opracował: Radek Kołkowski
Funkcja Blocha
W sieci krystalicznej w każdej komórce elementarnej prawdopodobieństwo przebywania elektronu jest takie
samo  co wynika z periodyczności sieci:
� (r + R) �"� * (r + R) =� (r) �"� * (r )
� (r + R) =� (r )
Jednak nie możemy na tej podstawie powiedzieć, że:
� (r ) � (r + R)
Jak porównać ze sobą i ?
)
� (r ) T (R1)
Zadziałajmy na operatorem translacji , tzn. przesuwamy się w sieci do innej komórki
R1 = n1a1 + n2a2 + n3a3 a1,a2,a3
elementarnej, zmieniając położenie o wektor , gdzie to stałe sieciowe,
n1, n2, n3 " C
a .
Jeśli dwie funkcje mają równe kwadraty, mogą się różnić co najwyżej o czynnik fazowy:
)
i f ( R1 )
T (R1)� (r ) =� (r + R ) =� (r )e
R2
Wykonując ponownie translację o jakiś inny wektor otrzymujemy:
) ) )
i f (R1) i f (R1) i f (R1) i f (R2 )
T (R2 )T (R1)� (r ) = T (R2 )� (r )e =� (r + R2 )e =� (r )e e
R1 R2
Operacja ta jest równoważna przesunięciu o sumę wektorów i :
) ) )
T (R1 + R2 ) = T (R2 )T (R1)
)
i f (R1+R2 )
T (R1 + R2 )� (r ) = � (r + R1 + R2 ) = � (r )e
i f (R1) i f (R2 ) i f (R1+ R2 )
� (r )e e = � (r )e
Wynika stąd, że ,
f (R1) + f (R2 ) = f (R2 + R1)
a więc
f (R) = k �" R
Jedyną funkcją spełniającą powyższy warunek jest funkcja liniowa:
Tym sposobem dochodzimy do funkcji Blocha, która ma następującą postać:
� (r) = ei k r �" uk (r)
uk (r + R ) = uk (r )
, gdzie funkcja uk (r ) jest periodyczna:
| |
funkcja funkcja
wolnozmienna szybkozmnienna
Funkcja Blocha spełnia narzucone warunki:
� (r + R) = ei k (r +R ) �"uk (r + R) = ei k rei k R �"uk (r ) =� (r)�"ei k R =� (r)�"ei f (R )
Równanie kp
Obliczając energię elektronu w krysztale, stosujemy następujące przybliżenia:
1. przybliżenie adiabatyczne (zakładamy, że atomy nie drgają  rdzenie
atomowe są sztywno utwierdzone w swoich miejscach: "Ri = 0 )
2. przybliżenie jednolektronowe (zakładamy, że w krysztale o periodycznym
potencjale znajduje się tylko jeden elektron:
ńł �ł
h2
Ć
�ł- "2 + Vkr (r )żł� (r ) = E� (r )
2m
ół �ł
Wygodnym wyjściem do obliczenia energii elektronu w krysztale stanowi funkcja Blocha:
� (r) = ei k r �"uk (r)
ńł �ł
h2
k r k r
Ć
�ł- "2 + Vkr (r )żł ei uk (r ) = E(k )ei uk (r )
2m
ół �ł
Żeby rozwiązać powyższe równanie, musimy obliczyć pochodne:
"ei k ru = ikei k ru + ei k r"u
2
"2(ei k ru)= "(ikei k ru + ei k r"u)= -k ei k ru + ikei k r"u + ikei k r"u + ei k r"2u =
2
= -ei k r (- k u + 2ik"u + "2u)
Wstawiamy to, co uzyskaliśmy:
2
ńł �ł
h2 ih2k h2k
Ć
ei k r �ł- "2 - " + + Vkr (r )żł u = ei k r Eu
2m m 2m
ół �ł
2
h2k
dzielimy obustronnie przez ei k r oraz odejmujemy u :
2m
2
ńł�ł h2 �ł
łł �ł �ł
ih2k h2k
�ł
Ć
�ł
u
�ł�ł- "2 + Vkr (r)śł - "�ł u = �ł E -
żł
�ł �ł �! równanie kp
m 2m
�ł �ł �ł �ł łł
ół�ł 2m �ł
| || ||
$
0 - ten wyraz jest taki sam, zaburzenie $
zb E ' - łatwa do policzenia różnica
jak w równaniu wyjściowym
Ć
Wyrażenie - ih" jest równoważne działaniu operatora pędu p :
Ć
p = -ih"
Trzeba też zauważyć, że funkcji uk (r ) o tym samym k może być wiele, dlatego trzeba je ponumerować.
