t) =
∞
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z 4
e
e
e
k
ET
R (t) dt , R
jednakowych elementów. Czasy zdatności elementów mają rozkład jednostajny o kresie u =
∫ u
u(t) = ?
4
2
2
1
2
1
1
0
F (4) =
= , F (2) =
= → P(2 < T ≤ 4) = − =
dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności urządzenia jest równy 800 [h]. Obliczyć e
10
5
e
10
5
5
5
5
R (t
) = R
(t) ⋅ R (t), R
gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia elementu rozpatrywanego urządzenia.
u
A
B
A(t) = ?, RB(t) = ?
2
−
(
= −
=
⋅
=
= −
9 < T ≤ 0
1 )
(9 < T ≤ 10)
P[(9 < T ≤ 10) ∩ (T > 9)]
P(9 < T ≤ 0
1 )
R (t)
1 F (t) , F (t
)
F
(t) F (t)
F (t) ,
λt
F (t)
1 e
A
A
A
e
e
e
e
b) P
, P
=
=
(
=
T > )
?
9
(T > 9)
P(T > 9)
P(T > 9)
F (t) = 1− e−
= 1− 2e− + e− → R (t )=1 − 1− 2e− + e−
= e
2 − − e−
A
(
λt
2 λt )
λt
2 λt
A
(
)2
λt
λt
2 λt
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
10
9
9
1
2
−
2
−
Dane: ET
P(9 < T ≤ 10) = F (10) − F (9) , F (10) =
= 1, F (9) =
→ P(9 < T ≤ 10) = 1−
=
R (t) = R (t) ⋅ R (t) = R (t) ,
λt
R (t) = e
→
λt
R (t) = e
u = 800 [h]
e
e
e
B
e
e
e
e
B
10
e
10
10
10
Szukane: f
R (t
)
= e
2 − − e−
⋅e− = e
2 −
− e−
e(t) = ?
u
( λt 2λt) 2λt
3λt
4λt
9
1
P(T > 9) = 1− P(T ≤ 9) = 1− F (9) = 1−
=
∞
∞
∞
∞
∞
e
10
10
A
ET =
−
∫
− −
=
−
∫
−
−
∫
=
−
−
−
=
u
(2e 3λt e 4λt)
3λt
4 λt
2
dt
2 e
dt
e
dt
[ 3λt]
1
e
[e 4λt]
1
− 3λ
− 4λ
0
0
0
0
0
1
(
f (t) =
, k = ?
9 < T ≤ 10)
e
P
2
1
2
1
5
k
.
(
=
=
T > 9)
10
1
1
(0 −1) +
(0 −1) =
−
=
− λ
3
4λ
λ
3
4λ
2
1 λ
k
10
ET
R (t)dt , R
u =
5
∫ u
u(t) = ?
Odp. ET =
.
u
0
12λ
R (t
)
= R (t) ⋅R (t) = R2 (t) , R
u
A
A
A
A(t) = ?
2
Czas zdatności obiektu ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Wiadomo, że obiekt Zadanie 28
t
t
R (t) = 1− F (t) , F (t
) = F
(t) ⋅ F (t) = F2 (t) , F (t) =
→ F (t) =
przepracował bezawaryjnie s jednostek czasu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że nie A
A
A
e
e
e
e
A
2
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z elementów, k
k
przepracuje następnych x jednostek czasu.
2
których czasy zdatności mają rozkłady wykładnicze o znanych parametrach wynoszących 2
t
2
2
4
t
t
t
R (t) = 1−
→ R (t) = 1
−
= 1− 2
+
odpowiednio λ
A
2
u
2
2
4
1, λ2, λ3. Obliczyć intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia.
k
k
k
T − zmienna losowa czasu pracy obiektu do chwili powstania uszkodzenia
k
k
k
k
k
2
4
(
t
t
2
2
1
s < T ≤ s + x)
ET =
1
∫ − 2 +
dt =
dt
∫ −
t dt
∫
+
t4dt
∫
=
P
u
2
4
2
4
(
=
T > )
?
s
1
Rozkład czasu zdatności elementu −
k
k
k
k
0
0
0
0
wykładniczy
k
k
(
3
5
3
5
s < T ≤ s + x)
[P(s < T ≤ s + x)∩(T > s)] P(s < T ≤ s + x)
2
t
1
t
2 k
1 k
2k
k
8
P
Dane: λ1, λ2, λ3
[t] − + = −
+
= −
+ =
k
k
k
(
=
=
T > s)
0
2
4
2
4
P(T > s)
P(T > s)
k 3
k 5
k
3
k
5
3
5
15
B
Szukane: λu(t) = ?
