Egzamin połówkowy z przedmiotu  Analiza matematyczna i algebra liniowa
WETI, kierunek IBM, 1 sem., r. ak. 2009/2010
1. [4p.] Wyznaczyć wartości parametrów m, k " R tak, aby funkcja f(x) była ciągła dla dowolnego
x " R
Å„Å‚
-x
ôÅ‚ 1-x
e
ôÅ‚ - m2x dla x < 1
ôÅ‚
òÅ‚
f(x) = - 1| - 4 dla 1 x 2
|x
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
k - Ä„ · arcctg (ln |2 - x|) dla x > 2
Dla obliczonej dodatniej wartości parametru m wyznaczyć dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji
g(x) = m · arc sin (1 - 3x) + Ä„
"
2. [4p.] Napisać równanie stycznej do wykresu funkcji h(x) = ( ax)cos x w punkcie o współrzędnej

Ä„ n + 2 5n
x0 = , gdzie a = lim ln , natomiast b jest równe długości wektora = [2, 0].
u
n"
b n - 3
3n
[2p.] b) Zbadać monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym an = .
n!
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) Wyznaczyć ekstrema oraz przedziały, w których funkcja y = xe-x jest jednocześnie
rosnąca i wypukła w dół.
[2p.] b) Korzystając z definicji pochodnej wyprowadzić wzór na pochodną funkcji y = cos 2x.
4. [4p.] Obliczyć całki

2
"
"
3
x
a) e dx b) x ln x dx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Obliczyć całkę

cos xdx
5 - 3 cos x
[2p.] b) W oparciu o twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie wyprowadzić wzór na całkę

f (x)dx

f(x)
6. [4p.] Obliczyć całkę

(arc cos x)Ä…dx,
gdzie ą jest równe promieniowi okręgu o równaniu x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7. *) [dla chętnych] [3p.] Korzystając z rozwinięcia Taylora przedstawić wielomian
W (x) = x4 - 5x3 + x2 - 3x + 4
w postaci sumy potęg dwumianu x - 4.