Ostatecznie dostajemy równanie kp w postaci, od której wzięło swoją nazwę:
2
ńł �ł �ł �ł
h2 h h2k
Ć
Ć �ł
un,k (r)
�ł- "2 + kp + Vkr (r )żł un,k (r) = �ł E -
�ł �ł
2m m 2m
ół �ł �ł łł
n odróżnia niezdegenerowane stany energetyczne dla danego wektora falowego k
*Rachunek zaburzeń i masa efektywna
Wychodzimy od równania kp:
2
ńł �ł
�ł łł �ł �ł
h2 ih2k h2k
Ć
�ł
u = E 'u
�ł�ł- "2 + Vkr (r)śł - "żł u = �ł E -
�ł �ł
2m m 2m
�ł �ł �ł łł
ół �ł
2
h2k
E = E ' +
2m
Zamiast rozwiązywać równanie dla całej sieci rozwiązujemy je wyłącznie dla czynnika Blochowskiego.
Stosujemy rachunek zaburzeń: rozpisujemy hamiltonian na sumę hamiltonianu zerowego i hamiltonianu
zaburzenia:
$
= $
0 + $
zb
Przy czym znane jest działanie hamiltonianu zerowego na funkcję falową, która jest jego funkcją własną:
$
0� = Em0�
m0 m0
$
0 + $

Problem polega na znalezieniu nieznanej funkcji własnej hamiltonianu będącego sumą .
zb
W tym celu rozpisujemy tą nieznaną funkcję w szereg funkcji znanych:
"
� =
n "c �
nm m0
m=1
Działamy na to hamiltonianem:
" "
($
0 + $
zb)"cnm� = En nm�
m0 "c m0
m=1 m=1
Ponieważ hamiltonian jest operatorem liniowym:
" "
($
0 + $
zb)� =
"c m0 "c En � m0
nm nm
m=1 m=1
Możemy działanie hamiltonianu zerowego zastąpić przez jego wynik:
" "
(Em0 + $
zb)� =
"c m0 "c En� m0
nm nm
m=1 m=1
*
� �
Mnożymy obustronnie przez funkcję ortonormalną do i całkujemy po objętości kryształu:
l 0 m0
" "
�ł �ł
* * *
"c �ł Em0 � dV + l 0 m0 "c En � dV
nm l 0 m0 nm l 0 m0
+"� +"� $
zb� dV �ł = +"�
�ł �ł
m=1 m=1
�ł V V łł V
* *
� � = �lm (delta Kronneckera), stąd:
� �
Ponieważ i są ortonormalne,
l 0 m0
l 0 m0
"
*
cnl El 0 +
"c m0
nm l 0
+"� $
zb� dV = cnl En
m=1
V
Możemy przyjąć, że l = n :
"
*
cnn En 0 +
"c m0
nm n 0
+"� $
zb� dV = cnn En
m=1
V
A więc En = E0 + ... (energia jest sumą energii z hamiltonianu zerowego i nieskończonej sumy całek z
zaburzeń). Po przekształceniach uzyskamy wzór, na którym opiera się rachunek zaburzeń:
" n0 $
zb l0 l0 $
zb n0
En = En 0 + n0 $
zb l0 +
"
En0 - El 0
l=1
l`"n
*
n0 $
zb l0
n0 zb l 0
gdzie oznacza skrócony zapis całki +"� $
� dV
V
$
0 >> $

Wszystko to działa przy założeniu, że (hamiltonian zaburzenia daje niewielki wkład
zb
energetyczny w porównaniu z hamiltonianem zerowym)  wówczas wystarczą pierwsze 3 lub 4 wyrazy
szregu, aby uzyskać poprawny wynik.
