Maria Kotełko
Mechanika
i Wytrzymałość
Materiałów
                                       
Zadanie nr 32 - Dostosowanie kierunku Automatyka i Robotyka
do prowadzenia studiów niestacjonarnych
Część II  Wytrzymałość Materiałów
Wykład 5.
1. Zało\
enia podstawowe przyjęte do obliczeń wałów skręcanych
2. Kąt skręcenia wału
3. NaprÄ™\
enia w wale skręcanym
4. Moc transmitowana przez wał
2
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Przekazywanie napędu przez silniki spalinowe, elektryczne na urządzenia i maszyny realizowane jest za pomocą
ró\
nych przekładni.
Podstawowymi elementami tych urządzeń są wały napędowe przekazujące momenty skręcające.
2S
d
2R
2S
R
S
P
S
l
2P
2P P
Obliczanie naprÄ™\
eń oraz odkształceń wałów o przekroju kołowym pełnym lub drą\
onym poddanych skręcaniu
przeprowadzamy w oparciu o zało\
enia teorii skręcania swobodnego.
1. pod wpływem momentu skręcającego przekroje poprzeczne pręta doznają wzajemnego obrotu w płaszczyznach
prostopadłych do osi pręta
2. naprÄ™\
enia styczne w płaszczyznach prostopadłych do osi wału są prostopadłe do promienia
3. tworzące na powierzchni pręta po odkształceniu mają kształt linii śrubowej
4. przekroje końcowe elementu pozostają płaskie.
3
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Skręcanie wału kołowego
Zało\
enia podstawowe:
ÄÁdF M dM =ÄÁÅ"ÁdF
ÄÁ ÄÁÅ"Á
ÄÁ ÄÁÅ"Á
ÄÁ ÄÁÅ"Á
s s
Tworząca K L obraca się o kąt ł (tworzy się linia śru-
bowa
Okręgi pozostają okręgami
ds = Å‚ dx
Á PromieÅ„ OL obraca siÄ™ o kÄ…t dÕ pozostajÄ…c liniÄ… prostÄ…
Á
Á
Á
L
dÕ
Õ
Õ
Õ
Przekroje końcowe wału pozostają płaskie (nie ma
Å‚ r deplanacji
Å‚
Å‚
Å‚
š
L przekroju)
NaprÄ™\
enia normalne są równe zeru
ds = r dÕ
dx
W przekroju poprzeczny m wału działają naprę\
enia
styczne (skrÄ™cajÄ…ce) Ä
dÕ
Warunek równowagi
LL1 = Å‚ dx Ò! Å‚ = Á
Á Á
dx
"M Ò! Ms = dF)Á
x Á
+"(Ä
E
Ä = G Å"Å‚ G = FÄ
Á Á
2(1+½ )
dÕ dÕ dÕ M
2
s
M = G Á dF = GJ0 Ò! =
s
+"
dx dx dx GJ0
F
4
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Skręcanie wału kołowego-kąt skręcenia
Ms
ÄÁdF dMs =ÄÁÅ"ÁdF
ÄÁ ÄÁÅ"Á
ÄÁ ÄÁÅ"Á
ÄÁ ÄÁÅ"Á
dÕ dÕ dÕ M
2
s
ds = Å‚ dx
M = G Á dF = GJ0 Ò! =
s
+"
Á
Á
Á
Á
dx dx dx GJ0
dÕ
Õ
Õ
Õ
F
Å‚ r
Å‚
Å‚
Å‚
Biegunowy moment bezw ładności przekroju
2 ds = r dÕ
dx
J0 = Á dF
+"
F
M
s
Õ = dx
+"GJ
Dla Ms /GJ0 = const:
L 0
M L
s
Õ =
GJ0
5
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Skręcanie wału kołowego-naprę\
enia tnÄ…ce
ÄÁdF Ms dMs =ÄÁÅ"ÁdF
ÄÁ ÄÁÅ"Á
ÄÁ ÄÁÅ"Á
ÄÁ ÄÁÅ"Á
ds = Å‚ dx
dÕ
Á
Á
Á
Á
dÕ
Õ
Õ
Õ
Ä = GÅ‚ = GÁ
Á Á
dx
r
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
M
s
Ä = Á
ds = r dÕ
Á
dx
J0
M
s
Á
Ä = Å" Ámax
max
J0
Ms
Ä = Á
Á
J0
Ms
J0
Ämax =
gdzie W0 =
W0 Ámax
6
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Warunek wytrzymałościowy
Ms max
Ämax = d" ks
W0
Rt
ks =
ns
7
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Biegunowy moment bezwładności wału
pełnego
dF=2Å"Ä„Á ´Á
r 4
Ä„ Å"(r )
2 3
JOR = Á dF =
+" +"2Ä„Á dÁ = 2
F
0
4
Ä„d
J0 =
r
32
Ä„d3
W0 =
16
8
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Biegunowy moment bezwładności wału
drÄ…\
onego
dF=2Å"Ä„Á dÁ
rz
Ä„ Å"(rz 4 - rw4)
2 3
JOR = dF =
z
rw
+"Á +"2Ä„Á dÁ =
Dz= 2rz
2
F rw
dÁ
rz
4
y Ä„ (dz 4 - dw )
J0 =
32
Wskaz
niki
4 4
Ä„ (dz - dw)
wytrzymałościowe
W0 =
16dz
nie sÄ… addytywne!
9
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Moc przenoszona (transmitowana)
przez wał
Ms=PÅ"R
P
S
dL = Pr dÕ =MsdÕ
P
dL=PRdĆ
dÕ
z
N = M
s
R
dt
y
N = Ms Å"Ö
gdzie É jest prÄ™dkoÅ›ciÄ… kÄ…towÄ… waÅ‚u ( É = 2Ä„ n) .
É Ä„
É Ä„
É Ä„
10
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Moc transmitowana przez wał
Zamiana jednostek
1000W Å" 60 N [kW ] N [kW ]
M [Nm] = = 9549,3 E"9550
s
2Ä„ n[obr / min] n[obr / min] n[obr / min]
75[kGm / s = KM ]100cmÅ"60 N [KM ]
M [kGcm] = = 71620
s
2Ä„ n[obr / min] n[obr / min]
11
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów
Przykład obliczeniowy
Obliczyć średnicę d i kąt skręcenia wału przedstawionego na rysunku:
Dane: P =5 kN, l = 40.0 mm R = l/4, ks = 80 MPa, G = 8· 10 4 MPa.
l
Ć 2d
P
R
R
Ć d
P
Ms=2PÅ"R
MS
12
Mechanika i Wytrzymałość Materiałów