19 Własności iloczynu skalarnego:
norma, kąt i odległość
Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym ., . .
Definicja 19.1 Normą (długością) wektora v " V nazywamy liczbę

v = v, v .
Uwaga 1 Z aksjomatu (IP1) wynika, że ¸, ¸ = 0, czyli ¸ = 0, a z (IP3),
że dla pozostałych v: v, v > 0, czyli norma jest dobrze określona.
Przykład 19.2 1. Norma pochodząca od standardowego iloczynu ska-
larnego wyraża się wzorem


n


(x1, . . . , xn) = x2.
i
i=1
2. W przestrzeni l2 norma wyraża się wzorem


"


(xn)n"N = x2 .
n
n=1
Twierdzenie 19.3 (nierówność Schwarza) Dla dowolnych wektorów
u, v " V spełniony jest warunek
| u, v | u v .
Równość | u, v | = u v zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wektory u, v są
liniowo zależne.
Dowód: Zauważmy, że jeżeli chociaż jeden z wektorów jest zerowy, to
prawa strona nierówności jest równa 0 na mocy poprzedniej uwagi, a lewa
także jest równa 0 z dwuliniowości iloczynu skalarnego. Oczywiście układ
zawierający wektor zerowy jest liniowo zależny.
Załóżmy teraz, że u, v = ¸. Dla dowolnego  " R na podstawie dwuli-

niowości i symetrii iloczynu skalarnego oraz definicji normy otrzymujemy
0 u +  · v, u +  · v = v 22 + 2 u, v + u 2
Ostatnie wyrażenie jest trójmianem kwadratowym zmiennej  o dodat-
nim współczynniku przy 2 (bo v = ¸), wiÄ™c jego wyróżnik jest niedodatni:

0 4 u, v 2 - 4 u 2 v 2,
1
co jest już równoważne tezie.
Jeżeli wektory u, v są niezerowe i liniowo zależne, to istnieje s = 0 takie,

że v = s · u. Wówczas
2

| u, v |2 = s2 u, u = s2 u 4 = u 2s2 u, u = u 2 v 2.

Na odwrót, jeżeli | u, v | = u v , to
0 = 4 u, v 2 - 4 u 2 v 2,
czyli trójmian kwadratowy v 22 + 2 u, v + u 2 ma pierwiastek s " R.
Zatem u +  · v, u + s · v = 0 i na mocy (IP3) dostajemy u = (-s) · v, co
oznacza zależność wektorów u, v.
Stwierdzenie 19.4 W przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnym speł-
nione sÄ… warunki:
(N1) "v"V v 0
(N2) "v"V ( v = 0 Ô! v = ¸)
(N3) "v"V "a"R a · v = |a| v
(N4) "u,v"V u + v u + v
Dowód: Warunki (N1) i (N2) wynikają wprost z (IP3) oraz uwagi. Dla
dowodu (N3) zauważmy, że
a · v 2 = a · v, a · v = a2 v, v = a2 v 2.
Warunek (N4) jest bezpośrednią konsekwencją definicji iloczynu skalar-
nego oraz nierówności Schwarza:
u + v 2 = u + v, u + v = u 2 + v 2 + 2 u, v
u 2 + v 2 + 2 u v = ( u + v )2 .
Uwaga 2 Jeżeli w przestrzeni liniowej V (bez struktury iloczynu skalarne-
go) określona jest funkcja . : V R spełniająca warunki (N1) (N4), to
parę (V, . ) nazywamy przestrzenią unormowaną. Widzimy, że każda prze-
strzeń z iloczynem skalarnym jest przestrzenią unormowaną, ale dość rzadko
jest na odwrót.
Stwierdzenie 19.5 (równość równoległoboku) Dla dowolnych wektorów u, v
z przestrzeni V z iloczynem skalarnym spełniony jest warunek
u + v 2 + u - v 2 = 2 u 2 + 2 v 2.
2
Dowód:
u+v 2+ u-v 2 = u 2+ v 2+2 u, v + u 2+ v 2-2 u, v = 2 u 2+2 v 2.
Stwierdzenie 19.6 (tożsamość polaryzacyjna) Dla dowolnych u, v " V
spełniony jest warunek

