Wydział WiLiŚ, Budownictwo i Transport, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
Pochodna funkcji
Zad.1 Oblicz pierwszą pochodną funkcji: 7
3
1.1 y = 5x15 − x7 + 3x − 2
1.2 y = 1 x3 − 3 x4 + 3x 3 + 7 2
3
2
√
√
√
1.3 y = 3 3 x − x3 + 2 4 x3
1.4 y =
5
√
− 5 5 x3 +
3
√
3
7 x
6
2
x
√
1.5 y =
2√
1.6 y = 3x−4· 6 x5
√
x3·
x
x·
x
√
√
1.7 y =
4x2 − 2x x · ( 2x +
x )
1.8 y =
8x3
x3 + x − 1
√
1.9 y =
x2 + 9 · x + 1
1.10 y = 1+ x
√
x
1+2
x
√
1.11 y =
1 + 4 4
1.12 y =
x2 + 4
x
q
1.13 y =
x2
√
1.14 y =
x2−3x+2
3 x3+1
x2−7x+12
1.15 y = 2x + sin 2x
1.16 y =
x
sin x+cos x
1.17 y = 4 cos5 x
1.18 y = 1 sin3 x − 2 cos5 x + 1 tg 7x 4
3
5
7
√
1.19 y = ctg 4 x
1.20 y = 3 cos x
sin3 x
√
1.21 y =
tg 2x − x2 · ( sin x + 3 x − 2 )
1.22 y = x sin x
1+tg x
q
√
q
p
1.23 y =
sin x +
x + 2 x
1.24 y =
1 + tg
x + 1
x
√
1.25 y = cos3 2x · sin2 3x
1.26 y =
x +
1 + x2 · tg 24x
1.27 y = e3x + 5x + 2x
1.28 y = ecos2 x
1.29 y = 3x · x3
1.30 y =
10x2 − 1 e−x
1.31 y = 1 ln 10x
1.32 y = ln tg
π + x
5
4
2
√
√
1.33 y = ln x +
1 + x2 + tg 2x
1.34 y = ln e2x +
1 + e4x + cos2 x
2
1.35 y = ln ( ln ( ln x ) )
1.36 y = log ( ln x )
x
√
1.37 y = log (sin x)
1.38 y = log (x2 + 1) + e x2+1
x
2
√
1.39 y = arctg x
1.40 y = arcsin
1 − 4x
2
√
1.41 y = arctg 1+x
1.42 y = arccos
x
1−x
2
√
√
1.43 y = x arctg x − ln(x2 + 4)
1.44 y =
4x − x2 + 4 arcsin
x
2
2
q
q
1.45 y =
1−arcsin x
1.46 y = arctg x + ln
1+x
1+arcsin x
1−x
1.47 y = x5x
1.48 y = (sin x)cos x
√
1.49 y = (cos x)arctg x
1.50 y = (x2 + 3) x
√
1.51 y = sin ( xtg x )
1.52 y = (1 + 1 )arcsin x2 +
π
x
Zad.2 Oblicz drugą pochodną funkcji:
2.1 y = arctg 2x
2.2 y = ln(1 + x2)
√
2.3 y = x esin x
2.4 y = ( arcsin x )2 + ln 3 1 + x2
Zad.3 Oblicz trzecią pochodną funkcji: 3.1 y = sin(1 − 3x)
3.2 y = 1+x
1−x
Zad.4 Oblicz wartość pochodnej rzędu n funkcji f (x) w punkcie x0: 4.1 f (x) =
ex
n = 1, x
n = 1, x
x+1
0 = 1
4.2 f (x) = ln x
x
0 = e
4.3 f (x) = 4x · arctg x
n = 1, x0 = 0
4.4 f (x) =
x+2
n = 2, x
x2−3x
0 = 2
√
4.5 f (x) = ln x +
x2 + 1
n = 2, x0 = 0
4.6 f (x) = sin x · cos x
n = 3, x0 = π2
Zad.5 Sprawdź czy funkcja y = x e− 1x spełnia równanie: x3 y00 − x y0 + y = 0.
Zad.6 Rozwiąż równanie f 0(x) = −2 , jeżeli f (x) = sin2 4x .
Zad.7 Rozwiąż nierówność f 0(x) > f 00(x) , jeżeli f (x) = x3 + 9x .
q
Zad.8 Oblicz
lim
x2 · f 0(x) , jeżeli f (x) =
x+1 .
x→∞
x−1
Zad.9 Zbadaj różniczkowalność funkcji: 9.1 f (x) = sgn x
9.2 f (x) = 1 ( |x| + |x − 2| )
2
9.3 f (x) = | x2 − x − 6 |
9.4 f (x) = 3
p(x − 1)2
−x
x 6 0
9.5 f (x) = ln |x|
9.6 f (x) =
x2
x > 0
Zad.10 Znajdź te wartości parametrów a i b, dla których funkcja f (x) jest różniczkowalna:
x2
x 6 3
a ex + b
x 6 0
10.1 f (x) =
10.2 f (x) =
ax + b
x > 3
2 − x
x > 0
Zad.11 Napisz równania stycznych do wykresów podanych funkcji we wskazanych punktach: 11.1 f (x) = ln x ,
(e, f (e))
11.2 f (x) = arctg 1−x ,
(1, f (1))
x
1+x
11.3 f (x) = ( ln x )x + 1,
(e, f (e))
11.4 f (x) = xsin x + 1,
(1, f (1))
Zad.12
Na wykresie funkcji y = ex znajdź punkt, w którym styczna jest równoległa do prostej x − y + 7 = 0 .
Napisz równanie tej stycznej.
Zad.13
Na wykresie funkcji
y =
1
znajdź punkty, w których styczna jest równoległa do osi ox.
1+x2
Napisz równania tych stycznych.
Zad.14
Wykaż, że styczne do krzywej y = 1+x2
w punktach przecięcia tej krzywej z prostą y = 1 przecinają się 3+x2
2
w punkcie (0, 1 ).
4
Zad.15 W jakim punkcie styczna do linii y = x−8 tworzy z osią ox kąt równy połowie kąta prostego?
x+1
Zad.16 Pod jakim kątem przecinają się krzywe y = sin x i y = cos x ?