Wydział : Imię i nazwisko : rok Grupa Zespół
WFiIS A
ukasz Maj, Kamil Goc II 1 14
Pracownia Temat ćwiczenia : Ćwiczenie nr:
fizyczna 33
I Kondensatory
Data Data Zwrot do Data Data Ocena:
wykonania: oddania: poprawy: oddania: zaliczenia:
19.11.10r. 23.11.10r.
I. Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia jest pomiar pojemności kondensatorów powietrznych i z warstwami
dielektryka w celu wyznaczenia stałej elektrycznej i przenikalności względnych różnych
materiałów.
II. Wstęp teoretyczny:
Kondensator jest układem przewodników oddzielonych warstwą izolatora. Przez
pojemność kondensatora C rozumiemy stosunek ładunku Q do napięcia między
okładkami U:
Q
C =
1.
U
Przy pomocy prawa Gaussa wyprowadza się wzór na pojemność kondensatora płaskiego
gdzie S jest powierzchniÄ… okÅ‚adki, d odlegÅ‚oÅ›ciÄ… miÄ™dzy okÅ‚adkami, współczynnik µ0 =
8,85 pF/m nosi nazwÄ™ staÅ‚ej elektrycznej (przenikalnoÅ›ci elektrycznej próżni) i µr jest
względną przenikalnością dielektryczną materiału miedzy okładkami kondensatora. Ze
wzoru wynika, że dla wyznaczenia staÅ‚ych µ0 i µr należy zmierzyć pojemność
kondensatorów o znanych wymiarach geometrycznych, próżniowego i wypełnionego
dielektrykiem. Pojemność kondensatora płaskiego jest dana wzorem:
µ µ S
0 r
2.
C =
d
Przekształcając wzór na pojemność naszego układu :
µ 3(S - 3SP ) µ µ 3SP
0 0 r
C = +
3.
d d
Otrzymujemy następujące równanie na wartość stałej elektrycznej:
Cd
µ =
0
4.
S + 3(µ -1)SP
r
Wzory na średnice badanych płyt są następujące:
2
Ä„DP Ä„D2
SP = S =
5. 6.
4 4
Niepewność wartości obliczonej stałej dielektrycznej jest dana wzorem:
2 2 2
u(µ0 ) = (b(C)) + (b(D)) + (b(d))
7.
4 d 8 Cd 4 C
8.
gdzie: b(C) = u(C) b(D) = u(D) b(d) = u(d)
Ä„ D2 Ä„ D3 Ä„ D2
Wzór na stałą dielektryczną materiału:
4Cd
µ = 9.
r
µ Ä„D2
0
Oraz na jej niepewność (analogicznie jak poprzednio):
2 2 2
ëÅ‚ ëÅ‚ ëÅ‚
4C 4d 8Cd
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
u(µ ) = u(d)öÅ‚ + u(C)öÅ‚ + u(D)öÅ‚
r
ìÅ‚
10.
µ Ä„D2 ÷Å‚ ìÅ‚ µ Ä„D2 ÷Å‚ ìÅ‚ µ Ä„D3 ÷Å‚
íÅ‚ 0 Å‚Å‚ íÅ‚ 0 Å‚Å‚ íÅ‚ 0 Å‚Å‚
2 2 2
u(µ ) = (b(d)) + (b(C)) + (b(D))
r
11.
Wzór na stałą dielektryczną materiału w kablu koncentrycznym:
C R
µ = ln
r
12.
2Ä„µ0l r
Oraz na jej niepewność:
2 2 2 2
ëÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚ ëÅ‚ ëÅ‚
C R u(C) R C 1 C 1
13.
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
u(µ ) = ln u(l)öÅ‚ + ln + u(R)öÅ‚ + u(r)öÅ‚
r
2
ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚ ìÅ‚ ÷Å‚
Ä„µ0l r 2Ä„µ0l r 2Ä„µ0l R 2Ä„µ0l r
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
Rysunek 1. Schemat budowy kabla koncentrycznego
Prędkość światła i jej niepewność:
1
1
c =
u(c) = u(µ0 )
14. 15.
3
µ µ
0 0
2
2 µ0 (µ0 )
III. PrzyrzÄ…dy pomiarowe:
- cyfrowy miernik pojemności
- okładki kondensatora
- kabel cylindryczny
- linijka dokładność
- śruba mikrometryczna
- zestaw okładek wykonanych z różnych dielektryków
IV. Wykonanie ćwiczenia i opracowanie wyników:
1. Włączamy miernik LCR do sieci za pośrednictwem miniaturowego zasilacza. Jeżeli
wskazania miernika różnią się istotnie od zera (np. więcej niż 0,3 pF na zakresie 200 pF),
wtedy przyrzÄ…d wyzerowujemy.