En0 - El 0 jest różnicą pomiędzy poziomami zerowymi
A
ączymy rachunek zaburzeń z funkcją Blocha:
($
0 + $
zb)uk (r ) = En(k )uk (r )
gdzie, jak wynika z poprzednich przekształceń:
�ł �ł
h2
Ć
ih2k h k �" p
Ć
�ł �ł
$
0 = - "2 + Vkr (r )�ł
$
= - " =
zb
�ł
2m
m m
�ł łł
Wstawiamy to do wzoru na energię w rachunku zaburzeń:
�ł �ł �ł �ł
ih2k ih2k
* *
�ł �ł
n 0 0 l 0
+"u �ł - m "�łul dV �"+"u �ł- m "�łun0 dV
�ł �ł
"
�ł �ł
ih2k
* �ł łł �ł łł
V V
�ł
En = En 0 +
n 0 "
+"u �ł- m "�łun0 dV +
�ł
En0 - El 0
l=1
�ł łł
V
l`"n
Dla k = 0 pochodna energii po wektorze falowym się zeruje: "k E = 0 , co oznacza, że funkcja E(k) ma w
tym punkcie ekstremum. W powyższym wzorze znika drugi człon, zależny liniowo od k .
Jednocześnie iloczyn skalarny k �" " możemy zapisać jako:
3
"
k �"" =
"ki
"xi
i=1
Zauważamy dodatkowo, że w liczniku mamy iloczyn dwóch całek wzajemnie sprzężonych, a więc kwadrat
całki, który jest zawsze dodatni  możemy zlikwidować minusy. Uzyskujemy:
"ul 0 "un0
�ł �ł
* *
�ł
n0 l 0
+"u "xi dV �"+"u "xi dV �ł
h4 3 " V
�ł �ł
V
En (k ) = En0 + kik
" " j
�ł
m2 i, j=1 �ł l=1 En0 - El 0
�ł �ł
l`"n
�ł �ł
�ł łł
2
h2k
Do tej energii musimy jeszcze dodać :
2m
2
h2k
E = E ' +
2m
Ostatecznie:
"ul 0 "un0
�ł �ł
* *
�ł
n0 l 0
+"u "xi dV �"+"u "xi dV �ł 2
h4 3 " V h2k
�ł �ł
V
En (k ) = En0 + kik +
" " j
�ł
m2 i, j=1 �ł l=1 En0 - El 0 2m
�ł �ł
l`"n
�ł �ł
�ł łł
Jak widać, w krysztale dla elektronu o wektorze falowym k , w przeciwieństwie do elektronu swobodnego,
pojawiają się pasma energetyczne.
Energię elektronu w krysztale możemy wyrazić skrótowo, przez analogię do elektonu swobodnego:
3
h2kik
2
j
h2k h2 (k1k1 + k2k2 + k3k3)
En (k ) = En0 +
"
)
2m* j (w elektronie swobodnym: 2m =
2m
i, j=1
i
m* j jest tzw. masą efektywną elektronu na danym kierunku, wynikającą z anizotropii rozkładu energii w sieci
i
krystalicznej:
"ul 0 "un 0
* *
l 0
+"u "xi dV �"+"u "xi dV
�
1 2h2 " V n 0
i j
V
= +
"
m* j m m2 l=1 En0 - El 0
i
l`"n
Elektron w krysztale zachowuje się jak elektron swobodny, tyle że zachowuje się tak, jakby miał w każdym
kierunku inną masę. Masa efektywna jest tensorem, który, jeśli wez
miemy osie główne kryształu, będzie
wyglądał następująco:
�ł �ł
1
�ł �ł
0 0
*
m11
�ł �ł
�ł �ł
1 1 2 2
�ł �ł
h2 �ł k12 k2 k3 �ł
= 0 0
�ł �ł
*
E = + +
m* j �ł m22 * * *
�ł
i
�ł
2 m11 m22 m33 �ł
�ł łł
1
�ł �ł
0 0
*
�ł
m33 �ł
�ł łł
Z kolei w kryształach izotropowych, np. kubicznych (Si, Ge, GaAs) wszystkie trzy osie są równoważne:
2
h2k
E =
2m *
Możemy też mieć do czynienia z kryształem, w którym wyróżniona jest jedna oś:
2 2
k|| = kz
2 2 2
k+ = kx + ky
Wówczas:
2
2
h2 �ł k|| k+ �ł
�ł �ł
E = +
*
�ł
2 m|* m+ �ł
|
�ł łł
Warunki periodyczności Borna-Karmana:
Aby opisać kryształ o skończonej liczbie N atomów, musimy atomowi o indeksie N +1 przypisać numer 1.