0
0
1
1
P(s < T ≤ s + x) = F (s + x) − F (s) ,
− λt
F (t) = 1 − e
,
−λ(s+x)
F (s + x) = 1 − e
,
−λs
F (s) = 1 − e
8
e
e
e
e
e
A
k = 800 → k = 1500 [h] → f (t)
e
=
−
15
1500 h
λ(s+x)
P(s < T ≤ s + x) = 1− e
− (
−λs
1 − e
) −λs −λ(s+x)
= e − e
λ (t) = λ (t) + λ (t) + λ (t)
u
A
B
C
1 1
P(T > s) = 1− P(T ≤ s) ,
−λs
P(T ≤ s) = F (s) = 1− e
, P(T > s) = 1− (
−λs
1 − e
) −λs
= e
'
'
dla t
∈ < 0,1 500h >
e
− R (t)
− R (t)
λ (t)
A
=
, λ (t) = λ , λ (t)
C
=
, R
Odp. f (t) = 1
500 h
.
e
(
−
−
+
−
−
−
−
−
A(t) = ?, RC(t) = ?
s < T ≤ s + x)
λs
λ(s x)
λs
λs
λx
λs
e
− e
e
− e e
e
(
λx
1− e
)
A
R (t)
B
2
C
R (t)
P
.
A
C
0 d
la t > 1
500 h
(
−
=
=
=
= −
T > s)
λx
1 e
−λs
−λs
−λs
e
e
e
R (t) = 1− F (t) , F (t
) = F
(t) ⋅ F (t) = F2 (t) ,
−λ t1
F (t) = 1− e
A
A
A
e1
e1
e1
e1
F (t) = (
−λ
−
−
−
−
−
−
1
1
1
1− e
= 1− e
2
+ e
→
1
1
1
1
R (t
) = 1
− 1− 2e
+ e
= 2e
− e
A
(
λ t
2 λ t )
λ t
2 λ t
A
)2t
λ t
2λ t
'
−λ t
2
− λ t
−λ t
2
− λ t
1
1
1
1
R (t) = (
2 −λ )e
− ( 2
− λ )e
= 2
− λ e
+ 2λ e
A
1
1
1
1
−λ t
2
− λ t
−λ t
−λ t
−λ t
1
1
1
1
1
2λ e
− 2λ e
2λ e
(1− e
)
2λ (1− e
)
1
1
1
1
λ (t) =
=
=
A
−λ t
−2λ t
−λ t
−λ t
−λ t
1
1
1
1
1
2e
− e
e
(2 − e
)
2 − e
R (t) = 1 − F (t) , F (t
)
= F (t)⋅ F (t) = F2 (t)
C
C
C
e3
e3
e3
Zadanie 31
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z elementów, Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z 4
Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej ma zostać zbudowane z których czasy zdatności mają rozkłady wykładnicze o znanych parametrach odpowiednio jednakowych elementów. Czasy zdatności elementów mają rozkład jednostajny o kresie jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równych λ1 i λ2. Obliczyć oczekiwany czas zdatności oraz intensywność uszkodzeń dolnym równym 0. Oczekiwany czas zdatności elementu jest znany i równy 300 [h]. Obliczyć równym zero. Oczekiwany czas zdatności urządzenia ma być dwa razy większy od rozpatrywanego urządzenia.
oczekiwany czas zdatności oraz intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia dla oczekiwanego czasu zdatności elementu. Z ilu elementów należy zbudować rozpatrywane czasu równego oczekiwanego czasowi zdatności elementu.
urządzenie?
1
2
A
A
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
1
Dane: λ1, λ2
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
A
Dane: ET
u = ?, λu(t) = ?
e = 300 h
Dane: ETu = 2ETe
Szukane: ETu = ?, λu(t = ETe) = ?
Szukane: n − ilość elementów
B
1
∞
− R' (t)
R (t) dt , λ (t)
u
=
, R
u =
∫ u
u
u(t) = ?
R (t)
k
k
0
u
k
k
ET
R (t) dt , R
ET =
→ ET = 2
= k , ET
R (t) dt , R
R (t) = 1− F
u = ∫
u = ∫
u(t) = ?