2. Pomiar dla kondensatora powietrznego z przekładkami.
a) zestawiamy kondensator z płyt (ustawiamy dokładnie jedną nad drugą) i trzech
pojedynczych izolacyjnych przekładek. Mierzymy pojemność C i odległość d.
b) powtarzamy pomiar pojemności C i odległości d dla wzrastającej liczby 2, 3, 4, 5
przekładek
3. Pomiar pojemności kondensatora płaskiego z dielektrykami.
a) zestawiamy kondensatory płaskie z okładek metalowych rozdzielonych płytami
wykonanymi z różnych dielektryków.
b) mierzymy dla kolejnych zestawów pojemność C i grubość dielektryka d.
4. Pomiar pojemności kondensatora cylindrycznego z dielektrykiem  mierzymy dla
odcinka takiego kabla pojemność i niezbędne wymiary geometryczne.
5. Wykonujemy wykres iloczynu Cd od średniej odległości okładek d. Dla najmniejszej
odległości okładek zaznaczamy obydwa rezultaty pomiaru
6. Przez punkty eksperymentalne przeprowadzamy gładką krzywą w celu uzyskania
ekstrapolowanej wartości (Cd)extr.
7. Obliczamy ze wzoru wartość µ0 korzystajÄ…c ze wzoru:
4 (Cd )
extr
µ =
0
2 2
Ä„ D + 3(µ - 1)DP
r
8. Oszacowujemy niepewność µ0 na podstawie niepewnoÅ›ci pomiaru R, d, C.
9. Obliczamy wartoÅ›ci µr dla dielektryków w kondensatorze pÅ‚askim i dla kabla
koncentrycznego. Porównujemy je z wartościami tabelarycznymi
10. Z uzyskanej wartoÅ›ci µ0 obliczamy wartość i niepewność wyznaczenia prÄ™dkoÅ›ci
światła.
V. Tabele pomiarowe  stała elektryczna:
Tabela 1. Wyniki pomiarów grubości układów krążków i pojemności kondensatora
Ilość krążków d1 [ mm] d2 [ mm] d3 [ mm] C [pF]
1 3,29 3,35 3,43 127,4
2 6,47 6,29 6,30 79,3
3 9,44 9,36 9,17 53,5
4 12,59 12,49 12,50 42,5
5 15,48 15,35 15,05 33,9
VI. Ekstrapolacja iloczynu Cd:
Tabela 2. Obliczone średnie grubości przekładek oraz iloczyn Cd
Iloczyn C·d
Ilość krążków Średnie d [m]
[F·m]
1 3,36E-03 4,28E-13
2 6,35E-03 5,04E-13
3 9,32E-03 4,99E-13
4 1,25E-02 5,32E-13
5 1,53E-02 5,18E-13
6,0E-13
5,5E-13
5,0E-13
4,5E-13
4,0E-13
3,5E-13
3,0E-13
2,5E-13
2,0E-13
1,5E-13
1,0E-13
5,0E-14
0,0E+00
0,0E+00 2,0E-03 4,0E-03 6,0E-03 8,0E-03 1,0E-02 1,2E-02 1,4E-02 1,6E-02 1,8E-02
odległoć d [m]
Serie1
Dopasowana krzywa
y = -1,13E-09x2 + 2,81E-11x + 3,52E-13
Rysunek 2. Wykres odlegÅ‚oÅ›ci pomiÄ™dzy okÅ‚adkami d od iloczynu C·d.
Wynik ekstrapolacji przez przeprowadzenie krzywej : (Cd)extra=3,52·10-13 [Fm]
VII. Wyniki obliczeń stałej i niepewności:
Niepewność pomiaru średnicy krążków:
u(D) = 1 mm
Niepewność pomiaru pojemności kondensatora:
u(C) = 1,47 pF
Niepewność pomiaru odległości okładek:
u(d) = 0,01 mm
Obliczona wartość stałej elektrycznej prózni:
µ0 = 7,78E·10-12 F/m
Z niepewnością:
2 2 2
u(µ0 ) = (1,49 Å"10-15) + (1,09 Å"10-13) + (2,82 Å"10-14) = 1,13Å"10-13 F/m
gdzie:
Niepewność związana ze średnicą okładek:
8 4,28 Å"10-13 Å"1,27 Å"10-10
b(D) = 0,001 = 1,49 Å"10-15 F/m
3,14 0,243
Niepewność związana z pojemnością:
4 1,27 Å"10-10
b(C) = 1,47 Å"10-12 = 1,09 Å"10-13 F/m
3,14 0,242
Iloczyn Cd [Fm]
Niepewność związana z odległością okładek:
4 4,28 Å"10-13
b(d) = 0,00001 = 2,82 Å"10-14 F/m
3,14 0,242
VIII. Stałe dielektryczne :
Tabela 3. Wyniki obliczeń dla poszczególnych materiałów.
