ĆWICZENIE 8
POMIAR MOMENTU BEZWA
ADNOÅšCI PRZY POMOCY
WAHADA
A FIZYCZNEGO ORAZ BADANIE ZALEŻNOŚCI
DA
UGOÅšCI WAHADA
A ZREDUKOWANEGO OD
ODLEGA
OÅšCI ÅšRODKA CI
ŻKOŚCI OD OSI OBROTU
Wprowadzenie
Wahadłem fizycznym jest każda bryła sztywna o masie m zawieszona w
punkcie O znajdującym się powyżej jej środka ciężkości. Takie zawieszenie
umożliwia jego ruch w polu grawitacyjnym. Po wychyleniu bryły z położenia
równowagi o kąt Ć pojawia się różny od zera moment siły F wymuszający
drganie obrotowe ciała wokół poziomej osi.
Moment siły
r r r
.
M = d × F
Rys. 8.1.
Różniczkowe równanie ruchu wahadła możemy zapisać w postaci
r2
r
d Ć
, /1/
M = J
dt2
gdzie: J - moment bezwładności wahadła względem osi obrotu,
Ć - kąt o jaki wychyli się wahadło.
Jeżeli założymy, że wahadło porusza się ruchem płaskim, to równanie /1/ we
współrzędnych biegunowych (gdzie biegunem jest punkt zaczepienia wahadła)
możemy zapisać wzorem:
2
d Ć
M = J , /2/
dt2
przy czym
M = -mgd sinĆ
,
gdzie: d - jest odległością środka masy od osi obrotu.
Ćwiczenie 8 1
Zatem
2
d Ć
J = -mgd sinĆ ,
dt2
lub
2
d Ć mgd
+ sinĆ = 0. /3/
dt2 J
W wyniku całkowania tego równania (patrz ćwiczenie 2 ), otrzymujemy wzór
na okres
2
2
îÅ‚ 2 Å‚Å‚
ëÅ‚ öÅ‚
J ( )
ïÅ‚1 + ëÅ‚ 1öÅ‚ sin2 Ć0 + ëÅ‚ 1 Å" 3öÅ‚ sin2 Ć0 +...+ìÅ‚ 1 Å" 3 ... n + 1 ÷Å‚ sin4 Ć0 śł
T = 2Ä„
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ , /4/
ìÅ‚ ÷Å‚
ïÅ‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ śł
mgd 2 2 2 4 2 2 4 2n - 1 2
( )
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
gdzie: Ć - kąt wychylenia początkowego.
0
Ponieważ wyrazy szeregu we wzorze /4/ z wyjątkiem pierwszego są mniejsze
od 1, szereg jest dość szybko zbieżny. Przy niewielkich wychyleniach możemy
wzór /4/ przybliżyć przez odrzucenie wszystkich wyrazów wyższych niż drugie,
sinĆ0 2 Ć0 2
oraz zastąpić miarą łukową kąta , wzorem
J ëÅ‚ Ć2 öÅ‚
T = 2Ä„
, /5/
ìÅ‚1+ 0 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
mgd 16
stąd możemy obliczyć moment bezwładności
2
mgdT
J =
2
2
ëÅ‚ Ć öÅ‚ , /6/
2 0
4Ä„ 1+
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ 16Å‚Å‚
gdzie Ć - bierzemy w radianach.
0
Okres wahadła matematycznego przy niewielkich wychyleniach obliczamy ze
wzoru
lm ëÅ‚ Ć2 öÅ‚
Tm = 2Ä„
ìÅ‚1+ 0 ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
g 16
Długość wahadła matematycznego, którego okres jest równy okresowi wahadła
fizycznego nazywamy długością zredukowaną l .
r
Z równości T = T wynika
m
lr J
=
,
g mgd
lr = J md
stÄ…d . /7/ .
Uwzględniając /6/ wzór /7/ możemy zapisać w postaci
2
gT
lr =
2
2
ëÅ‚ Ć öÅ‚ . /8/
2 0
4Ä„ 1 +
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ 16Å‚Å‚
Ćwiczenie 8 2
Opis urzÄ…dzenia.