R (t
) = 1− F
(t) , F (t
) = F
(t) ⋅ F (t) ⋅ F (t) = F3 (t) , F (t
) = 1− R
(t) , R (t
) = R
(t) ⋅ R (t)
u
e
u
u
u(t) = ?,
(t)
u
u
u
u
u
A
A
A
A
A
A
A
e1
e2
2
2
0
0
−λ t
−
−
−
−
+
−
+
1
R (t) = e
,
λ t
2
R (t) = e
,
λ t
λ t
( λ
λ )t
1
2
1
2
R (t
) = e
⋅e
= e
,
(λ
λ )t
1
2
F (t
) = 1− e
R (t) = R (t)⋅ R (t) , R (t) = 1− F (t) , F (t) = F (t) ⋅ F (t)
n
n
n
e1
e2
A
A
u
C
B
C
C
C
A
B
t
t
t
t
F (t) = F (t) ⋅ F (t) ⋅ F (t) ⋅...⋅ F (t) = Fn (t) , F (t) =
→ F (t) = =
→ R (t) = 1−
− +
− +
−
+
−
+
2
u
1
2
3
n
e
e
u
n
u
n
1
2
1
2
1
2
1
2
F (t) = 1− e
= 1− e
3
+ e
3
− e
t
2
t
t
t
k
k
k
k
u
(
(λ
λ
)3)t
(λ
λ )t
2( λ
λ )t
3( λ
λ )t
F (t
) = 1− R
(t) , R (t) = R
(t) ⋅ R (t) = R 2 (t) , R (t) = 1 −
, R (t) = 1− = 1− 2 +
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
−
+
A
A
A
e
e
e
e
A
2
k
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
R (t
) =1
− 1− e
3
+ e
3
− e
= e
3
− e
3
+ e
k
k
k
k
k
k
k
n
n 1
+
n 1
+
u
(
( λ
λ )t
2( λ
λ )t
3(λ
λ )t )
( λ
λ )t
2( λ
λ )t
3( λ
λ )t
t
1
k
ET =
1
∫ −
dt = dt
∫ −
t ndt
∫
=
−
= −
= −
=
u
n
n
[t] 1 t
1 k
k
nk
k
k
∞
∞
∞
∞
2
2
t
t
t
t
t
2
2
3
t
t t
t
t
0
n
n
+
+
+
+
− +
−
+
−
+
− +
−
+
−
+
= − −
+
=
−
=
=
=
−
=
−
k
k
k
n 1
k n 1
n 1
n 1
ET
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
= ∫
−
+
= ∫
− ∫
+ ∫
=
F (t)
1
1 2
2
, F (t)
F (t)
, F (t)
2
2
0
0
0
A
B
e
C
0
u
(3e (λ λ )t 3e 2(λ λ )t e 3(λ λ )t)dt 3 e (λ λ )t dt 3 e 2(λ λ )t dt e 3(λ λ )tdt 2
2
k
k
k
k
k
2
2
3
k
k k
k
k
nk
n
0
0
0
0
= k →
= 1 → 1 ≠ 0
∞
∞
∞
2
3
2
3
t
t
t
t
t
n +1
n +1
3
[ −
= −
−
= −
+
=
= −
(λ +λ )t
−
+
−
+
R (t)
1
2
1 2
, R (t)
R (t)
1
1
2
]
3
e
−
[ 2(λ λ )t
1
2
]
1
e
+
[e 3(λ λ )t
1
2
] =
C
2
3
2
3
B
e
−
k
k
k
k
k
(λ + λ )
− 2(λ + λ )
−3(λ + λ )
Opisana w zadaniu sytuacja jest w praktyce niemożliwa do zrealizowania.
1
2
1
2
1
2
0
0
0
2
3
2
3
4
t
t
t
t
t
t
t
Teoretycznie można ją zrealizować przy użyciu nieskończonej liczby elementów (n → ∞).