MateriaÅ‚ OdlegÅ‚ość Åšrednica Pojemność Zakres µr u(µr)
okładek okładek C [pF] miernika
d [mm] D [m]
drewno 14,19 0,24 34,9 200 pF 1,24 0,05
pleksi 4,01 0,24 323 2 nF 3,24 0,06
ebonit 6,91 0,24 430 2 nF 7,42 0,13
PCV 4,14 0,24 377 2 nF 3,90 0,07
Przykładowe obliczenie dla drewna:
4 Å" 34Å"10-12 Å" 0,001419
µr = = 1,24
8,85Å"10-12 Å"3,14 Å" 0,242
Tabela 4.Składowe poszczególnych niepewności:
Materiał b(D) b(C) b(d)
drewno 0,010 0,052 0,001
pleksi 0,027 0,052 0,008
ebonit 0,062 0,109 0,011
PCV 0,032 0,060 0,009
Przykładowe obliczenie dla drewna (patrz wzory 10 i 11)
8Å"34Å"10-12 Å"0,001419
b(D)= 0,001= 0,01
8,85Å"10-12 Å"3,14Å"0,243
4Å"0,001419
b(C)= 1,47 Å"10-12 =0,052
8,85Å"10-12 Å"3,14Å"0,243
4Å"34Å"10-12
b(d)= 10-5 =0,001
8,85Å"10-12 Å"3,14Å"0,242
Tabela 5. Porównanie z wartościami tabelarycznymi:
Wartość Wartość
Materiał iepewność
tabelaryczna zmierzona
drewno 2 - 8 1,24 0,05
pleksi 2,6  3,7 3,24 0,06
ebonit 3 7,42 0,13
PCV 3 3,90 0,07
IX. Pomiar stałej dielektrycznej materiału w kablu koncentrycznym.
Długość l 86,5 [cm]
Promień zewnętrzny R 4,9 [mm]
Promień wewnętrzny r 1,21 [mm]
Pojemność C 46,8 [pF]
Zakres 2 [nF]
StaÅ‚a dielektryczna izolatora w Å›rodku µr 1,361
Niepewność związana z dlugością 0,003
Niepewność związana z pojemnością 0,072
Niepewność związana z r 0,008
Niepewność związana z R 0,002
Niepewność całkowita 0,072
X. Obliczenie prędkości światła i jej niepewności.
1
c = = 3,2 Å"108 m/s
7,78 Å"10-12 Å" 4 Å" 3,14 Å"10-7
1
u(c) = 1,13Å"10-13 = 2,3Å"106 m/s
3
2
2 4 Å" 3,14 Å"10-7 (7,78 Å"10-12)
XI. Wnioski:
1. Celem ćwiczenia jest pomiar pojemności kondensatorów powietrznych i z warstwami
dielektryka w celu wyznaczenia stałej elektrycznej i przenikalności względnych
różnych materiałów.
2. Obliczona wartość stałej elektrycznej to 7,78 pF/m. Jest to wartość mniejsza a o 1,07
pF/m od wartości tablicowej, która wynosi 8,85 pF/m. Nie zawiera się więc w
granicach błędu pomiarowego.
3. Wpływ na wyniki mogła mieć niepewność pomiaru pojemności, grubości danych płyt
i krążków śrubą mikrometryczną oraz średnic okładek.
4. Największy wpływ na niepewność pomiaru stałej elektrycznej ma pomiar pojemności.
5. Na wyniki obliczeń miała wpływ niedokładność ekstrapolacji.
6. Stała dielektryczna pleksi mieści się w granicach niepewności, natomiast drewna,
ebonitu i PCV nie.
Różnica dla PCV= 0,9 ; dla ebonitu 4,42 ; dla drewna 0,76
7. Największy wpływ na niepewność pomiaru stałych dielektrycznych ma pomiar
pojemności.
8. Stała dielektryczna materiału w kablu koncentrycznym wynosi 1,361. Największy
wpływ na niepewność ma pomiar pojemności.
9. PrÄ™dkość Å›wiatÅ‚a wedÅ‚ug tablic wynosi 2,998E+08 m/s, a wedÅ‚ug obliczeÅ„ 3,2Å"108
m/s, nie mieÅ›ci wiÄ™c siÄ™ w granicach niepewnoÅ›ci: 2,3Å"106 m/s