2013-04-03
Metody probabilistyczne
Estymacja podstawowych parametrów populacji
Estymacja przedziałowa
1
Estymacja przedziałowa
l Estymacja przedziałowa polega na budowaniu przedziału liczbowego,
który z określonym prawdopodobieństwem będzie zawierał nieznaną
wartość szacowanego parametru .
l Przedział ten nosi nazwę przedziału ufności:
P{g1(n) < < g2(n)} = 1-ą
gdzie:
n estymator parametru ,
g1(n) dolny kres przedziału ufności,
g2(n) górny kres przedziału ufności,
1- ą - prawdopodobieństwo tzw. współczynnik ufności
2
1
2013-04-03
Estymacja przedziałowa
l Przedziałem ufności nazywa się taki przedział liczbowy,
l który z zadanym z góry prawdopodobieństwem (1-a), zwanym
poziomem (współczynnikiem) ufności, pokrywa nieznaną wartość
parametru w populacji generalnej.
l Typowe wartości poziomu ufności: 0,95; rzadziej 0,90 lub 0,98; 0,99
l Interpretacja współczynnika ufności (1-a):
l Przy wielokrotnym pobieraniu n-elementowych prób prostych
i wyznaczeniu na ich podstawie granic przedziałów ufności, średnio
w (1-a)*100% przypadkach otrzymujemy przedziały pokrywające
nieznaną wartość parametru.
l Długość przedziału ufności: g2(n) - g1(n) => im długość przedziału
mniejsza tym szacowanie bardziej precyzyjne,
l Maksymalny błąd szacunku ( g2(n) - g1(n) )/2.
3
Przedział ufności dla średniej
(wartości przeciętnej) ź model 1
Model 1
l Cecha X w populacji generalnej ma rozkład N(ź,),
l Średnia ź nieznana, odchylenie standardowe - znane
Przedział ufności dla średniej ma postać:
ć s s
P X - ua < m < X + ua =1-a
n n
Ł ł
gdzie:
l n liczebność próby
l średnia wyznaczona dla wartości z próby
X
a
l uą- wartość zmiennej losowej U o rozkładzie N(0,1), dla którego F(- ua )=
2
P{-ua
ć s
m N m,
n
Ł ł
4
2
2013-04-03
Przedział ufności dla średniej
(wartości przeciętnej) ź model 2
Model 2
l Cecha X w populacji generalnej ma rozkład N(ź,),
l Średnia ź nieznana, odchylenie standardowe nieznane,
l Próba mała (nd"30).
Przedział ufności dla średniej ma postać
ć S S
P X -ta ,n-1 < m < X + ta ,n-1 =1-a
l lub
n -1 n -1
Ł ł
ć S* S*
P X - ta ,n-1 < m < X + ta ,n-1 =1-a
n n
Ł ł
gdzie:
l n liczebność próby,
X
l , S, S* średnia i odchylenie standardowe wyznaczone dla wartości z próby,
l tą,n-1- wartość zmiennej losowej T o rozkładzie t-Studenta dla n-1 stopni swobody,
dla którego
P{Tn-1 > ta ,n-1}> a
5
Przedział ufności dla średniej
(wartości przeciętnej) ź model 3
Model 3
l Cecha X w populacji generalnej ma rozkład N(ź,),
l Średnia ź nieznana, odchylenie standardowe nieznane,
l Próba duża (n>30),
Przedział ufności dla średniej ma postać
ć S S
P X - ua < m < X + ua =1-a
n n
Ł ł
l uą- wartość zmiennej losowej U o rozkładzie N(0,1), dla którego a
F(- ua )=
2
P{-ua 6
3
2013-04-03
Przedział ufności dla średniej
(wartości przeciętnej) ź przykład 1
l W 100 losowo wybranych gospodarstwach domowych średnia miesięczna opłata za
energię elektryczną wyniosła 68 złotych, a odchylenie standardowe s=14 złotych.
