FIZYKA
Wykład 8 cz.a
Drgania harmoniczne. Wahadło matematyczne, fizyczne i torsyjne.
Ruch harmoniczny tłumiony.
Ruch harmoniczny wymuszony  rezonans.
Ruch drgajÄ…cy
Drgania sÄ… ruchem periodycznym (okresowym), czyli ruchem
powtarzającym się w regularnych odstępach czasu.
Przykłady drgań:
" drgania ciała zawieszonego na sprężynie
" wahadło zegara
" drgania mostu, wywołane przejeżdżającymi pojazdami
" drgania skrzydeł samolotu
" drgania atomów (molekuł) w węzłach sieci krystalicznej
" .........
Ruch harmoniczny prosty
Wielkości opisujące ruch drgający
Okres ruchu drgającego (T)  czas trwania jednego pełnego
drgania, czas powtarzania się każdego pełnego
przemieszczenia lub cyklu.
Częstotliwość drgań (f)  liczba pełnych drgań (cykli)
wykonywanych w ciągu każdej sekundy (w jednostce
czasu):
1 1
f = [Hz = ]
T s
Położenie równowagi  położenie, w którym na punkt materialny nie działa
żadna siła.
Przemieszczenie (X)  odległość drgającego punktu od położenia
równowagi w dowolnej chwili.
Amplituda drgań (A)  wartość bezwzględna maksymalnego
przemieszczenia ciała w obu kierunkach.
Ruch harmoniczny prosty
Drgania harmoniczne  szczególny przykład ruchu periodycznego
Liniowy oscylator harmoniczny
Siła sprężystości (harmoniczna)
F = -kx
Każdy ruch, w którym w pewnych warunkach siła
jest w przybliżeniu proporcjonalna do
przemieszczenia, ale ma przeciwny znak, jest
liniowym ruchem harmonicznym:
F =  (dodatnia staÅ‚a) · x
znak    mówi o
zwrocie siły
Ruch harmoniczny prosty
Na oscylator (drgające ciało, układ) działa siła harmoniczna:
k
F = -kx
A
0
m
F = -kx
II zasada dynamiki:
2
2
d x
dv d x
m = -kx
F = ma = m = m
dt dt2
dt2
2
d x k
+ x = 0
m
dt2
Jest to równanie różniczkowe drgań harmonicznych prostych.
Szukamy funkcji x(t), która będzie rozwiązaniem tego równania.
Ruch harmoniczny prosty
Ciało wykonuje ruch harmoniczny.
Papier rejestratora przesuwa się ze stałą
prędkością v  pozostawiony ślad 
x(t)
wychylenie ciała z położenia równowagi
- można opisać funkcją okresową.
v
Drgania harmoniczne  wielkość
drgajÄ…ca zmienia siÄ™ sinusoidalnie lub
cosinusoidalnie w czasie
A
RozwiÄ…zanie:
0
x(t) = Acos(Ét +Õ)
A
Ruch harmoniczny prosty
przemieszczenie x w chwili t
faza ruchu
(wychylenie z położenia równowagi)
0 Ä„ 2Ä„
x(t) = Acos(Ét +Õ)
Okresem funkcji cos jest 2Ä„
amplituda faza
częstość
cos(Ä… + 2Ä„ ) = cosÄ…
poczÄ…tkowa
kołowa
ZakÅ‚adamy dla uproszczenia, że Õ = 0
Wartości funkcji cosinus będą
É(t +T ) = Ét + 2Ä„
ponownie takie same gdy jej argument
(faza) wzrośnie o 2Ą radianów:
É Å"T = 2Ä„
2Ä„
2Ä„
É = = 2Ä„f
T =
T
É
Ruch harmoniczny prosty
Wartość fazy poczÄ…tkowej Õ zależy od
położenia i prędkości ciała w chwili t = 0
A
0
Ä„
Ä„
Ä„
Ä„
Õ = -
Õ = -
Õ = -
Õ = -
Jeśli faza początkowa:
2
A
Ä„
x(t) = Acos(É Å"t +Õ) = Acos(É Å"t - ) = Asin(É Å"t)
2
Õ =
Õ
Õ
Õ
Õ
Õ
Õ
Õ
-Ä„/2
-Ä„
-Ä„
-Ä„
¸
¸
¸
¸
-2Ä„ -Ä„ Ä„ 2Ä„
Ä„ -Ä„ Ä„ Ä„
Ä„ -Ä„ Ä„ Ä„
Ä„ -Ä„ Ä„ Ä„
Ruch harmoniczny prosty
ZależnoÅ›ci dla Õ = 0
przemieszczenie
x(t) = Acos(É Å"t +Õ)
dx
prędkość
v(t) = = -ÉAsin(É Å"t +Õ)
dt
2
przyspieszenie
d x
a(t) = = -É2 Acos(É Å"t +Õ)
dt2
Równanie ruchu harmonicznego:
a(t) = -É2x(t)
Wniosek
xMAX = A
W ruchu harmonicznym przyspieszenie jest proporcjonalne do
vMAX = É
ÉA
É
É
É
przemieszczenia ale ma przeciwny znak. aMAX = É2A
É
É
a =  (dodatnia staÅ‚a) · x
Ruch harmoniczny prosty
Równanie różniczkowe drgań harmonicznych prostych:
k
2
d x k
+ x = 0
dt2 m
m
k
-É2 Acos(É Å"t +Õ) + Acos(É Å"t +Õ) = 0
m
k
2Ä„
m
É2 =
T =
T = 2Ä„
m
É
k
częstość drgań własnych
zależy od współczynnika
Wniosek
sprężystości i masy ciała
W ruchu harmonicznym prostym okres
drgań jest niezależny od amplitudy.