1
u, v = u + v 2 - u - v 2 .
4
Definicja 19.7 Dla niezerowych wektorów u, v " V liczbę
u, v
(u, v) = arccos
u v
nazywamy kątem (nieskierowanym) pomiędzy wektorami u, v.
u,v
Uwaga 3 Z nierówności Schwarza wynika, że ułamek należy do prze-
u v
działu [-1, 1], więc kąt nieskierowany pomiędzy wektorami jest dobrze okre-
ślony. Należy on zawsze do przedziału [0, Ą].
Przykład 19.8 1. Kąt pomiędzy niezerowymi wektorami ortogonalny-
Ä„
mi wynosi .
2
2. Wektory u, v sÄ… zgodnie zorientowane (lub majÄ… ten sam zwrot), co
zapisujemy u Ä™!Ä™! v, gdy jeden jest iloczynem drugiego przez liczbÄ™
nieujemną. Kąt pomiędzy niezerowymi wektorami zgodnie zoriento-
wanymi wynosi 0.
3. Kąt pomiędzy niezerowymi wektorami równoległymi (czyli liniowo za-
leżnymi) wynosi 0 lub Ą.
Stwierdzenie 19.9 (twierdzenie cosinusów) Dla niezerowych wektorów u, v
prawdziwa jest równość
u + v 2 = u 2 + v 2 + 2 u v cos (u, v).
Wniosek 19.10 (twierdzenie Pitagorasa) Wektory u, v sÄ… ortogonalne wte-
dy i tylko wtedy, gdy
u + v 2 = u 2 + v 2.
Wniosek 19.11 (równość Parsevala) Jeżeli układ (v1, . . . , vk) jest ortogo-
nalny, to
v1 + . . . + vk 2 = v1 2 + . . . + vk 2.
3
Definicja 19.12 W przestrzeni euklidesowej E odległością (lub metryką)
nazywamy funkcjÄ™ przypisujÄ…cÄ… punktom p, q " E liczbÄ™
-
|pq| = .
pq
Stwierdzenie 19.13 W przestrzeni euklidesowej E spełnione są warunki:
(D1) "p,q"E (|pq| = 0 Ô! p = q)
(D2) "p,q"E |pq| = |qp|
(D3) "p,q,r"E |pr| |pq| + |qr|
Uwaga 4 Jeżeli w zbiorze niepustym X określona jest funkcja d = |. .| :
X × X R speÅ‚niajÄ…ca warunki (D1) (D3), to parÄ™ (X, d) nazywamy
przestrzeniÄ… metrycznÄ….
Przykład 19.14 W przestrzeni euklidesowej En ze standardowym iloczy-
nem skalarnym odległość euklidesowa wyraża się wzorem


n


|(p1, . . . , pn)(q1, . . . , qn)| = (qi - pi)2.
i=1
Stwierdzenie 19.15 W przestrzeni euklidesowej punkt r należy do odcinka
pq wtedy i tylko wtedy, gdy
|pr| + |rq| = |pq|.
Dowód: Ò!) Jeżeli r " pq, to r = (1 - a)p + aq dla pewnego a " [0, 1].
Wówczas
|pr| + |rq| = |a| |pq| + |1 - a| |pq| = |pq|.
Ð!) Załóżmy, że |pr|+|rq| = |pq|. Dla r = p lub q wniosek jest oczywisty,
załóżmy więc, że r " pq \ {p, q}. Wówczas
- - -
- 2
|pr|2 + |rq|2 + 2|pr| |rq| = |pq|2 = + rq = |pr|2 + |qr|2 + 2 ,
pr pr, rq
skąd na mocy nierówności Schwarza dostajemy liniową zależność wektorów
- - -
- s 1
pr, rq oraz istnienie takiego s > 0, że rq = s· Zatem r = p+ q " pq.
pr.
s+1 s+1
Definicja 19.16 W przestrzeni euklidesowej E kulą (otwartą) o środku p i
promieniu R > 0 nazywamy zbiór
B(p, R) = {q " E ; |pq| < R}.
Zbiór B(p, R) punktów q " E spełniających nierówność |pq| R nazywamy
kulą domkniętą o środku p i promieniu R.
4
Stwierdzenie 19.17 Kula (odpowiednio kula domknięta) jest zbiorem wy-
pukłym.
Dowód: Dla q, q " B(p, R) oraz a " [0, 1] przyjmując r = (1-a)q +aq
otrzymujemy


-
-

|pr| = (1 - a) + apq |1 - a||pq| + |a||pq | < (1 - a)R + aR = R,
pq

czyli qq ‚" B(p, R).
5