Falowe własności mikrocząstek - sprawdzanie hipotezy de Broglie a
Streszczenie
W ćwiczeniu udało się potwierdzić hipotezę o dualizmie korpuskularno-falowym obserwując interfe-
rencję wiązki elektronów. Zmierzono także odległości między atomowe w krzystale grafitu - otrzymane
wyniki pokrywają się w prawdziwymi wartościami.
1 Wstęp
Celem ćwiczenia jest weryfikacja poprawności hipotezy de Broglie a dotyczącej dualizmu korpuskularno-
falowego materii. Do celu jej sprawdzenia będziemy obserwować własności falowe wiązki elektronów
emitowanej przez lampę oscyloskopową, która to wiązka będzie przechodziła przez kryształ, ulegając
dyfrakcji, a następnie interferencji. Pomiary w ćwiczeniu będą dotyczyły prążków interferencyjnego
wzmocnienia (tutaj prążki mają kształt okręgów).
1.1 Model teoretyczny
Omawianie modelu teoretycznego należy rozpocząć od przytoczenia wzoru:
h
 = (1)
p
który opisuje długość fali (), którą można przyporządkować każdej cząstce o pędzie p (przy czym h to
stała Plancka). Hipotezę taką, jakoby takie przypisanie miało sens fizyczy postawił w 1924 roku Louis de
Broglie. Wysnuł on wniosek, że dualizm korpuskularno-falowy jest podstawową własnością całej materii.
Jeśli jest to prawdą, to cząstki powinny podlegać zjawiskom właściwym dla fal np. interferencji czy
dyfrakcji.
Naszym celem w tym ćwiczeniu jest zaobserwowanie tych efektów dla wiązki elektronów. Do tego
konieczne jest znalezienie siatki dyfrakcyjnej o odpowiednio małej odległości między szczelinami - za taką
siatkę w tym ćwiczeniu posłuży kryształ.
Na rysunku 1. przedstawione zostało odbicie wiązki elektronów od atomów kryształu. Kryształ
1
Rysunek 1: Rysunek przedstawiający odbicie wiązki elektronów od atomów kryształu.
można przedstawić jako zbiór równoległych płaszczyzn atomowych. W takim razie fale odbite od różnych
powierzchni atomowych przebywają różne drogi optyczne przez co dają wzmocnienie lub osabienie -
interferujÄ…, przy czym warunek interferencji wzmacniajÄ…cej to
2dsin¸ = n (2)
gdzie d, ¸ jak na rysunku 1 oraz n = 1, 2, 3, ... Równanie to nazywa siÄ™ wzorem Bragga. Takie odbicie
mogą dać fale o długościach porównywalnych z odległością między płaszczyznami międzyatomowymi i
krótsze.
Ważne jest także to, że w kryształach można wyróżnić wiele rodzin płaszczyzn atomowych (ustawio-
nych względem siebie pod różnymi kątami), z których każda ma własną odległość między płaszczyznami,
co może dać swoje odbicie - pod warunkiem spełnienia wzoru Bragga.
Dodatkowo warte odnotowania jest to, że w ćwiczeniu wykorzystany zostanie polikryształ, co powo-
duje efekt tworzenia przez odbite wiÄ…zki powierzchni stożków o kÄ…tach rozwarcia 4¸ - czyli na ekranie
obserwować będziemy okręgi.
1.2 Opis układu doświadczalnego
Doświadczenie, które zostanie wykonane przypomina doświadczenie przeprowadzone przez Thomsona
w 1927 roku. Układ składa się z lampy oscyloskopowej, w której na drodze wiązki ustawiono folię
grafitową. Jest ona odpowiednio cienka, tak aby była przezroczysta dla elektronów o energiach ponad
8keV . Elektrony zanim padną na tę folię są przyspieszne napięciem U, do energii kinetycznej eU (napięcie
U można regulować).
