 | Pobierz cały dokument wyklad2.m.tekst.pdf Rozmiar 61 KB |
Różniczka funkcji
Definicja 28. Niech funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x 0 . Różniczką funkcji f w punkcie x 0
nazywamy funkcję df zmiennej ∆ x = x − x 0 określoną wzorem df (∆ x) = f ′( x 0)∆ x.
Fakt 6. Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x 0 , to f ( x) ≈ f ( x 0) + f ′( x 0)∆ x, przy czym błąd, jaki popełniamy dąży szybciej do zera niż ∆ x.
Przykład 33 . Obliczymy przybliżoną wartość e− 0 , 001 korzystając z różniczki funkcji.
5.6
Pochodne wyższych rzędów
Definicja 29. Jeśli pochodna funkcji f jest różniczkowalna w pewnym przedziale, to jej pochodną nazywamy drugą pochodną lub pochodną drugiego rzędu funkcji f i oznaczamy f ”( x) lub d 2 f .
dx 2
Ogólnie, pochodną rzędu n-tego funkcji f dla n 2 definiujemy wzorem (
) ′
f ( n)( x) = f ( n− 1)( x)
.
Przykład 34 . Obliczymy pochodne wyższych rzędów funkcji f ( x) = x 3 + 5 x + 2, g( x) = sin x.
5.7
Reguła de l’Hospitala
Twierdzenie 15. Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w sąsiedztwie punktu x 0 oraz 1. lim f ( x) = lim g( x) = 0 albo lim f ( x) = lim g( x) = ±∞; x→x 0
x→x 0
x→x 0
x→x 0
2. istnieje granica lim f′( x) ,
x→x g′( x)
0
to lim f( x) = lim f′( x) .
x→x g( x)
g′( x)
0
x→x 0
Powyższą regułę można stosować także przy liczeniu granic w ±∞ i granic jednostronnych.
Przykład 35 . Obliczymy lim sin x , lim ex−e−x , lim ln(ln x) , lim ln x
.
x→ 0
x
x→ 0
x
x→∞
x
ln sin x
x→ 0+
5.8
Twierdzenia o wartości średniej
Twierdzenie 16. (twierdzenie Rolle’a) Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [ a, b] i różniczkowalna na ( a, b) oraz f ( a) = f ( b) , to istnieje taki punkt c ∈ ( a, b) , że f ′( c) = 0 .
Twierdzenie 17. (twierdzenie Lagrange’a) Jeśli funkcja f jest ciągła na przedziale [ a, b] i różniczkowalna na ( a, b) , to istnieje taki punkt c ∈ ( a, b) , że f ( b) − f ( a)
f ′( c) =
.
b − a
10
Monotoniczność i ekstrema
Twierdzenie 18. Niech X ⊂ R oznacza dowolny przedział. Jeśli dla każdego x ∈ X funkcja f spełnia warunek
• f′( x) = 0 , to jest stała na X,
• f′( x) > 0 , to jest rosnąca na X,
• f′( x) 0 , to jest niemalejąca na X,
• f′( x) < 0 , to jest malejąca na X,
• f′( x) ¬ 0 , to jest nierosnąca na X.
Uwaga. Jeśli f ′( x) 0 dla każdego x ∈ X, a równość f ( x) = 0 zachodzi tylko dla skończonej liczby argumentów z X, to funkcja jest rosnąca na X.
Przykład 36 . Wyznaczymy przedziały, w których funkcja f ( x) = xex jest rosnąca oraz przedziały monotoniczności funkcji g( x) = x 2+3 .
x+1
Definicja 30. Niech f będzie funkcją określoną i ciągłą na przedziale [ a, b] i niech x 0 ∈ ( a, b) . Jeśli
 | Pobierz cały dokument wyklad2.m.tekst.pdf rozmiar 61 KB |