3
3
1
−
R (t) = 1− 2
+
⋅1− = 1−
− 2
+ 3
−
(0 −1) +
(0 −1) −
(0 −1) =
u
2
3
2
3
4
k
k
k
k
k
k
k
(λ + λ )
2(λ + λ )
3(λ + λ )
1
2
1
2
1
2
k
k
k
k
k
2
3
4
3
3
1
11
t
t
t
t
1
2
2
3
3
1
−
+
=
4
[
h]
ET = ∫ 1− − 2
+ 3
−
dt
= ∫dt − ∫ tdt −
∫t dt +
∫t dt −
∫t dt =
Czas zdatności obiektu ma rozkład jednostajny, którego kres dolny jest równy 0.
u
2
3
4
2
3
4
(λ + λ )
2(λ + λ )
3(λ + λ )
6(λ + λ )
k
k
k
k
k
k
k
k
1
2
1
2
1
2
1
2
0
0
0
0
0
0
Obiekt bezawaryjnie przepracował 1200 [h]. Oczekiwany pozostały czas zdatności tego k
k
k
k
obiektu jest równy 400 [h]. Obliczyć gęstość prawdopodobieństwa uszkodzeń
'
−(λ +λ )t
−2(λ +λ )t
3
− (λ +λ )t
2
3
4
5
2
3
4
5
1
2
1
2
1
2
R (t
) = [
3
−(λ + λ )]e
− [
3 − (
2 λ + λ )]e
+[− (
3 λ + λ )]e
=
k
1
t
2
t
3
t
1
t
1 k
2 k
3 k
1 k
u
1
2
1
2
1
2
[t] − − + − = −
−
+
−
=
k
rozpatrywanego obiektu.
0
2
3
4
2
3
4
(
− λ +λ )t
−2(λ +λ )t
3
− (λ +λ )t
k 2
k 3
k 4
k 5
k 2
k
3
k
4
k
5
1
2
1
2
1
2
− (
3 λ + λ )e
+ (
6 λ + λ )e
− (
3 λ + λ )e
0
0
0
0
1
1
2
1
2
1
2
f (t) =
, k = ?
k
2k
3k
k
23
e
k
2
k −
−
+
− =
k
(
3 λ
1
2
1
2
1
2
1
2
k
1 +
−(λ +
λ )e
λ )t
2
− (
6 λ1 +
−2(λ +
λ )e
λ )t
2
+ (
3 λ1 +
− (
3 λ +
λ )e
λ )t
(
3 λ
2
1 + λ )
2 ( 1 −
−(λ +
e
λ )t ) 1
λ (t)
2
3
4
5
60
1
t
k − t
k − x
u
=
=
−(λ
r (t)
R (x) dx , R (t) = 1−
=
, R (x) =
e
=
1+λ )t
2
−2(λ1+λ )t
2
−3(λ1+
λ )t
2
−(λ1+λ )t
2
−2(λ1+λ )t
2
e
3
− e
3
+ e
3 − e
3
+ e
h
k
k
∫ e
e
e
ET =
→
= 300 → k = 600[ h] → ET = 230[ h]
R (t)
k
k
k
e
e
t
2
2
u
2
11
(
3 λ
k
1
2
k
k
k
2
−
1 + λ )
2 ( 1 −
−(λ +
e
λ )t ) 1
2
3
Odp. ET =
[
h] , λ (t)
.
1
t
t
t
k
k
x
1
1
k
r (t) =
∫
dx =
k dx
∫ − xdx
∫
=
k
−
=
e
[x]
x
u
=
u
−(λ
+
−
+
1+λ )t
2
−2(λ1+λ )t
2
(
6 λ + λ )
3 − e
3
+ e
h
'
2
3
4
9
4
t
1
2
− R (t)
1
t
t
t
2
3
4
k − t k
k − t
k
− t
2
λ (t)
u
=
,
'
R (t) = −
− 4
+ 9
− 4
→
k
k
k
k
λ (t) =
t
t
t
t
u
R (t)
u
2
3
4
k
k
k
k
u
2
3
4
t
t
t
t
u
1 −
− 2
+ 3
−
2
2
2
2
3
4
−
−
k
k
k
k
1 k(k − t)
k
t
1
(k t) k t
−
−
=
=
1
2
3
k − t
2
2
k
− t
2
2
+
k
4
− k
9
+ k
k
4
2
3
4
4
1 1
−
1
1
λ (t
k 1200
r
=
=
→
= 400 → k = 2000 [h] → f (t)
e
=
e ( t
1200[
h] )
u
= ET )
e
= λ t
u
= = k
2k
4k
8k
= =
2
3
4
400 [
h]
2
k
k
k
k
k
150 h
2000 h
1−
− 2
+ 3
−
2
2k
4k2
8k3
16k4
1
1
dla t
∈ < 0, 2
000h >
1 1
Odp. f (t) = 2
000 h
.