Dzięki temu, że odległość folii od ekranu jest znacząco większa od średnicy otrzymanych na ekranie
okrÄ™gów interferencyjnych D, to sin4¸ H" 4¸ H" D/r, gdzie r to odlegÅ‚ość folia-ekran (w naszym przypadku
r = 127 Ä… 3mm) - czyli sin¸ H" ¸ H" D/4r. PodstawiajÄ…c to do wzoru 2 otrzymujemy:
dD
= n (3)
2r
Wartość  otryzmujemy ze wzoru 1, przy czym pęd elektronu p znajdujemy ze wzoru eU = p2/2m,
2
Tablica 1: Wyniki pomiarów.
U[kV ] ´U[kV ] d1[mm] ´d1[mm] d2[mm] ´d2[mm]
5.00 0.02 22 2 38 3
5.00 0.02 22 2 40 3
4.50 0.02 22 2 39 4
4.30 0.01 26 3 40 4
4.00 0.02 25 3 41 4
3.69 0.02 27 3 45 3
3.60 0.01 28 3 50 4
3.50 0.02 27 3 44 4
3.00 0.02 28 3 48 5
2.90 0.02 30 3 58 5
2.83 0.01 31 3 52 4
2.50 0.01 31 3 53 5
2.24 0.01 35 3 57 5
2.20 0.01 34 3 60 5
2.00 0.01 34 3 60 5
1.82 0.01 39 3 63 6
1.50 0.01 42 3 71 6
1.50 0.01 42 3 71 6
łączącego go z energią kinetyczną. W ten sposób dosajemy:
h
 = " (4)
2meU
W ten sposób zestawiając wzory 3 i 4 otrzymujemy interesującą nas zależność:
2rh
D = " (5)
d 2meU
2 Część doświadczalna
2.1 Opis wykonania ćwiczenia
Wykonanie ćwiczenia było bardzo proste - polegało na zmierzeniu średnicy dwóch widocznych okręgów
dla kilku wybraych napięć. Każda osoba z grupy wykonała swoją serię sześciu pomiarów, czyli w sumie
18 pomiarów.
2.2 Pomiary
Pomiary zostaÅ‚y zebrane w tabeli 1, przy czym U oznacza napiÄ™cie przyspieszajÄ…ce elektrony, ´U oznacza
wahanie napięcia w trakcie wykonywania pomiaru (więc błąd pomiaru napięcia będzie równy "U =
´U + 0.01[kV ], gdyż podziaÅ‚ka na mierniku wynosiÅ‚a 0.01kV ), di to Å›rednica i-tego okrÄ™gu (i=1,2)
oraz ´di to grubość okrÄ™gu (wiÄ™c bÅ‚Ä…d wyznaczenia Å›rednicy bÄ™dzie równy "di = 2´di + 2[mm], gdyż
dokładność podziałki wynosiła 1mm, a pomiar wykonywany był od jednej strony do drugiej).
Ze wzoru 5 widzimy, że średnica danego okręgu jest wprost proporcjonalna do odwrotności pierwiastka
1
napiÄ™cia. Na tej podstawie do otrzymanych wyników dopasowujemy proste postaci Di = ai "U + bi.
Punkty pomiarowe wraz z dopasowanymi prostymi zostały przedstawione na rysunku 2.
Wyniki dopasowania wykonanego przy użyciu programu Gnuplot to:
3
 0.045
dopasowana prosta
punkty pomiarowe
0.04
0.035
0.03
0.025
0.02
0.014 0.016 0.018 0.02 0.022 0.024 0.026
1/sqrt(U)[1/V2]
0.075
dopasowana prosta
punkty pomiarowe
0.07
0.065
0.06
0.055
0.05
0.045
0.04
0.035
0.014 0.016 0.018 0.02 0.022 0.024 0.026
1/sqrt(U)[1/V2]
Rysunek 2: Wykresy przedstawiające proste dopasowane do punktów pomiarowych dla dwóch widocznych
okręgów.