Oszacuj za pomocą przedziału ufności średnie miesięczne wydatki na energię
elektryczną w całej populacji przyjmując poziom ufności 1-ą=0,96.
x = 68
l Dane: n=100, s=14, 1-ą=0,96
l Model 3: H" s,
l Odczyt -uą: ą = 0,04 => ą/2 = 0,02
l Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego odczytujemy wartość u0,02=-2,05, dla
której Ś(-2,05)=0,02
l Przedział ufności wyliczymy następująco:
s s
X - ua < m < X + ua
Wniosek:
n n
Przedział (65,1 zł ; 70,9 zł)
14 14
z prawdopodobieństwem 0,96
68 - 2,05 < m < 68 + 2,05
(z ufnością 96%) pokrywa nieznane
100 100
przeciętne wydatki na energię
elektryczną w całej populacji.
65,1< m < 70,9
7
Przedział ufności dla średniej
(wartości przeciętnej) ź przykład 2
l Dla 17 losowo wybranych pracowników firmy A otrzymano średni czas dojazdu 26
minut, a odchylenie standardowe s=6 minut. Oszacuj za pomocą przedziału
ufności przeciętny czas dojazdu (ź) w całej populacji pracowników firmy A
przyjmując poziom ufności 0,95.
l Dane: n=17, > x=26, s=6, 1-ą=0,95
l Założenie: Cecha ma w populacji rozkład normalny N(ź;s).
l Model 2: H" s,
l Odczyt -tą: ą = 0,05;
l Z tablic rozkładu t-Studenta, dla liczby stopni swobody n-1=17-1=16
wartość t0,05,16=2,1199;
l Przedział ufności wyliczymy następująco:
S S
X -ta ,n-1 < m < X + ta ,n-1
Wniosek:
n -1 n -1
Przedział (22,8 min; 29,2 min)
z prawdopodobieństwem 0,95
6 6
26 - 2,1199 < m < 26 + 2,1199
(z ufnością 95%) pokrywa nieznany
17 -1 17 -1
przeciętny czas dojazdu w całej
22,8 < m < 29,2 populacji pracowników firmy A
8
4
2013-04-03
Przedział ufności dla wskaznika struktury p
Model
l Przedział taki konstruujemy tylko dla dużych prób (n>100),
l Populacja generalna ma rozkład dwupunktowy z parametrem p oraz p > 0,05.
Przedział ufności dla wskaznika struktury ma postać:
ć
m m m m
*ć1- *ć1-
m m n n
n n
P - ua Ł ł < p < + ua Ł ł = 1-a
n n n n
Ł ł
gdzie:
l n liczebność próby,
l m liczba elementów wyróżnionych w próbie,
l uą- wartość zmiennej losowej U o rozkładzie N(0,1),
dla której P{- ua < U < ua} = 1-a
ć
p*(1- p)
Ć
p N p,
n
Ł ł
9
Przedział ufności wskaznika struktury p
przykład
l Zapytano 200 losowo wybranych pracowników :
Kto w codziennych dojazdach do pracy korzysta z prywatnego samochodu?
W 72 przypadkach otrzymano odpowiedz, że ankietowany korzysta z samochodu.
Zbuduj przedział ufności dla pracowników (p), w którzy dojeżdżają prywatnym
samochodem, przyjmując poziom ufności 0,99,
l Dane: n=200, m=72, 1-ą=0,99
l Założenie: Cecha ma w populacji rozkład dwupunktowy.
l Odczyt -uą: ą = 0,01 => ą/2 = 0,005;
l Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego odczytujemy wartość u0,005=2,58;
Ś(-2,58)=0,005
l Przedział ufności wyliczymy następująco:
m m m m
ć1- ć1-
Wniosek:
m m
- ua n Ł n ł < p < + ua n Ł n ł
Przedział (27,2% ; 44,8%) z
n n n n
prawdopodobieństwem 0,99 (z
72 72 72 72
ć1- ć1-
ufnością 99%) pokrywa nieznany
72 200 200 72 200 200
Ł ł Ł ł
(dla całej populacji) odsetek
- 2,58 < p < + 2,58
200 200 200 200
pracowników dojeżdżających do
pracy prywatnym samochodem.