Odp. ET = 230[ h], λ (t
.
e
u
= ET )
e
=
u
150 h
0 d
la t > 2
000 h
Zadanie 34
Zadanie 36
Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z dwóch Urządzenie o strukturze niezawodnościowej jak na rysunku składa się z czterech Urządzenie o szeregowej strukturze niezawodnościowej składa się z pięciu jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy o znanym jednakowych elementów. Czas zdatności elementu ma rozkład wykładniczy o znanym jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ, a intensywność parametrze λ. Wyznaczyć oczekiwany pozostały czas zdatności [ru(t)] tego urządzenia oraz parametrze λ. Elementy rezerwowe stanowią rezerwę nieobciążoną. Wyznaczyć funkcję odnowy jest równa µ. Obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia, obliczyć granicę, do jakiej dąży jego wartość, gdy czas dąży do nieskończoności.
niezawodności oraz intensywność uszkodzeń rozpatrywanego urządzenia.
zakładając, że element może ulec zniszczeniu wtedy, gdy urządzenie działa oraz, że nie rozpatrujemy tzw. uszkodzenia o wspólnej przyczynie.
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
Rozpatrywane stany urządzenia:
Dane: λ
Rozkład czasu zdatności elementu − wykładniczy
0 – urządzenie zdatne,
Szukane: r (t) = ? , lim r (t)
Dane: λ
1 – urządzenie niezdatne
u
=
u
t →
∞
Szukane: R
u(t) = ?, λu(t) = ?
5λ
∞
1
A
r (t)
R (x) dx , R
u
=
∫ u
u(t) = ?
R (t)
u
t
Funkcja zawodności struktury A (rezerwa nieobciążona) urządzenia może być 0
1
2
potraktowana jako dystrybuanta sumy niezależnych zmiennych losowych i wyrażona wzorem R (t) = 1− F (t) , F (t
) = F
(t) ⋅ F (t) = F2 (t) ,
−λt
F (t) = 1− e
→ F (t) = (
−λt
1 − e
= 1− e
2 − + e−
u
)
λt
2λt
u
u
u
e
e
e
e
(indeks „1” jest przypisany dla elementu podstawowego, zaś „2” dla elementu rezerwowego): µ
R (t
) =1
− 1− e
2 − + e−
= e
2 − − e−
,
−λx
2
− λx
R (x
) = e
2
− e
t
t
u
(
λt
2λt )
λt
2λt
u
dF1
∞
∞
∞
F (t)
F (t
τ) dF (τ) , f (τ) =
→ dF = f (τ)dτ → F (t)
F (t
τ) f (τ) dτ
Po, P1 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1
A
= ∫ 2 − ⋅
A
= ∫ 2 −
1
1
1
dτ
1
1
1
r (t)
−
−
−
−
=
∫
−
=
∫
−∫
=
0
0
u
−λt
−2λt
(2e λx e 2λx)
1
dx
2 e λx dx
e 2λx dx
2e
− e
2e−λt − e−2λt
− P λ
5
o
+ P µ
1
= 0
t
t
t
Wzór ten korzystając z oznaczeń na poniższym rysunku można interpretować jak niżej:
∞
∞
Po + P1 = 1
1
2
dτ
−
−
−
−
−
=
−
+
−
=
}
t
−λt
−2
[ λx
λt
]
1
e
[e 2λx]
1
2
λt
1
(0 e
)
(0 e 2λt )
2e
− e
− λ
− 2λ
2e−λt − e−2λt − λ
2λ
t
t
Współczynnik gotowości − kg = Po
2
0
−
τ
λt
1
e
−
e−2λt
P 5λ
P 5λ
µ
e−λt (4 − e λ
− t )
4 − e−λt
t − τ
P
o
=
, P
o
+
= 1 → P =
λ
2λ
=
=
1
µ
o
µ
o
µ + 5λ
2e−λt − e−2λt
2λe−λt (2 − e λ
− t ) 2λ(2 − e−λt)
Iloczyn f1(τ)dτ przedstawia prawdopodobieństwo tego, że element podstawowy uszkodził się w bezpośrednim sąsiedztwie „chwili” τ (w bardzo małym przedziale czasu, µ
Odp. k =
4 − e−λt
4 − 0
1
g
+
lim r (t) = lim
= lim
=
którego środkiem jest τ). F
µ
5λ
2(t − τ) jest to prawdopodobieństwo tego, że element rezerwowy
u
−
t
→ ∞
t
→ ∞ 2λ(2 − e λt )
t
→ ∞ 2λ(2 − )
0
λ
przepracował mniej niż (t − τ) jednostek czasu. Należy rozpatrzyć wszystkie możliwości tego,
4 − e−λt
1
że element pierwszy uszkodził się w chwili τ, a element drugi nie przetrwał w stanie zdatności Zadanie 38
Odp. r (t) =
, lim r (t) =
.