4
1
D [m]
2
D [m]
"
" a1 = 1.67 Ä… 0.07[m V ], b1 = -0.0012 Ä… 0.0014[m]
"
" a2 = 2.77 Ä… 0.17[m V ], b2 = -0.0005 Ä… 0.0031[m]
Po pierwsze zauważmy, że bi H" 0 dla i=1,2, czego należało się spodzeiwać, jeśli wzór 5 jest prawidłowy -
brak stałego współczynnika. Z tego powodu nie będziemy zajmowali się wartościami współczynników bi.
Na podstawie wykonanych pomiarów możliwe jest wyznaczenie di, czyli odległości między atomowej
odpowiadającej poszczególnym rodzinom płaszczyzn (po jednej dla każdego okręgu). Ze wzoru 5 widzimy,
że:

rh 2
di = (6)
ai me
Niepewność wyznaczenia di w ten sposób jest wyznaczony jako niepewność wielkości złożonej ze względu
na ai i r, tzn.:

"d "d
´di-odprostej = ( "a)2 + ( "r)2 (7)
"a "r
Po skorzystaniu z tych wzorów (dla przypomnienia r = 127 ą 3[mm]) otrzymamy:
" d1 = 1.869[A], ´d1-odprostej = 0.009[A],
" d2 = 1.126[A], ´d2-odprostej = 0.008[A].
Kolejnym etapem jest znalezienie błędu pochodzącego od pojedynczego pomiaru, który wyrażony jest
wzorem na błąd wielkości złożonej ze względu na r, D i U, przy czym d wyznaczamy ze wzoru 5. Wzór
na ten błąd przedstawia się następująco:

"d "d "d
´di-odpomiaru = ( "D)2 + ( "r)2 + ( "U)2 (8)
"D "r "U
Obliczono taki błąd dla każdego z wykonanych pomiarów, wybrano największy z nich i jego przyjęto
jako ´di-odpomiaru. W ten sposób otrzymano:
" ´d1-odpomiaru = 0.633[A],
" ´d2-odpomiaru = 0.307[A].
W ostateczności niepewność pomiaru di wyraża się wzorem:

´d2
i-odpomiaru
"di = ´d2 + (9)
i-odprostej
3
Po obliczeniu, w ostateczności otrzymujemy:
" d1 = 1.869 Ä… 0.366[A],
" d2 = 1.126 Ä… 0.177[A].
3 Podsumowanie
3.1 Niepewności pomiarowe
W ostateczności otrzymano niepewności pomiarowe na poziomie < 20%, co przy zastosowanej metodzie
pomiaru jest wynikiem stosunkowo dobrym. Przyjęta metoda pomiaru - mierzenie średnicy okręgu o
skończonej i stosunkowo dużej grubości - nie może gwarantować zbyt dobrej sokładności pomiaru. Poza
tym ewidentnie większość błędu pochodzi od niepewności pojedynczego pomiaru, która jest kilkadziesiąt
razy większa od niepewności pochądzącej od dopasowania prostej.
5
3.2 Dyskusja wyników
Pierwszą rzeczą wartą zauważenia jest fakt, że punkty faktycznie układają się wzdłuż prostych, co po-
twierdza prawidłowość wzoru 5, więc także hipotezę de Broglie a o dualizmie korpuskularno-falowym, co
było celem ćwiczenia.
Dodatkowo otrzymane wyniki di są zgodne z prawdziwymi wartościami dla kryształu grafitu, który
był używany. Prawdziwe wartości to:
" d1 = 213[pm],
" d2 = 123[pm].
Mieszczą się one w zakresie niepewności pomiarowej wyników ćwiczenia, co potwierdza poprawność
zebranych pomiarów i hipotezę o dualizmie korpuskularno-falowym.
Literatura
[1] Instrukcja do ćwiczenia, Falowe własności mikrocząstek - sprawdzanie hipotezy de Broglie a
6