10
0,272< p < 0,448
5
2013-04-03
Przedział ufności dla wariancji 2 model 1
Model 1
l Cecha X w populacji generalnej ma rozkład N(ź,),
l Średnia ź nieznana, odchylenie standardowe nieznane,
l Próba mała (nd"30),
Przedział ufności dla wariancji ma postać:
ć
ć
nS2 2 nS2 2 2
(n -1) S* 2 (n -1) S*
P < s < =1-a
P < s < = 1-a
2 2
2 2
ca c
ca c
a
a
1-
1-
Ł 2 2 ł 2 ł
Ł 2
gdzie:
l S2 lub S*2 wariancja z próby,
l
c2 c2 a
a
wartości zmiennej losowej 2 o n-1 stopniach swobody, dla której
1-
2 2
lub
a
a
2 2 2 2
Pc < ca ż = Pc > c1-a ż =
,n-1 ,n-1
2 2
2 2
11
Przedział ufności dla odchylenia standardowego
model 2
Model 2
l Cecha X w populacji generalnej ma rozkład N(ź,) lub zbliżony do
normalnego,
l Średnia ź nieznana, odchylenie standardowe nieznane,
l Próba duża (n>>30)
Przedział ufności dla odchylenia standardowego ma postać:
ć
S S
P < s < =1-a
ua ua
1+
1-
2n 2n
Ł ł
gdzie:
l S odchylenie standardowe z próby,
l uą- wartość zmiennej losowej U o rozkładzie N(0,1), dla której F(ua )=1-a 2
P{-ua ć s
l Estymator s parametru ma asymptotyczny rozkład normalny
Ns ,
12
2n
Ł ł
6
2013-04-03
Przedział ufności dla wariancji 2 przykład 1
l Badając wytrzymałość elementu konstrukcyjnego pewnego urządzenia
dokonano 8 pomiarów wytrzymałości. Wariancja obliczona na podstawie próby
s2 wynosi 139,5. Zbuduj przedział ufności dla wariancji 2 wytrzymałości
elementu przyjmując współczynnik ufności 0,96.
l Dane: n=8, s2=139,5, 1-ą=0,96, ą = 0,04; ą/2=0,02
l Założenie: cecha ma w populacji rozkład normalny N(ź;s).
l Model 1: H" s,
l Odczyt 21-ą/2,7 i 2ą/2,7
l Z tablic rozkładu 2, dla liczby stopni swobody n-1=8-1=7
wartość 20,02,7=16,622 i ; 20,98,7=1,564
l Przedział ufności wyliczymy następująco:
nS2 2 nS2
Wniosek:
< s <
2
ca / 2,n-1 c12 / 2,n-1 Przedział (7,7 ; 25,0)
-a
z prawdopodobieństwem 0,96
7*139,5 7*139,5
2
< s <
(z ufnością 96%) pokrywa nieznane
16,622 1,564
odchylenie standardowe dla
2 13
58,7 < s < 624,4 (7,7 ; 25,0) wytrzymałości elementu
Ustalenie minimalnej liczebności próby
z zadanym z góry
błędem szacunku d
14
7
2013-04-03
Zagadnienie minimalnej liczebności próby
Z reguły z populacji pobiera się tylko jedną n-elementową próbę
l Zbyt duża próba => zbyt duże koszty, opóznienia czasu analizy
wyników,
l Zbyt mała próba => nie zapewnia żądanej dokładności i
wiarygodności wnioskowania.
Aby wyznaczyć minimalną liczebność próby należy ustalić:
l Poziom współczynnika ufności (1 - ą ),
l Maksymalny błąd szacunku (długość przedziału ufności).
15
Ustalenie minimalnej liczebności próby dla
oszacowania wartości średniej
ć s s
P X - ua < m < X + ua =1-a
n n
Ł ł
d d
Dla szacowania średniej ź na poziomie ufności 1-ą
l gdy znane odchylenie standardowe (model 1)
2 2
uas
minimalna liczebność próby wynosi:
n ł
2
d
gdzie: d zakładana dokładność (maksymalny błąd szacunku),
uą- wartość zmiennej losowej U o rozkładzie N(0,1), dla którego,
P(-ua l gdy n nie jest całkowite zaokrąglamy n w górę
l Większa dokładność wymaga większej liczebności próby
16
8
2013-04-03
Ustalenie minimalnej liczebności próby dla
oszacowania wartości średniej
Dla szacowania średniej ź na poziomie ufności 1-ą
l gdy 2 nieznane (model 2)
2 2
ta S*
n ł
2
d
gdzie:
l wartość wariancji S*2 szacujemy na podstawie no elementowej próby
wstępnej
n0
1 2
S*2 = - X)
(Xi
n0 -1
i=1
l tą- wartość zmiennej losowej T o rozkładzie t-Studenta o n0-1 stopniach
swobody, dla której
P(-ta < T < ta )=1-a
l Następnie, gdy n>n0 należy zwiększyć próbę wstępną o n-n0
17
elementów.