u
2λ(2 − e λ
− t )
u
czasu (t − τ), co przedstawia powyższa całka oznaczona obliczana w granicach od 0 do t.
t
→ ∞
λ
Urządzenie o szeregowej strukturze niezawodnościowej składa się z trzech Elementy są jednakowe, zatem funkcja zawodności i gęstość prawdopodobieństwa jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ, a intensywność uszkodzeń każdego z nich są odpowiednio równe:
odnowy jest równa µ. W przypadku wystąpienia uszkodzenia o wspólnej przyczynie
−λt
F(t) = 1− e
uszkodzenie urządzenia następuje z intensywnością λ
Urządzenie o strukturze szeregowej składa się z dwóch jednakowych elementów. Czas w. Odnowienie tak uszkodzonego
'
'
'
− λt
f(t) = −R (t) = 1
[ − F(t)] = F (t) = λe
urządzenia następuje z intensywnością odnowy µ
zdatności elementu ma rozkład jednostajny o kresie dolnym równym 0 i kresie górnym w. Obliczyć stacjonarny współczynnik
gotowości tego urządzenia.
równym k. Obliczyć pozostały oczekiwany czas zdatności tego urządzenia.
Funkcja zawodności struktury A urządzenia zatem jest równa:
t
t
t
t
− −
−
−
−
1
F (t) =
1
∫ − e
λe
dτ = λ e
dτ
∫
−λe
dτ
∫ = λ
e−
− λe− τ =
Rozpatrywane stany urządzenia:
A
(
λ(t τ) ) λτ
λτ
λt
[ λτ]
λt [ ] t
Rozkład czasu zdatności elementu − jednostajny
0
− λ
0
0
0
0
0 – wszystkie elementy zdatne,
Szukane: r (t) = ?
u
− ( λ−t
e
− )
−λt
−λt
1 − λe t = 1− (1+ λt)e
1 – jeden element niezdatny,
k
1
3 – trzy elementy niezdatne
r (t)
R (x) dx , R
Funkcja niezawodności struktury A może być obliczona ze wzoru:
u
=
∫ u
u(t) = ?
R (t)
−λt
λ
u
t
R (t) = 1− F (t) = (1+ λt)e
A
A
w
2
−
t
k − t
2
k − t
(k − t)
2
(k − x)
R (t
) = R
(t) ⋅ R (t) = R2 (t) →
2
2λt
R (t) = (1+ λt) e
R (t
) = R
(t) ⋅ R (t) = R 2 (t) , R (t) = 1−
=
→ R (t
)
=
=
, R (x
)
=
u
A
A
A
u
u
e
e
e
e
k
k
u
2
k
k
u
2
k
Intensywność uszkodzeń urządzenia obliczamy ze wzoru:
3λ
k
k
'
k 2
(k − x)2
1
− R (t)
2
2
1
A
r (t) =
∫
dx =
∫(x − k) dx = ∫(x − k) dx =
−
=
λ
=
u(t) = λA(t) + λA(t) = 2λA(t), λ
(t)
A
u
(x k)3
(k − t)2
k 2
(k − t)2
3
R (t)
A
t
t
0
1
3
2
−λt
2
2
k
λ t e
λ t
2λ t 1
1
1 [(
−
'
−λt
−λt
−λt
2
−λt
R (t) = λ e
− λ e (1+ λt)e = −λ t e → λ (t) =
=
→ λ (t)
u
=
x − )3
=
− −
=
−
=
A
A
(1+ λt)e−λt
1 + λt
1 + λt h
2
]
1
k
[0 (t k)3
2
]
1
k
t
(k
t)3
[
h]
(k − t) 3
3(k − t)
3(k − t)2
3
µ
t
2λ2 t 1
2
2
−
= +
λ (t)
.
u
=
k − t
Odp.
