Biometria i Biostatystyka
Wykład 2: Prezentacja danych
Zmienne typu atrybuty
i zmienne rangowe
i zmienne rangowe
Wykresy słupkowe
Wykresy kołowe
Zmienne pomiarowe
Zmienne pomiarowe
Wykresy  łodygowe (stem-leaf)
Obrazują kształt rozkładu, jednocześnie
ukazując na wykresie wartości
numeryczne.
numeryczne.
Są najbardziej odpowiednie dla
niewielkiej liczby dodatnich obserwacji.
Rysowanie wykresu łodygowego
Podziel każdy wynik na łodygę (stem) i listek
(leaf).
A
odyga: tyle cyfr ile potrzeba
Listek: pojedyncza cyfra
Listek: pojedyncza cyfra
Wypisz łodygi w pionowej kolumnie rosnąco
w dół. Narysuj pionową linię po prawej
stronie.
Wypisz każdy listek w wierszu po prawej
stronie od jego łodygi, w porządku rosnącym.
Biuro obsługi klienta
Liczba odwiedzin dziennie
54 59 35
41 46 25
41 46 25
47 60 54
46 49 46
41 34 22
54 59 35
41 46 25
47 60 54
46 49 46
41 34 22
Porównywanie dwóch
rozkładów
Wykresy o
wspólnym
wspólnym
pniu
pniu
Wykresy  łodygowe , cd.
Są nieodpowiednie dla dużych zestawów
danych
Każda łodyga musi zawierać dużą liczbę listków
Warianty:
Warianty:
Podzielić każdą łodygę na dwie, np.:
Jedna z liśćmi od 0 do 4
Druga z liśćmi od 5 do 9
Mają za zadanie zobrazować kształt rozkładu
zmiennej losowej
Histogramy
Histogramem nazywa się wykreślne
przedstawienie szeregu rozdzielczego
wykonane w sposób następujący: na osi
wykonane w sposób następujący: na osi
poziomej odkłada się odpowiednie
przedziały klasowe, zaś na osi pionowej
rzędne odkłada się w ten sposób, żeby
pola odpowiednich prostokątów były
proporcjonalne do liczebności danych
klas.
Histogramy
Nie mają takich ograniczeń jak wykresy
łodygowe
Dzielą zakres obserwowanych wartości
Dzielą zakres obserwowanych wartości
na przedziały, pokazując jedynie
liczności lub udział procentowy
obserwacji w danym przedziale
Można wybrać dowolną liczbę
przedziałów równej szerokości
Rysowanie histogramu
1. Podziel zakres zmienności danych na
przedziały o równej szerokości.
2. Rozpocznij tak, by pomiar najmniejszy był
mniej więcej w połowie pierwszego
mniej więcej w połowie pierwszego
przedziału.
3. Zlicz liczbę obserwacji w każdym przedziale.
Zrób tabelę częstości wystąpień.
4. Narysuj histogram.
Histogramy, cd.
Częstości względne
Ułamek lub procent obserwacji, które przypadają
na poszczególne przedziały
Poprawnie oznacz  liczba lub  procent .
Poprawnie oznacz  liczba lub  procent .
Właściwy wybór przedziałów:
Za mało: wszystkie wartości tylko w kilku
przedziałach
Za dużo: dużo przedziałów ma 1 lub mniej
wyników
Histogramy, cd.
Wzór heurystyczny do oszacowania szerokości
przedziału:
1
3
h0 = 2.64 � IQR � n
h0 = 2.64 � IQR � n-
Jeśli szerokość przedziału jest za mała lub za
duża, można ją skorygować przez pomnożenie
lub podzielenie przez a = 1.2 �1.5
Sprawdza się przy rozkładach zbliżonych do
rozkładu normalnego oraz przy względnie
dużych ale nie bardzo dużych n (liczność próby)
Histogramy, cd.
Jest kilka innych wzorów pomocnych przy
poszukiwaniu liczby przedziałów. Kilka
przykładów:
k < 5�"log10(n)
k H" n
k = 1+ 3.3�"log10(n)
Żeby znalez
ć szerokość, wystarczy
podzielić zakres przez k.
Histograms, cont.
k H" 14
h0 = 5.93
k H" 24
Histograms, cont.
h0 = 3.40
Histograms, cont.
k H" 20
h0 = 4.11
Histograms, cont.
k H" 8
h0 = 10.12
Histograms, cont.
Histogramy, cd.
Wiele zależy od Twojej decyzji odnośnie szerokości
przedziałów.