Można sobie wyobrazić, że gdy mamy jednowymiarowy kryształ, zamykamy go w  kryształ cykliczny :
Z kolei kryształ 2-wymiarowy: w torus
(nie sposób sobie wyobrazić analogicznej operacji na krysztale 3-wymiarowym, ale dokonujemy tego w
rachunkach)
Funkcja Blocha musi zatem spełniać warunek:
ei kx ( x+N1a1)uk (x + N1a1) = ei kxxuk (x)
, (gdy rozpatrujemy jeden kierunek, np. x )
x
ei k N1a1 = 1 kxN1a1 = 2Ą n1 n1 = 1, 2, 3, ..., N1
, gdy ,
Wynika stąd, że wektor falowy musi być równy:
2Ą n1
kn =
x
a1 N1
Analogicznie dla pozostałych kierunków:
2Ą n2 2Ą n3
kn = kn =
y z
a2 N2 a3 N3
Wszystkich atomów mamy N = N1 �" N2 �" N3
3
2Ą 2Ą 2Ą 8Ą
Objętość komórki elementarnej: Vk = �" �" = L1 �" L2 �" L3 = , gdzie V - objętość kryształu
a1N1 a2 N2 a3N3 V
1 V 1
Gęstość stanów w przestrzeni kryształu: �(k) = = , jeśli przyjmiemy jednostkową objętość
3 3
Vk 8Ą 8Ą
V 1
Gdy uwzględnimy spin, gęstość stanów wzrośnie dwukrotnie: �(k) =
3 3
4Ą 4Ą
Model ciasnego wiązania
Zakładamy, że dla konkretnego atomu znamy:
$
0�0 = E0�0
Rozważmy jeden kierunek w sieci kryształu, w której atomy powtarzają się periodycznie o a
i ponumerujmy kolejne atomy:
$
0�i = E0�i
2 2
�i = �0
�i
Funkcje będą miały ten sam kształt, ale będą przesunięte w fazie:
Wez
my się za równanie:
$
� = E�
$

, gdzie jest hamiltonianem dla całego kryształu
Dla atomu poza kryształem:
2
h2 d
Ć
$
0 = - + Vat (x)
2m dx2
W krysztale:
2
h2 d
Ć Ć
$
= - + Vkr(x) = $
0 + Vp(x)
2m dx2
Ć
gdzie Vp to tzw. potencjał perturbacji, wynikający z umieszczenia atomu w sieci krystalicznej:
Ć Ć Ć
Vp(x) = Vkr(x) - Vat(x)
Ponieważ funkcja � zostaje zmieniona przez potencjał perturbacji, nie jest już funkcją własną hamiltonianu.
Musimy ją rozpisać w szereg funkcji, które znamy:
N
� =
"c�
i i
, gdzie N jest liczbą atomów w sieci kryształu
i=1
Jeśli uwzględnimy tylko oddziaływanie najbliższych sąsiadów:
" "
* *
Ć Ć
i-1 i i i+1
+"� Vp� dx = +"� Vp� dx = -W
-" -"
gdzie W > 0 - potencjał perturbacji obniża energię całkowitą (inaczej kryształ byłby niestabilny).