Urządzenie składa się z dwóch wahadeł fizycznych. Jednego w kształcie
rury metalowej, w której są osadzone dwa pryzmaty ( O ,O ) zwrócone do
1 2
siebie ostrzami. Jeden z tych pryzmatów osadzony jest bardzo blisko końca
krawędzi rury, drugi w odległości 1/3 długości rury od drugiego końca
krawędzi. Drugiego w kształcie trójkąta równoramiennego, w którym wzdłuż
dwusiecznej w równych odstępach wycięto otwory służące do zawieszania na
osi w kształcie pryzmatu ostrzem skierowanego do góry. Oba wahadła mogą
wykonywać wahania na tle skali kątowej.
rys. 8.2.
Metoda pomiaru.
Moment bezwładności wahadła w kształcie rury względem środka ciężkości
podaje wzór
1 1
J0 = mëÅ‚ R2 + r2 + l2öÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚ , /9/
íÅ‚ Å‚Å‚
4 3
gdzie: m - masa wahadła,
R - promień zewnętrzny rury,
r - promień wewnętrzny rury,
l - długość wahadła.
Moment bezwładności względem pierwszej czy drugiej osi obrotu obliczymy z
twierdzenia Steinera
J = J0 + md12lub 2
, /10/
gdzie: d - odległość środka ciężkości od ostrza pierwszego pryzmatu,
1
d - odległość środka ciężkości od ostrza drugiego pryzmatu.
2
Przyspieszenie ziemskie
Ćwiczenie 8 3
2
ëÅ‚ Ć2 öÅ‚
2
0
4Ä„ JìÅ‚1+
÷Å‚
/11/
íÅ‚ Å‚Å‚
16
g =
dmT2
lub po uwzględnieniu /9/ i /10/
2
ëÅ‚ Ć2 öÅ‚ îÅ‚1 1 Å‚Å‚
ëÅ‚
2
4Ä„
ìÅ‚1+ 0 ÷Å‚ ÷Å‚
ïÅ‚4 ìÅ‚ R2 + r2 + 3l2öÅ‚ + di2 śł
íÅ‚ Å‚Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚ . /12/
16
ðÅ‚ ûÅ‚
g =
diT2
Ostatni wzór pozwala na obliczenie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy
wahadła fizycznego. Zawieszając drugie wahadło w różnych punktach i
dokonując pomiaru okresu wahań, obliczamy moment bezwładności dla
różnych zawieszeń ze wzoru /5/. Okres wahań wahadła fizycznego zależy min.
od punktu zawieszenia, a zatem i od odległości osi obrotu od środka ciężkości.
Wzór /7/ pozwala pośrednio określić zależności długości zredukowanej od
położenia osi obrotu względem środka ciężkości.
Przebieg pomiarów.
1. Wykonujemy pomiary wymiarów geometrycznych wahadła fizycznego w
kształcie rury.
2. Zawieszamy pierwsze wahadło na pryzmacie O i dokonujemy pomiaru czasu
1
20 wahnięć dla wychylenia początkowego 5o .
3. Pomiary powtarzamy dla wychyleń 7o i 9o .
4. Zawieszamy wahadło na drugim pryzmacie O i wykonujemy pomiary jak w
2
punkcie 2 i 3.
5. Obliczamy przyspieszenie grawitacyjne dla każdego pomiaru ze wzoru /12/.
6. Obliczamy wartość średnią przyspieszenia.
7. Zawieszamy drugie wahadło na pryzmacie przetykając go przez otwór O i
1
mierzymy czas 20 wychyleń. Kąt wychylenia początkowego przyjmujemy 5o .
8. Obliczamy moment bezwładności ze wzoru /6/ biorąc średnie przyspieszenie
grawitacyjne obliczone w pierwszej części ćwiczenia.
9. Pomiary z punktu /7/ powtarzamy przetykajÄ…c pryzmat przez kolejne otwory
O i O ... .
2 3
10.Obliczamy długość zredukowaną za wzoru /7/ lub /8/ dla różnych zawieszeń.
11.Przeprowadzamy rachunek błędów, korzystając z metody różniczki zupełnej
odpowiednio szacując błędy pomiarowe pozostałych wartości.
12.Sporządzamy wykres zależności l = f(d).
r
13.Przeprowadzamy dyskusję błędów i wyników pomiarowych.
14.Formułujemy wnioski.
Ćwiczenie 8 4