MECHANIKA TEORETYCZNA
Temat nr 2
Wypadkowa płaskiego układu sił
1
Układ sił zbieżnych
r�
P2
r�
P3
r�
P1
O
1. Definicja
Układ sił, których linie działania przecinają się w jednym punkcie, nazywamy zbieżnym
układem sił (przestrzennym lub płaskim). Punkt przecięcia linii działania sił O nazywa się
punktem zbieżności.
2
2. Wypadkowa układu sił zbieżnych
r� r� r� r�
Układ sił zbieżnych przyłożonych do punktu O można zastąpić siłą
P1, P2, P3,K�Pn
r�
wypadkową równą sumie geometrycznej tych sił i przyłożoną również w tym
P
punkcie.
A. Wyznaczanie graficzne wypadkowej układu sił zbieżnych.
r�
r�
r�
P
P2
r�
P3
P3
r�
r�
P
P1
r�
P2
O
r�
P1
3
B. Wyznaczanie analityczne wypadkowej układu sił zbieżnych.
y
n
Px =� P1x +� P2 x +� P3x +�K�+� Pnx =�
��P
ix
i=�1
n
Px =� P1 cosa�1 +� P2 cosa�2 +� P3 cosa�3 +�K�Pn cosa�n =� cosa�i
��P
i
i=�1
n
Py =� P1y +� P2 y +� P3 y +�K�+� Pny =�
��P
iy
i=�1
r�
n
P2 Py =� P1 sina�1 +� P2 sina�2 +� P3 sina�3 +�K�Pn sina�n =� ��P sina�i
i
r�
i=�1
P
r�
P =� Px2 +� Py2
Py
r�
a�
tana� =�
r�
P1
Px
a�3 a�2
P3
x
a�1
O
4
Zadanie 1
Wyznaczyć wypadkową sił działających na punkt O:
P1 =� 200kN,
P2 =� 300kN,
P3 =�150kN,
tworzących z osią x kąty odpowiednio równe
a�1 =� 60��,
a�2 =� 45��,
a�3 =� -�30��.
5
r�
Rozwiązanie zadania 1
r�
P2
a�3
P3
y
y
r�
r�
P
r�
r�
P2
a�2
P1
P1
a�
a�1
a�1 a�2
a�3
x
x
O
O
r�
P3
Px =� P1 cosa�1 +� P2 cosa�2 +� P3 cosa�3 =� 200��0,5 +� 300��0,71+�150��0,86 =� 443kN
Py =� P1 sina�1 +� P2 sina�2 -� P3 sina�3 =� 200��0,86+� 300��0,71+�150��0,5 =� 310kN
r�
P =� Px2 +� Py2 =� 4432 +� 3102 =� 540kN
Py 310
tana� =� =� =� 0,700 a� =� 35��
Px 443
6
Zadanie 2
Wyznaczyć siłę, jaką węzeł O kratownicy wywiera na pręt DE, jeżeli siły działające
wzdłuż prętów OA, OB i OC wynoszą:
y
P1 =� P3 =�14,1kN,
P2 =�10,0kN.
E
45��
r�
A
P1
O
45��
B
r�
D 45��
45��
P2
C
r�
P3
x
7
Rozwiązanie zadania 2
y
Px =� P1 cos45�� -� P2 +� P345�� =�
=�14,1�� 0,7071-�10,0 +�14,1�� 0,7071=�10,0kN
E
Py =� P1 sin 45�� -� P3 sin 45�� =�
r�
=�14,1�� 0,7071-�14,1�� 0,7071=� 0,0kN
45��
r�
P
A
P1
r�
P =�10,0kN
O
tana� =� 0,0 a� =� 0��
45��
B
r�
D 45��
45��
P2
C
r�
P3
x
8
Dowolny układ sił
1. Wypadkowa dowolnego układu sił
r� r� r� r� r�
Dowolny układ sił można zastąpić siłą wypadkową W równą sumie
P1, P2, P3,K�Pn
geometrycznej tych sił i położoną w przestrzeni w taki sposób, że efekt jej działania jest
r� r� r� r�
r�
równy efektowi działania układu sił P1, P2 P3 ,K�Pn (sił składowych wypadkowej ).
,
W
A. Wyznaczanie analityczne wypadkowej dowolnego płaskiego układu sił.
y
Równanie linii działania wypadkowej w postaci
r�
odcinkowej:
W
xW yW
+� =�1
xW
MO MO
-�
yW
Wy Wx
n n n n
x
O M
O
Wx =�
��P =� ��P cosa�i Wy =� ��P =� ��P sina�i
ix i iy i
MO Wy
-�
i=�1 i=�1 i=�1 i=�1
Wx
r� r� r� r�
MO- wartość momentu układu sił P1, P2, P3 ,K�Pn
względem początku układu współrzędnych
9
Zadanie 1
Wyznaczyć wypadkową płaskiego układu sił przedstawionego na rysunku:
y
P1 =�10,0kN a�1 =� 30��
r�
P1
P2 =�15,0kN
a�1
P3 =� 20,0kN a�3 =� 40��
A1(�3,5)�
r�
P2
r�
A2(�6,1)�
P3
O
x
a�3
A3(�2,-�2)�
10
Rozwiązanie zadania 1
P1 =�10,0kN a�1 =� 30��
y
P2 =�15,0kN
8,52
P3 =� 20,0kN a�3 =� 40��
r�
r�
Wy
r�
W
P1
MO =� 10,0��sin 30����3,0 -�10,0��cos30����5,0 +�
a�1
A1(�3,5)�
+�15,0��6,0 +� 20,0��sin 40���� 2,0 +�
r�
P2
-� 20,0��cos40���� 2,0 =� 56,77kNm
r�
Wx =� 10,0��cos30�� -� 20,0��cos40��
=� -�6,66kN
Wx
r�
A2(�6,1)�
P3
Wy =�
O 10,0��sin 30�� +�15,0 +� 20,0��sin 40��
=� 32,86kN
x
1,73
W =� 32,862 +� 6,662 =� 33,53kN
a�3
A3(�2,-�2)�
MO
MO
=�1,73m
-� =� 8,52m
Wy
Wx
11