N
� = �
$
� = E�
Wstawiamy do :
"ci i
i=1
N N
"
$
*
"c� = E"c�
i i i i
- całkujemy obustronnie: / dx
m
+"�
i=1 i=1
-"
" "
N N
* *
Ć
($
0 + Vp)"ci� dx =
m i m "c� dx
i i
+"� +"� E
i=1 i=1
-" -"
Lewa strona jest równa:
" " "
N N
�ł �ł
* * *
Ć Ć
�ł
($
0 + Vp)"ci� dx =
m i "ci m i m i
+"� +"� $
0� dx + +"� Vp� dx�ł =
�ł �ł
i=1 i=1
-" �ł -" -" łł
||
E0�
i
" "
N N
* *
Ć
= E0 m� dx +
"c i "c
i i m i
+"� +"� Vp� dx = cmE0 -W (cm-1 + cm+1)
i=1 i=1
-" -"
|| || ę!
�mi
-W
uwzględniamy tylko najbliższych sąsiadów
cm = Aei ksma , gdzie ma = x ( a to stała sieciowa)
Zgadujemy rozwiązanie w postaci fali:
Aei ks maE0 -W (Aei ks (m-1)a + Aei ks (m+1)a ) = Aei ks maE
Aei ksma
dzielimy obustronnie przez :
E0 -W (e-i ks a + ei ks a ) = E
I tym sposobem otrzymujemy zależność energii od wektora falowego:
E = E0 - 2W cos ksa
Wynik jest bardzo prosty, ale to tylko dzięki temu, że rozpatrywaliśmy wyłącznie jeden kierunek.
Koncentracja nośników w półprzewodnikach
Prawdopodobieństwem zajmowania danego stanu energetycznego przez fermiony rządzi
statystyka Fermiego-Diraca:
1
f (E) =
E-EF
, gdzie k jest stałą Boltzmanna, zaś EF to energia Fermiego
kT
e + 1
Przykładowo, dla metali, w temperaturze ok. 300 K:
W przestrzeni odwrotnej poziom Fermiego tworzy kulę, znajdującą się w środku strefy Brillouina.
Stany poniżej poziomu Fermiego (wewnątrz kuli) są obsadzone, z kolei poza kulą  praktycznie puste. Prąd
jest przewodzony przez elektrony rozmyte na powierzchni kuli  jest ich o dwa rzędy wielkości mniej, niż
wewnątrz, ale i tak nie wszystkie biorą udział w przewodzeniu.
Na sferze o promieniu wyznaczanym przez wektor falowy k gęstość stanów jest jednorodna:
1
�(k) =
3
4Ą
Gęstość zależy od energii, a ta jest proporcjonalna do kwadratu wektora falowego:
2
h2k
E =
2m *
dN
Gęstość nośników możemy wyrazić jako stosunek ich koncentracji do objętości: �(k) =
dV
2
1 k
2
dN = �(k)dV = 4Ąk dk = dk
stąd:
3 2
4Ą Ą
dN = �(E)dE
Jednocześnie możemy napisać:
2
k dk
�(E) =
A
ącząc powyższe równości uzyskujemy:
2
Ą dE
2
h2k dE h2k
E = =
Korzystając z zależności obliczamy pochodną:
2m * dk m *
2
k m * k m *
�(E) = =
2 2
Ą h2k Ą h2
2
h2k
2m * E
E =
Z równania mamy również wyrażenie na k : k = , które wstawiamy tego powyżej:
2m * h
21 2 (m*)3 2
�(E) = E
2
Ą h3
- jest to zależność prawdziwa na dnie pasma przewodnictwa, tam, gdzie nośniki przewodzą prąd
Nośnikami ładunku mogą być zrówno elektrony, o rozkładzie:
1
f (Ee ) =
Ee-EF
,
kT
e + 1
jak i dziury, oznaczające brak elektronu:
f (Ed ) = 1- f (Ee ) Ed = -Ee , stąd:
1
f (Ed ) =
Ed +EF
kT
e + 1