Pole pod krzywą zmienia się w zależności od h i jest
równe:
równe:
S = h *n
Żeby otrzymać eksperymentalną funkcję gęstości
prawdopodobieństwa, musimy sprowadzić pole
powierzchni S do 1. Ponieważ h nie może być
zmienione, musimy skorygować jednostkę na osi
OY.
Histogramy, cd.
Symetria i kurtoza
Często obserwujemy odstępstwa od
rozkładu normalnego. Statystyki, które
pozwolą to ocenić ilościowo bardzo
pozwolą to ocenić ilościowo bardzo
użyteczne.
Zajmiemy się dwoma najczęściej
pojawiającymi się odstępstwami
rozkładów od normalności: skośnością i
kurtozą.
Skośność
Skośność, inaczej zwana asymetrią, ocenia na
ile jeden z końców krzywej rozkładu
prawdopodobieństwa jest niesymetryczny w
stosunku do drugiego końca.
stosunku do drugiego końca.
W takim przypadku brak jest zgodności
wartości średniej i mediany.
W zależności od deformacji, krzywe określa
się mianem prawo- i lewoskośności.
Skośność
Przykład - wzrost: skośność = -0.26
Kurtoza
Jeśli symetryczny rozkład ma środek,
dwa ramiona i dwa końce, kurtoza
opisuje stosunek między częścią
opisuje stosunek między częścią
środkową i końcami w odniesieniu do
ramion.
Definiujemy leptokurtozę (wyostrzenie
krzywej) i platykurtozę (spłaszczenie
krzywej).
Kurtoza
O leptokurtozie (wyostrzeniu) mówimy,
gdy krzywa ma więcej obserwacji blisko
środka i na końcach a mniej w ramionach w
porównaniu do rozkładu normalnego, z tą
porównaniu do rozkładu normalnego, z tą
samą średnią i wariancją.
Przykład - wzrost: kurtoza = 3.65
Kurtoza
O platykurtozie (spłaszczeniu) mówimy,
gdy krzywa ma mniej elementów w środku i
końcach, za to więcej w ramionach niż krzywa
normalna.
normalna.
Skośność i kurtoza
Przykładowe statystyki mierzące skośność i kurtozę
są zapisywane jako g1 and g2 i służą do
reprezentowania parametrów populacji ł1 i ł2.
n
"(X - X )3
i
g1 =
(n -1)(n - 2)s3
2
n(n+1)
"(X - X )4 - 3("(Xi - X )2)
n-1 i
g2 =
(n - 2)(n - 3)s4
Skośność i kurtoza
W normalnym rozkładzie częstości ł1 i
ł2 są równe zero.
Ujemne g1 wskazuje na lewoskośność, a
Ujemne g1 wskazuje na lewoskośność, a
dodatnie g1 - prawoskośność.
Ujemne g2 mówi o wyostrzeniu, zaś
dodatnie g2 - o spłaszczeniu.
Wartości bezwzględne z g1 and g2 nie
mają wielkiego znaczenia.
Ocena skośności i kurtozy za
pomocą kwantyli
Oznaczając i-ty kwartyl jako Qi, możemy
zdefiniować współczynnik skośności Bowley a
(Bowley, 1920):
(Bowley, 1920):
Q3 + Q1 - 2Q2
skewness =
Q3 - Q1
wielkość, która może przyjmować wartości od
-1 dla rozkładu ekstremalnie lewoskośnego,
przez 0 dla rozkładu symetrycznego, do 1 dla
rozkładu prawoskośnego
Ocena skośności i kurtozy za
pomocą kwantyli
Pomiar kurtozy (wyostrzenia) na podstawie
oktyli Oi (12.5%, 25%, 37.5% itd.) został
zaproponowany przez Moors a w 1988
(O7 - O5) + (O3 - O1)
kurtosis =
Q3 - Q1
Dla skrajnie spłaszczonego rozkładu ta
wartość wynosi 0; 1.233 dla normalnego;
nieskończoność dla skrajnie wyostrzonego.
Opisywanie rozkładów liczbami
Miary położenia
Wartość średnia
Mediana
Mediana
Miary rozrzutu
Odchylenie standardowe
Kwartyle
Metoda pięciu liczb (wykresy ramkowe)
Poszukiwanie wielkości odstających
Metoda pięciu liczb
Obejmuje najmniejszą obserwację,
pierwszy kwartyl, medianę, trzeci
kwartyl i największą obserwację,
kwartyl i największą obserwację,
napisane od najmniejszego do
największego:
Minimum Q1 M Q3 Maksimum
Metoda pięciu liczb, cd.
Dostarcza w miarę pełnej informacji o
położeniu i rozrzucie.