Ruch harmoniczny prosty
Energia kinetyczna drgań
= k
mv2 mÉ2 A2 sin2(Ét +Õ)
Ek = =
2 2
kA2 sin2(Ét +Õ)
Ek =
2
Energia potencjalna drgań
1 1
Ep = kx2 = kA2 cos2(Ét + Õ)
2 2
Energia całkowita
E = Ep + Ek
kA2
E = [cos2(Ét +Õ)+ sin2(Ét +Õ)]
kA2
2
E =
=
=
=
= 1
2
Wniosek
W ruchu harmonicznym prostym całkowita energia jest zachowana.
Ruch harmoniczny prosty
(1) (2)
Przy przechodzeniu przez położenie
równowagi (1):
" prędkość jest największa
" przyspieszenie wynosi zero
" energia kinetyczna jest największa
" siła wynosi zero
Przy maksymalnym wychyleniu z
położenia równowagi (2):
" prędkość wynosi zero i zmienia znak
" przyspieszenie jest największe
" energia potencjalna jest największa
" siła jest maksymalna
Przykłady oscylatorów harmonicznych
Wahadło matematyczne
To punkt materialny zawieszony
na nieważkiej i nierozciągliwej
nici, wykonujÄ…cy drgania
harmoniczne.
II zasada dynamiki:
Fg sin¸ = ma
x
sin¸ =
Dla małych kątów:
l
g
x 2
2
É =
mg = mÉ x
l
l
l
2Ä„
T = 2Ä„ É =
T
g
Przykłady oscylatorów harmonicznych
Wahadło fizyczne
Wahadłem fizycznym jest każda bryła
sztywna w ruchu drgajÄ…cym.
Ruch powoduje moment siły ciężkości:
M = -h(Fg sin¸ )
2
II zasada dynamiki:
d ¸
M = Iµ = I
dt2
2
d ¸
I = -hFg sin¸
dt2
równanie ruchu harmonicznego:
2
k
m
d x k
Dla małych kątów
sin¸ = ¸
É =
T = 2Ä„
+ x = 0
k
m
m
dt2
2
d ¸
2 I
I + hFg¸ = 0
d ¸ mgh
T = 2Ä„
+ ¸ = 0
dt2
mgh
dt2 I
Przykłady oscylatorów harmonicznych
Wahadło torsyjne
Wahadło torsyjne (skrętne) - stanowi kątowy
odpowiednik liniowego oscylatora harmonicznego.
Krążek oscyluje w płaszczyz
nie poziomej, linia
odniesienia (0) wykonuje drgania o amplitudzie ¸m.
Skręcenie drutu powoduje powstanie momentu siły
M dążącego do przywrócenia stanu początkowego
D - moment kierujący - zależy od
M = -D¸ wÅ‚aÅ›ciwoÅ›ci drutu (dÅ‚ugoÅ›ci,
średnicy i materiału)
I
Okres drgań wahadła
T = 2Ä„
torsyjnego:
D
Wahadło torsyjne służy do wyznaczania
Tb2
momentu bezwładności brył o dowolnych
Ib = Ia
nieregularnych kształtach.
Ta2
ciało a
ciało b
Przykłady oscylatorów harmonicznych
Balans (wahadło torsyjne) 
urzÄ…dzenie stosowane w zegarkach
mechanicznych (serce zegarka).
Dokładność pracy zależy od tego czy
balans wykonuje wahnięcia o
odpowiednią ilość stopni i czy nie
drga na boki.
Balans współpracuje z wychwytem, odmierzającym
określone obroty kół zębatych mechanizmu zegarowego,
Koło balansu w mechanizmie
jednocześnie pobierając z tego mechanizmu energię
budzika.
