 | Pobierz cały dokument top.2008.czesc.1.pdf Rozmiar 76 KB |
Niczego nie dowodzić ani nie uzasadniać.
W zadaniach 1–7 pisać jedynie TAK lub NIE.
Przez topologię naturalną w R, R n lub ich podzbiorach rozumiemy – odpowiednio –
topologię daną przez metrykę euklidesową w R, R n, indukowaną z topologii danej przez tę metrykę w R (R n).
S
1. Niech Ap = {( x, y) ∈ R2 : x 2+ y 2 = p 2 }. Czy przestrzeń X = ( { 0 }× R) ∪ {Ap : p ∈ Q+ }
z topologią naturalną jest:
a) spójna, b) łukowo spójna, c) lokalnie spójna, d) zupełna, e) zwarta?
2. Czy przedział [1 , 2008] jest przestrzenią zwartą, jeśli rozważać w nim będziemy topologię indukowaną z R z topologią:
a) dyskretną, b) banalną, c) naturalną, d) topologią wyróżnionego punktu 999, e) topologią daną następująco: A jest otwarty ⇐⇒ A = ∅ lub A = R lub istnieje α: A = ( −α, α)?
S
3. Definiujemy: Bn = {( x, y) ∈ R2 : y = 1 x, x ∈ R }. Czy zbiór
{B
n
n : n ∈ N1 } jest jako
podzbiór R2 z topologią naturalną:
a) zwarty, b) nigdziegęsty, c) gęsty, d) otwarty, e) domknięty?
4. Czy poniższe podzbiory R2 (z topologią naturalną) zawierają podzbiory homeomorficzne z R (z topologią naturalną)?
a) koło domknięte jednostkowe
b) wykres funkcji R 3 x 7→ sin x ∈ R
c) odcinek domknięty o długości 1
d) R2 \ ( ( { 0 } × R) ∪ (R × { 0 }) ) e) R × Q
5. Czy poniższe zbiory są homeomorficzne z Z z topologią dyskretną: a) R z topologią dyskretną, b) Q z topologią dyskretną, c) R z topologią naturalną, d) Q z topologią naturalną, e) Z z topologią naturalną?
6. Czy istnieje ciągła surjekcja z X na Y , gdy X i Y są poniżej danymi podzbiorami R
z topologią naturalną:
a) X = [0 , 1] ∪ (2 , 3) Y = (0 , 1) b) X = [0 , 1] ∪ [2 , 3] Y = Q ∩ [0 , 1]
c) X = (0 , 1) Y = [1 , 2008]
d) X = (0 , 1) Y = { 1 , 2 , 3 , . . . , 2007 , 2008 }
7. Czy funkcja f : X 3 x 7→ x 2 ∈ Y jest ciągła, gdy X = R z topologią naturalną, a Y = R
z topologią:
a) prawych odcinków, b) wyróżnionego punktu 0, c) banalną, d) dyskretną, e) naturalną?
8. Podać przykład retrakcji R na [0 , 7].
9. Niech X = Y ×Y , gdzie Y = R z topologią prawych odcinków, w X rozważamy topologię produktową. Niech A = ( −∞, 1] × [1 , + ∞). Podać Int A oraz A.
√ √
√ √
10. Podać średnice zbiorów A i B, gdzie A = Q2 ∩ (( − 2 , 2) × ( − 2 , 2)) z metryką euklidesową, B = {( x, y) ∈ R2 : y = 2 x, x ∈ [0 , 2] } z metryką dyskretną 11. Podać przykłady pokazujące, że: a) zwartość, b) spójność, c) zupełność nie są własno-
ściami dziedzicznymi.
 | Pobierz cały dokument top.2008.czesc.1.pdf rozmiar 76 KB |