Zmienne losowe ciągłe - rozkład normalny Twierdzenie 1. Jeśli X:N(m,σ) to Z= X − m :N(0,1) σ
Twierdzenie 2. Jeśli zmienne losowe X1,...,Xn są niezależne i zmienna losowa Xi dla i=1,...,n ma n
n
n
rozkład X
N
m
2
,
σ
i:N(mi,σi) to zmienna losowa Y= ∑ X ma rozkład
∑
.
i
∑
i
i
i=1
i=1
i=1
Twierdzenie 2a. Jeśli zmienne losowe X1,...,Xn są niezależne i zmienna losowa Xi dla i=1,...,n ma n
rozkład Xi:N(m,σ) to zmienna losowa Y= ∑ X ma rozkład N( nm,σ n)..
i
i=1
n
Wniosek z Tw.1 i Tw. 2a. Jeśli zmienne losowe X1,...,Xn są niezależne, Y= ∑ X i zmienna i
i=1
−
losowa X
Y
nm
i dla i=1,...,n ma rozkład Xi:N(m,σ) to zmienna losowa Z=
ma rozkład N(0,1).
σ n
Twierdzenie 3. Jeśli zmienne losowe X1,...,Xn są niezależne i zmienna losowa Xi dla i=1,...,n ma n
1
n
n
1
1
rozkład X
N
m
2
,
σ
i:N(mi,σi) to zmienna losowa X =
∑ X ma rozkład
∑
.
i
∑
i
n
i
n 1
n
i=1
i=
i=1
Twierdzenie 3a. Jeśli zmienne losowe X1,...,Xn są niezależne i zmienna losowa Xi dla i=1,...,n ma n
1
σ
rozkład Xi:N(m,σ) to zmienna losowa X = ∑ X ma rozkład N m,
...
i
n i=1
n
n
1
Wniosek z Tw.1 i Tw. 3a. Jeśli zmienne losowe X1,...,Xn są niezależne, X = ∑ X i zmienna i
n i=1
−
losowa X
X
m
i dla i=1,...,n ma rozkład Xi:N(m,σ) to zmienna losowa Z=
σ ma rozkład N(0,1).
n
Twierdzenie 4. Jeśli zmienne losowe X1 i X2 są niezależne i zmienna losowa Xi dla i=1,2 ma rozkład X
2
2
i:N(mi,σi) to zmienna losowa X1─X2 ma rozkład N ( m − m , σ + σ
1
2
1
2 ).
Twierdzenie 4a. Jeśli zmienne losowe X1 i X2 są niezależne i zmienna losowa Xi dla i=1,2 ma rozkład Xi:N(m,σ) to zmienna losowa X1─X2 ma rozkład N ( , 0 σ 2 ).
Zmienne losowe skokowe - rozkład geometryczny Niech w powtarzanych dowolnie wielką liczbę razy niezależnych doświadczeniach Bernoulliego zmienna X oznacza liczbę doświadczeń do pojawienia się sukcesu.
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa: P{X=x}=pqx-1 dla x=1,2,...
E(X)=1/p
D2(X)=q/p2