- poziom Fermiego jest taki sam dla elektronów i dziur, znajduje się mniej więcej w połowie przerwy
Eg
energetycznej, tam też wybieramy poziom zerowy: przeskalowujemy energię Ee + Ee
2
Koncentracja elektronów w paśmie przewodnictwa  całka po strefie Brillouina:
"
n = f (E)�(E)dE = f (Ee)�(Ee)dEe =
+" +"
SB 0
"
1 21 2(m*)3 2 2
= Ee1 dEe
2
+" Ee Eg EF
- Ą h3
0
kT
ekT e2kT e + 1
Ee Eg EF
- -
1 1
kT 2kT kT
H" = e e e
Stosujemy przybliżenie: Ee Eg EF Ee Eg EF
- -
kT kT
ekT e2kT e + 1 ekT e2kT e
" Ee Eg EF 2
- -
21 (m*)3 2 2
kT 2kT
n =
2
+"e e ekT �" Ą h3 Ee1 dEe
0
= const
Ee 1 2
x =
Ee = (kT )1 2 x1 2 , dEe = kT dx
Zamiana zmiennych: ,
kT
Eg EF 2
-
21 (m*)3 2(kT)3 2 " -x 2
2kT kT
n = e e �" �" x1 dx
2
+"e
Ą h3
0
||
Ą
2
Ostatecznie:
3
Eg
*
-
�ł �ł2 2kT EF
me kT
kT
�ł �ł
n = 2�ł e e
- koncentracja elektronów w paśmie przewodnictwa
2Ą h2 �ł
�ł łł
Wykonując analogiczne obliczenia w przypadku dziur otrzymalibyśmy:
3
Eg
*
- -
�ł �ł2 2kT EF
md kT
kT
�ł
p = 2�ł �ł e e
- koncentracja dziur w paśmie walencyjnym
2Ą h2 �ł
�ł łł
Półprzewodniki samoistne
S
EF
Poziom Fermiego dla półprzewodnika niedomieszkowanego (samoistnego) oznaczamy symbolem .
W półprzewodniku takim liczba elektronów jest równa liczbie dziur:
n = p = nS
Korzystając ze wzorów:
3 3
Eg Eg
* *
�ł �ł2 - 2kT EF �ł �ł2 - 2kT - EF
me kT md kT
kT kT
�ł �ł �ł
n = 2�ł e e p = 2�ł �ł e e
i
2Ą h2 �ł 2Ą h2 �ł
�ł łł �ł łł
Otrzymujemy zależność:
S S
EF EF
-
* *
kT kT
(me )3 2e = (md )3 2 e
S
3 2
2EF
*
*
�ł �ł
md
3 md
kT
S
�ł �ł
e =
EF = kT ln
*
�ł �ł *
me
4 me
�ł łł
Mając poziom Fermiego, możemy policzyć koncentrację nośników nS :
3
Eg S
*
�ł �ł2 - 2kT EF
me kT
kT
�ł �ł
nS = 2�ł e e
2Ą h2 �ł
�ł łł
*
3 md
3
kT ln
S *
4
EF me
*
�ł �ł4
md
kT
�ł �ł
ekT = e =
*
�ł �ł
me
�ł łł
3 2
*
(me)
Mnożymy ten wyraz przez :
3
3
*
�ł �ł4
3 2 md
* * * 1 2
2
�ł �ł
(me) �"�ł * �ł =[(me �" md ) ]
me
�ł łł
* * 1 2 * * 1 2 *
(me �" md ) (me �" md ) = mr
Wyrażenie to masa zredukowana:
A więc:
3
Eg
*
�ł �ł2 - 2kT
mr kT
�ł �ł
nS = 2�ł e
2Ą h2 �ł
�ł łł
- koncentracja samoistna zależy tylko od masy zredukowanej, przerwy energetycznej i temperatury
Fonony akustyczne
Fonony to drgania atomów w sieci kryształu. Najłatwiej jest je wyprowadzić z sieci liniowej:
F =
Siła działająca na atom wychylony z położenia równowagi: -ą x
, gdzie ą - stała siłowa
Fw = m a
Z II prawa dynamiki Newtona: �! przyspieszenie = druga pochodna wychylenia po czasie:
&
m�&n = ą �n-1 -ą �n + ą �n+1 -ą �n
&
m�&n = ą(�n-1 - 2�n +�n+1) - n - te równanie, dotyczące wychylenia n -tego atomu
Równanie to jest skojarzone z równaniem n -1 i n +1.