Położenie
Położenie
Mediana
Rozrzut
rozrzut środkowej połowy pomiarów (od
25% do 75%) ukazują kwartyle
Minimum i maksimum pokazują pełny
rozrzut
Wykresy ramkowe (pudełkowe)
Wykres pięciu liczb
Centralna ramka obejmuje Q1 i Q3
Linia w pudełku to M
Linia w pudełku to M
Linie wychodzące z ramki dochodzą do
największej i najmniejszej wartości wśród
pomiarów
Wykresy ramkowe, cd.
Przedstawiają mniej informacji niż
histogramy i wykresy łodygowe
Używane do porównania więcej niż
Używane do porównania więcej niż
jednej serii pomiarów
jednej serii pomiarów
Analiza wykresu
Znajdz
medianę (środek)
Określ rozrzut (między Q1 i Q3; między
min i max)
Punkty odstające
Definicja:
Pomiar odstający to obserwacja, która
istotnie różni się od pozostałych i tym
istotnie różni się od pozostałych i tym
samym pojawia się podejrzenie, że
pojawiła się jako efekt innego niż
analizowany mechanizmu.
D. Hawkins. Identification of Outliers. Chapman and Hall, London, 1980
Detekcja punktów odstających
Odległość między kwartylami = zakres
połowy danych = przedział międzykwartylowy
= IQR
IQR = Q3  Q1
IQR = Q3  Q1
IQR jest odporny na zmiany na końcach
dystrybucji zmiennej losowej.
Wynik może być punktem odstającym, jeśli
ma wartość powyżej Q3+1.5 x IQR lub
poniżej Q1-1.5 x IQR.
Example: % narodowości USA
Q1 = 2.0, Q3 = 7.0
IQR = 7.0  2.0 = 5.0
Wszystkie wartości poniżej 2.0  1.5*5.0 = -5.5 lub
ponad 7.0 + 1.5*5.0 = 14.5 są oznaczone jako
ponad 7.0 + 1.5*5.0 = 14.5 są oznaczone jako
możliwe punkty odstające. Jest 7 takich obserwacji.
To nie zwalnia od własnego osądu  trzeba zerknąć
na dystrybucje i podjąć decyzję o pozostawieniu lub
usunięciu pomiaru z dalszej analizy.
Wygodne narzędzie do oceny dużych zbiorów
danych.
Zmodyfikowany wykres
ramkowy
Zaznacz każdy punkt odstający osobno
używając symboli typu  * lub  o .
Linie od  pudełka prowadzą tylko do
największych i najmniejszych pomiarów, które
pozostały po usunięciu punktów odstających.
Przykład - wzrost
Liczność próbki N = 582
Wartość średnia = 176.16 cm
Mediana = 177 cm
Mediana = 177 cm
Zakres = 82 cm
Q1 = 170 cm; Q3 = 183 cm
IQR = 13 cm
Odchylenie standardowe = 9.86 cm
Dwie wielkości odstające
210 cm i 125 cm
Przykład - wzrost
Normalny wykres kwantylowy
Rozkłady normalne
Dobre modele dla niektórych rozkładów
rzeczywistych danych
Rozkłady niektórych zmiennych są skośne i dalekie
Rozkłady niektórych zmiennych są skośne i dalekie
od normalnych
Należy przejrzeć dane!
Sposoby sprawdzenia normalności
Histogramy
Wykresy łodygowe
Normalne wykresy kwantylowe
Konstrukcja normalnego wykresu
kwantylowego
1. Uporządkuj zaobserwowane dane w porządku
malejącym. Zapisz jakim percentylem danych jest
każda wartość.
2. Przeprowadz
obliczenia dla normalnego rozkładu
Przeprowadz
obliczenia dla normalnego rozkładu
żeby znalez
ć punkty standardowe z tych percentyli.
żeby znalez
ć punkty standardowe z tych percentyli.
3. Zaznacz każdy punkt x w zależności od z. Jeśli
rozkład danych jest w przybliżeniu standardowy
normalny, narysowane punkty będą leżały blisko
prostej x=z. Jeśli rozkład danych jest bliski do
innego dowolnego rozkładu normalnego, punkty
będą leżały blisko innej linii, także prostej.
Normalny wykres kwantylowy
Linia prosta
Dane pochodzą z rozkładu normalnego
Systematyczne odchylenia od linii
Systematyczne odchylenia od linii
prostej
Dane nie pochodzą z rozkładu normalnego
Punkty odstające ujawniają się jako
punkty leżące daleko od ogólnego
kształtu wykresu.