λt
R (t)
(1 λt) e
,
u
Odp. r (t) =
[
h] dla t ∈ (0, k >.
1 + λt h
u
3
µw
Po, P1, P3 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 3
P λ
3
P 2µ
P µ µ
Zadanie 41 (zadanie ze skryptu mgra inż. T. Rutkowskiego)
2
2
1
2
−
P λ
3 + P µ =
0 →
P
= o
z równania (2) wyznaczamy P
=
1: P
2 , i podstawiając do równania (1): P =
o
1
1
1
λ
o
2
λ
µ
Urządzenie składa się z elementu podstawowego i jednego elementu rezerwowego.
P µ µ
P 2µ
P λ
podstawiamy wyliczone wartości P
2
1
2
2
2
+
+ P =
Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ1, w gdy element pracuje i λ2 gdy jest w
−
P µ
o i P1 do równania (3):
1
2
2
3
w + P λ
o
w =
0 →
P
3 = o w
λ
λ
rezerwie. Uszkodzone elementy są odnawiane kolejno, a intensywność odnowy elementu jest
µw
2
2
równa µ. Pomijając uszkodzenie o wspólnej przyczynie obliczyć stacjonarny współczynnik
λ
λ
µ µ + 2µ λ
P
P =
→
1
2
2
k = 1− P = 1−
=
o + P1 + P3 = 1
2
2
gotowości tego urządzenia, gdy element rezerwowy będzie rezerwą:
µ µ + 2µ λ + λ
g
2
2
2
µ µ + 2µ λ + λ
µ µ + 2µ λ + λ
1
2
2
1
2
2
1
2
2
a) częściowo obciążoną
µ µ + 2µ λ
b) obciążoną
Współczynnik gotowości − k
Odp.
1
2
2
k =
.
g = Po
g
2
µ µ + 2µ λ + λ
c) nieobciążoną
1
2
2
P 3λ
P λ
µµ
P
o
o
w
+
+
= 1 → P
w
=
Rozpatrywane stany urządzenia:
o
µ
µ
o
µµ + 3λµ + λ µ
w
w
w
0 – wszystkie elementy zdatne
µµ
1 – jeden element niezdatny
Odp. k
w
=
Urządzenie składa się z elementu podstawowego i jednego elementu rezerwowego.
g
µµ + 3λµ + λ µ
Element rezerwowy jest rezerwą nieobciążoną. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa 2 – dwa elementy niezdatne
w
w
w
λ, zaś intensywność odnowy jest równa µ. Jeżeli przed zakończeniem odnowy uszkodzeniu Zadanie 39
ulegnie również drugi element, to urządzenie ulegnie zniszczeniu − nie można go odnowić.
a)
Pomijając uszkodzenie o wspólnej przyczynie, obliczyć stacjonarny współczynnik gotowości Urządzenie o równoległej strukturze niezawodnościowej składa się z dwóch λ
λ
tego urządzenia.
1 + λ 2
1
jednakowych elementów. Intensywność uszkodzeń elementu jest równa λ. Intensywność odnowy elementu może przyjmować jedną z dwóch wartości. Jest ona równa µ1, gdy Rozpatrywane stany urządzenia:
odnawiany jest jeden element. Jeśli w tym samym czasie „równolegle” są poddawane 0
1
2
0 – wszystkie elementy zdatne
odnowie obydwa elementy intensywność odnowy elementu spada, przyjmując wartość µ2. W
1 – jeden element niezdatny
rozpatrywanym przypadku nie ma żadnych ograniczeń, co do liczby elementów, które mogą 2 – dwa elementy niezdatne
µ
µ
być odnawiane w tym samym czasie. Wyznaczyć stacjonarny współczynnik gotowości tego urządzenia, pomijając tzw. uszkodzenie o wspólnej przyczynie.
λ
λ
Po, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
P µ
Rozpatrywane stany urządzenia:
−
P ( λ
o
1 + λ )
2
+ P µ
1
=
0 →
P
=
1
o
0 – wszystkie elementy zdatne,
0
1
2
λ1 +
λ2
1 – jeden element niezdatny,
−
P λ
z tego równania możemy zrezygnować
1
1 − P µ
1
+ P ( λ
o
1 + λ )
2
+ P µ
2
= 0
2 – dwa elementy niezdatne
µ
P λ
Ponieważ nie uwzględniamy uszkodzeń o wspólnej przyczynie, przejścia oznaczonego
−
P µ
2
+ P λ
1
1 =
0 →
P
2 = 1 1
linią przerywaną nie bierzemy dalej pod uwagę.
