Egzamin z Równań Różniczkowych, 25 VI 2013
1. godz. 9.00 Zadanie wstępne
1.1 Równanie charakterystyczne pewnego równania różniczkowego liniowego 4 rzędu
o stałych współczynnikach ma pierwiastki r1 = 0 , r2 = -2 ,
r3 = 2i , r4 = -2i . Wyznaczyć rozwiązania szczególne tego równania różniczko-
wego tworzące fundamentalny układ rozwiązań.
1.2 Rozwiązać równanie: y = y .
"

1.3 Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu sinn x .
n=1
1.4 Narysować wykres sumy szeregu Fouriera funkcji

-1 , x " (-Ä„, 0)
f(x) = na przedziale [-Ä„, 2Ä„]
3 , x " (0, Ä„)
1.5 Dla jakiej wartości p " R krzywizna krzywej

x = p cos t
K : t " [0, 2Ä„)
y = p sin t
dla t = Ą jest równa 5 ?
1. godz. 10.00 Zadanie wstępne
1.1 Czy funkcje f1(x) = 1 , f2(x) = x , f3(x) = x2 tworzą fundamentalny układ roz-
wiązań pewnego równania różniczkowego liniowego 3 rzędu o stałych współczyn-
nikach? Odpowiedz
uzasadnić.
1.2 Rozwiązać równanie y = y2 .
2
1.3 Rozwinąć w szereg Maclaurina funkcję f(x) = e-x
1.4 Dla jakiej wartości parametru p " R suma szeregu Fouriera funkcji

1 , x " (-Ä„, 0)
f(x) =
x + p , x " (0, Ä„)
przyjmuje w punkcie x = 0 wartość równą 0 ?
Wyznaczyć wektor normalny główny krzywej opisanej równaniem
-
(t) = [t , t2 et] dla t = 0 .
r ,
2. Rozwiązać równanie:
y + y tg x = cos2 x
3. Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego
Å„Å‚
x + y
òÅ‚
xy - y = (x + y) ln
x
ół
y(1) = 1
4. Rozwiązać zagadnienie początkowe
Å„Å‚
‹
ôÅ‚ - y = 0
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
Ź + 9x = 0
ôÅ‚
x(0) = 1
ôÅ‚
ôÅ‚
ół
y(0) = 0
1
 2
2
5. Wyznaczyć przybliżoną wartość całki ex dx wykorzystując trzy początkowe wy-
0
2
razy szeregu Maclaurina funkcji y = ex .
6. Dana jest funkcja
Å„Å‚
ôÅ‚ 4 dla x " (-Ä„ , -1)
òÅ‚
f(x) = -4 dla x " (1 , Ä„)
ôÅ‚
ół
0 dla x " (-1 , 1)
Uzupełnić tę funkcje aby w przedziale [-Ą, Ą] spełniała warunki Dirichleta. Sporządzić
wykres. Wyznaczyć szereg Fouriera tej funkcji.
2