Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Wykład 6: Prawdopodobieństwo warunkowe.
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym.
Wzór Bayesa. Niezależność zdarzeń.
Definicja.
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem,
że zaszło zdarzenie B, gdzie A, B " F, P (B) > 0, dane jest wzorem
P (A )" B)
P (A|B) = .
P (B)
Dla B takiego, że P (B) = 0, można przyjąć P (A|B) = 0.
Przy ustalonym B, P (B) > 0, oznaczyć możemy P (A|B) = PB(A). PB to nowe prawdo-
podobieństwo na (&!, F), tzn. (&!, F, PB) jest nową przestrzenią probabilistyczną.
P (A) - prawdopodobieństwa a priori (przed faktem)
PB(A) - prawdopodobieństwa a posteriori (po fakcie).
Własności prawdopodobieństwa warunkowego:
P (A)
1. JeÅ›li A ‚" B, A, B " F, P (B) > 0, to P (A|B) = .
P (B)
2. JeÅ›li B ‚" A, A, B " F, P (B) > 0, to P (A|B) = 1. W szczególnoÅ›ci, P (B|B) = 1.
3. Jeśli A )" B = ", A, B " F, P (B) > 0, to P (A|B) = 0.
4. Jeśli A, B " F, P (B) = 1, to P (A|B) = P (A).
1
Definicja.
Rozbiciem zbioru &! nazywamy rodzinÄ™ {Bn, n " T ‚" N} zdarzeÅ„ losowych parami

rozłącznych (tzn. Bi )" Bj = " dla i = j) taką, że Bn = &!.

n"T
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym:
Niech {Bn, n " T ‚" N} bÄ™dzie rozbiciem zbioru &! takim, że P (Bn) > 0 dla każdego n.
Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego A mamy

P (A) = P (A|Bn)P (Bn).
n"T
Wzór Bayesa:
Niech {Bn, n " T ‚" N} bÄ™dzie rozbiciem zbioru &! takim, że P (Bn) > 0 dla każdego n.
Wtedy dla dowolnego zdarzenia losowego A takiego, że P (A) > 0, i dla każdego n " T
mamy
P (A|Bn)P (Bn)
P (Bn|A) = .
P (A)
P (A) możemy wyliczyć z tw. o prawdopodobieństwem całkowitym.
Przykłady do zad. 5.1
2
Definicja.
Zdarzenia A i B z przestrzeni probabilistycznej (&!, F, P ) nazywamy niezależnymi, gdy
P (A )" B) = P (A)P (B).
Własności zdarzeń niezależnych.
1. Jeśli A i B są niezależne i P (B) > 0, to P (A|B) = P (A).
2. Jeśli A )" B = ", P (A) > 0, P (B) > 0, to A i B nie są niezależne.
3. JeÅ›li A ‚" B, P (A) > 0, P (B) < 1, to A i B nie sÄ… niezależne.
4. Jeśli A i B są niezależne, to niezależne są także zbiory
" A i Bc,
" Ac i B,
" Ac i Bc.
5. Jeżeli P (A) = 1, tzn. A jest zdarzeniem prawie pewnym, to A i dowolne zda-
rzenie B są niezależne. W szczególności, &! i dowolne zdarzenie B są niezależne.
6. Jeżeli P (A) = 0, to A i dowolne zdarzenie B są niezależne. W szczególności, " i
dowolne zdarzenie B są niezależne.
Definicja.
Zdarzenia A, B i C z przestrzeni probabilistycznej (&!, F, P ) nazywamy niezależnymi
(wzajemnie niezależnymi), gdy
P (A )" B )" C) = P (A)P (B)P (C),
P (A )" B) = P (A)P (B),
P (A )" C) = P (A)P (C),
P (B )" C) = P (B)P (C).
Definicja.
Zdarzenia z rodziny A = {At, t " T} z przestrzeni probabilistycznej (&!, F, P ) nazywamy
niezależnymi (wzajemnie niezależnymi), gdy dla dowolnego n " N i dla dowolnych
różnych t1, t2, . . . , tn " T zachodzi
P (At )" At )" . . . )" At ) = P (At )P (At ) . . . P (At ).
1 2 n 1 2 n
A to rodzina zdarzeń niezależnych.
Uwaga.
Jeżeli dla dowolnych t1, t2 " T zachodzi P (At )" At ) = P (At )P (At ), to mówimy, że A
1 2 1 2
jest rodziną zdarzeń parami niezależnych.
Przykłady do zad. 5.2
3