Szukamy rozwiązania w postaci fali płaskiej:
�n = Aei(�t-qna) , gdzie na = x to położenie atomu w sieci
2
- m� = ą(eiqa + e-iqa - 2)
- m�2 = ą(2cos qa - 2)
2ą
� = (1- cos qa)
m
Korzystamy z własności funkcji trygonometrycznych:
cos 2x = cos2 x - sin2 x = 1- 2sin2 x 2sin2 x = 1- cos 2x
4ą qa ą qa
� = sin2�ł �ł = 2 �" sin
�ł �ł
- jest to wyrażenie na dyspersję sieci
m 2 m 2
�ł łł
Najkrótsza możliwa fala akustyczna, jaka może się rozchodzić w ciele stałym:
2Ą Ą
qmax = =
min = 2a
, stąd
min a
ą
� = �" qa = uq
siną H" ą
u
Dla małych ą : , gdzie - prędkość dz
więku w krysztale
m
Po skwantowaniu tego pola harmonicznego uzyskamy fonony  elementarne drgania atomów:
1
�łn �ł
E = h� +
�ł �ł
Energia całkowita drgań:
2
�ł łł
- okazuje się, że dla n = 0 występują drgania zerowe (atomy w sieci nie mogą być nieruchome)
Fonony optyczne
Rozpatrujemy sieć, w której mamy po dwa atomy na węzeł:
&
m1�&n,1 = ą �n-1,2 -ą �n,1 + � �n,2 - � �n,1
&
m2 �&n,1 = � �n,1 - � �n,2 + ą �n+1,1 -ą �n,2
�n,1 = Aei(�t-qna)
�n,2 = Bei(�t-qna)
Dla obu atomów częstość i wektor falowy są takie same, różne są natomiast amplituda i faza.
Otrzymujemy układ równań:
ńł - m1�2A = ąBeiqa -ąA + �B - �A
�ł
ół- m2�2B = �A - �B + ąAe-iqa - ąB
ńł
A[(ą + � ) - m1�2] - B(ąeiqa + � ) = 0
�ł
ółA(-� -ąe-iqa ) + B[(ą + � ) - m2�2] = 0
W zapisie macierzowym:
�ł łł A 0
(ą + � ) - m1�2 - (ąeiqa + � ) �ł łł �ł łł
=
�ł
- (ąe-iqa + � ) (ą + � ) - m2�2śł�ł śł �ł0śł
�łB�ł �ł �ł
�ł �ł
Rozwiązanie nietrywialne istnieje wtedy, gdy wyznacznik macierzy `" 0 .
[(ą + � ) - m1�2][(ą + � ) - m2�2]- (ąeiqa + � )(ąe-iqa + � ) = 0
gdy przyjmiemy, że m1 = m2 = m , ilość rozwiązań się nie zmieni, a za to równanie się uprości:
2 2
[(ą + � ) - m�2]2 - (ą + � + 2ą� cos qa) = 0
2
= �
2
(ą + � ) - m� = ą�
(ą + � ) ą�
� =
m
2 2 2
q = 0 � = ą + � + 2ą� = (ą + � )2
Gdy ,
2(ą + � )
�- = 0, �+ =
m
Ą
2 2 2
q =
� = ą + � - 2ą� = (ą - � )2
Gdy ,
a
2� 2ą
�- = , �+ =
m m
Jak zinterpretować to rozwiązanie?
Górna linia to drgania optyczne  atomy z jednego węzła wychylają się w przeciwne strony.
Dolna linia  drgania akustyczne, w których atomy z jednego węzła wychylają się w tę samą stronę.
Wśród tych drgań wyróżniamy jeszcze fale poprzeczne: T1 i T2 , oraz fale podłużne L.
Tworzą one tzw. gałęzie: 3 gałęzie akustyczne, oraz 3(n-1) gałęzi optycznych.