Wyznaczanie niezbędnej liczby pomiarów do próby
przykład
l Ile niezależnych doświadczeń należy przeprowadzić, aby przy współczynniku
ufności 0,95 oszacować metodą przedziałową średni czas dojazdu
pracowników firmy A z dokładnością do 2 minut. Próba wstępna - 17 losowo
wybranych pracowników firmy A dała średni czas dojazdu 26 minut,
a odchylenie standardowe s* = 6,18 minut.
l Dane: n0=17, > x=26, s*=6,18, d=2, 1-ą=0,95
l Założenie: Cecha ma w populacji rozkład normalny N(ź;s).
l Model 2: H" s,
l Odczyt -tą: ą = 0,05;
l Z tablic rozkładu t-Studenta, dla liczby stopni swobody n-1=17-1=16
wartość t0,05,16=2,1199;
l Liczbę elementów w próbie wyliczymy następująco:
2
S*
2
n ł ta ,n-1 2
d Wniosek:
Niezbędna liczba pomiarów dla
6,182
oszacowania średniego czasu dojazdu z
n ł 2,11992
22
dokładnością do 2 minut wynosi 43.
18
Należy dolosować 43-17=26 elementów
n ł 42,9
9
2013-04-03
Ustalenie minimalnej liczebności próby
dla wskaznika struktury
Dla szacowania wskaznika struktury p na poziomie ufności 1-ą
z zadanym z góry błędem szacunku d (połowa długości przedziału ufności)
2
ua p0(1- p0)
n ł
2
d
l p0 wstępne oszacowane p,
l lub za p0 podstawiamy 0,5
2
ua
n ł
2
4d
l uą- wartość zmiennej losowej U o rozkładzie N(0,1), dla którego,
P(-ua l gdy n nie jest całkowite zaokrąglamy n w górę
l Większa dokładność wymaga większej liczebności próby.
19
Niezbędna liczba pomiarów dla wskaznika struktury p
przykład
l O ile należy zwiększyć liczbę pomiarów, aby błąd oszacowania wskaznika
struktury nie przekroczył 4%. Zapytano 200 losowo wybranych pracowników
i w 72 przypadkach otrzymano odpowiedz, że dojeżdżają do pracy prywatnym
samochodem. Współczynnik ufności wynosi 0,99.
l Dane: n=200, m=72, po=72/200=0,36; 1-ą=0,99
l Założenie: cecha ma w populacji rozkład dwupunktowy.
l Odczyt -uą: ą = 0,01; ą/2 = 0,005; u0,995=2,58;
l Niezbędną liczbę pomiarów wyliczymy następująco:
2
ua p0(1- p0)
n ł
2
Wniosek:
d
Niezbędna liczba pomiarów dla
oszacowania odsetka pracowników, którzy
2,582 *0,36*(1- 0,36)
n ł dojeżdżają do pracy prywatnym
0,042
samochodem z dokładnością 4%, wynosi
959.
Należy dolosować 959-200 elementów.
n ł 958,52
20
10
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
estymacja przedzialowa
sokolski,statystyka inżynierska,Estymacja przedziałowa
Estymacja przedziałowa zadania
Teoria 6 Estymacja przedzialowa
MP 6 estymacja punktowa
2 estymacja przedzialowa
Estymatory Estymacja punktowa i przedziałowa
Stymulus Zestaw6 STP MP Gesundheitswesen
(1) Estymacja
bibliografia mp
estymacja wzory
Stymulus Zestaw@ STP MP Berlin
Wnioskowanie statystyczne estymacja zadania przykładowe
MP logika rozmyta
więcej podobnych podstron