1. włos,2. przesuwka umożliwiająca podtrzymującą ruch.
regulację okresu drgań
wychwyt
balans
Ruch harmoniczny tłumiony
Jeżeli drgania odbywają się w ośrodku materialnym
Prosty oscylator tłumiony
(gaz, ciecz) to po pewnym czasie zanikajÄ… wskutek
występowania siły oporu ośrodka.
Niezależnie od rodzaju ośrodka siła oporu Fo, jest
proporcjonalna do prędkości drgającego ciała (dla
małych prędkości):
dx
np. siła Stokesa
Fo = -bv Fo = -b
dt
F = 6Ä„·rv
stała tłumienia
II zasada dynamiki:
2
dx d x
- kx - b = m
Fs + Fo = ma
dt
dt2
Siła sprężystości
2
d x dx
m + b + kx = 0
Równanie różniczkowe drgań tłumionych
dt2 dt
Ruch harmoniczny tłumiony
Rozwiązaniem równania drgań tłumionych jest funkcja:
x(t)= Ae-² Å"t cos(É't +Õ)
b
² - współczynnik
k b2
2
² = É'= -
É'= É2 - ²
tłumienia
m 4m2
2m
Częstość drgań tłumionych - mniejsza od
częstości drgań własnej
Tłumienie zwiększa okres:
2Ä„ 2Ä„
T '= =
2
É'
É2 - ²
Amplituda i całkowita energia mechaniczna drgań zmniejszają
się wykładniczo z upływem czasu (w przypadku małych tłumień)
1 1
2
2
E(t) H" k(A(t)) = A0 e-2²t
A(t) = AÅ"e-² Å"t
2 2
Ruch harmoniczny tłumiony
É = 8.4²
Słabe tłumienie
É > ²
Drgania2.exe
Silne tłumienie
- szybki powrót do stanu równowagi
É d" ²
² = 2É ² = É
ruch nadkrytyczny ruch krytyczny
Ruch harmoniczny wymuszony - rezonans
2 2
d x d x
Okresowa siła
m = -kx - b + F0 cos(Éwymt)
F(t) = F0 cos(Éwymt)
wymuszajÄ…ca
dt2 dt2
Rozwiązaniem równania drgań
wymuszonych jest funkcja:
( )
x(t)= Am cos Éwymt +Õ
Amplituda drgań wymuszonych
zależy od częstości siły
wymuszajÄ…cej Éwym oraz od
współczynnika tÅ‚umienia ² = b/(2m).
Amplituda drgań wymuszonych jest
w przybliżeniu największa gdy
spełniony jest warunek rezonansu:
Éwym
=1
É
Amplituda oscylatora wymuszonego zmienia siÄ™
wraz z częstością siły wymuszającej.
Ruch harmoniczny wymuszony - rezonans
Zjawisko pobudzania do drgaÅ„ za pomocÄ… impulsów o czÄ™stoÅ›ci Éwym równej
czÄ™stoÅ›ci drgaÅ„ wÅ‚asnych É pobudzanego ukÅ‚adu nazywamy rezonansem
mechanicznym.
Éwym = É
Rezonans  dobry
" Jak rozbujać ciężki
" Jak wypchnąć samochód
" Działanie huśtawki na
dzwon?
z dołka?
placu zabaw
Ruch harmoniczny wymuszony - rezonans
Rezonans  zły
" Kolumna wojskowa nie może przechodzić przez most krokiem
defiladowym. Jeśli regularne uderzenia butów w podłoże zgrałyby się z
częstością własną mostu mogłoby dojść do zawalenia.
FAKTY - Most w pobliżu Manchesteru w Anglii załamał się pod
rytmicznymi krokami zaledwie 60 ludzi.
Batalion piechoty francuskiej, przechodzący równym krokiem
przez most w Angers - most runÄ…Å‚ grzebiÄ…c pod sobÄ… 280
żołnierzy.
" Konstrukcje samolotów są nitowane. Podczas lotu powstają
turbulencje, które wprawiają samoloty w drgania. Gdyby nie luzy na
nitach cała konstrukcja samolotu mogłaby wejść w rezonans z
drganiami pochodzącymi od turbulencji i samolot by się rozpadł.
" Regularne, okresowe, nawet niezbyt silne podmuchy wiatru potrafiÄ…
zniszczyć pokaz
nych rozmiarów most. Wystarczy, że częstość
podmuchów zgra się z częstością z jaką drga most.
FAKTY - Katastrofa mostu nad cieśniną Tacoma w stanie Washington
Narrow Bridge nad cieśniną Tacoma - Miał długość 840 metrów przy 12 metrach szerokości
1940 rok