µ
Po, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
P
o + P1 + P2 = 1
−
P λ
o
+ P µ
1
=
0 (
1
)
2λ
λ
Podstawiając do ostatniego równania wyliczone wartości P
−
P µ
z tego równania możemy zrezygnować
o i P2 otrzymujemy:
1
− P λ
1
+ P λ
o
= 0
P µ
P λ
( λ + λ )µ
−
P
1
1
1
+ +
=
1
2
=
2 ⋅ 0 + P λ
1
1 =
0 (
2
)
P
1
P
1
1
2
λ +
→
λ
µ
µ + ( λ + λ )µ + ( λ + λ )λ
1
2
1
2
1
2
1
0
1
2
P
o + P1 + P2 = 1
P λ
( λ + λ )λ
2
µ + ( λ + λ µ
)
1
1
1
2
1
1
2
k = P + P = 1− P
P =
=
→ k
=1− P =
2
2
gc
2
2
µ
g
o
1
2
µ
µ + ( λ + λ µ
) + ( λ + λ )λ
µ + ( λ + λ µ
) + ( λ + λ )λ
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2µ2
z równania (2) P1 = 0, czyli z równania (1) Po = 0, stąd P2 = 1 i kg = 0.
P
b) w tym przypadku λ
o, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
2 = λ1
−
P 2λ
2λ
λ
o
+ P µ
1
1 =
0 (
1)
1
1
− P µ
(
z tego równania możemy zrezygnować
1
1 + λ) + P 2λ
o
+ P 2µ
2
2 = 0
− P µ
2
2
2 + P λ
1
=
0 (
2)
0
1
2
P
o + P1 + P2 =
1 (
3)
µ
µ
Ostatnie równanie tworzymy korzystając z warunku normującego.
Urządzenie ma strukturę równoległą, gdy co najmniej jeden element jest zdatny to Po, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
urządzenie jest zdatne. Prawdopodobieństwo stacjonarne takiej sytuacji jest tzw.
stacjonarnym współczynnikiem gotowości − kg, co można zapisać jak niżej:
k = P + P = 1− P , czyli należy wyznaczyć P
g
o
1
2
2.
P µ
z równania (1) wyznaczamy P
1
o: P
1
=
o
2λ
P µ
−
P 2λ
o
1 + P µ
1
=
0 →
P
= 1
o
λ
2 1
−
P µ
z tego równania możemy zrezygnować
1
− P λ
1
1 + P 2λ
o
1 + P µ
2
=
0
− P µ2+Pλ11 = 0→ P 2 = Pλ11
µ
P o +P1 +P2 =1
Podstawiając do ostatniego równania wyliczone wartości Po i P2 otrzymujemy:
P µ
P λ
2λ µ
2
P λ
2λ
1
+ P
1
1
+
= 1 →
1
P =
,
1
1
1
P =
=
2λ
1
µ
1
2
2
2
µ + 2λ µ + 2λ
2
2
µ
µ + 2λ µ + 2λ
1
1
1
1
1
2
µ + 2λ µ
1
k
= 1− P =
go
2
2
2
µ + 2λ µ + 2λ
1
1
c) w tym przypadku λ2 = 0 λ1
λ1
0
1
2
µ
µ
Po, P1, P2 − stacjonarne prawdopodobieństwa, że urządzenie znajduje się odpowiednio w stanie 0, 1, 2
P µ
−
P λ
o
1 + P µ
1
=
0 →
P
= 1
o
λ1
−
P µ
z tego równania możemy zrezygnować
1
− P λ
1
+ P λ
o
1 + P µ
2
= 0
− P µ2+Pλ11 = 0→ P 2 = Pλ11
µ
P o +P1 +P2 =1
P µ
P λ
Podstawiając do ostatniego równania wyliczone wartości P
1
1
1
+ +
=
o i P2 otrzymujemy:
P
1
λ
1
µ
1
λ µ
2
P λ
λ
2
µ + λ µ
1
P =
,
1
1
1
P =
=
→
1
k
=1− P =
.
1
2
2
µ + λ µ + λ
2
2
2
µ
µ + λ µ + λ
gn
2
2
2
µ + λ µ + λ
1
1
1
1
1
1