J. Szantyr - Wykład 5  Pływanie ciał
Prawo Archimedesa
dP = n�gzdS
Na każdy element pola dS działa elementarny napór
P = �g
Napór całkowity
+"nzdS
S
Główny wektor momentu siły naporu
M = �g � nzdS
+"r
S
ę��Ż����� ż Ł��ą�ż�ąż�
ę��Ż����� ż Ł��ą�ż�ąż�
Archimedes z Syrakuz
297  212 pne
Rzuty poziome naporu na osie Ox i
Oy są równe zeru. Całkowity napór
sprowadza się do siły pionowej
działającej na dwie części
powierzchni o wspólnym konturze:
dolną BAD i górną BCD.
P1 = �g zdS = �gV1
Napór na dolną powierzchnię
z
+"
S1
Napór na górną powierzchnię P = �g zdS = �gV2
z2
+"
S2
P = P1 - P = -�g(V2 -V1)= -�gV
Napór wypadkowy
z z z2
W = -Pz = �gV
Ostatecznie wypór hydrostatyczny
Siła wyporu hydrostatycznego działająca na ciało zanurzone w
płynie jest równa ciężarowi płynu wypartego przez to ciało. Linia
działania siły wyporu przechodzi przez środek masy płynu
wypartego przez ciało, zwany środkiem wyporu.
Wyznaczenie linii działania siły wyporu.
Składowe głównego momentu siły wyporu
"(yz)dV - �g "z2
M = �g z(ydSz - zdSy)= �g dV = �g ydV = �gyCV = yCP
x z
+" +" +" +"
"z "y
S V V V
1
yC = ydV
gdzie współrzędna y środka objętości V
+"
V
V
"z2 "(xz)
"z2 "(xz)dV = -�g xdV =
( )
M = �g z(zdSx - xdSz )= �g dV - �g
y
+" +" +" +"
"z "z
S V V V
= -�gxCV = -xC P
z
1
xC = xdV
gdzie:
współrzędna x środka objętości V
+"
V
V
Linia działania siły wyporu hydrostatycznego jest skierowana
xC,yC
pionowo i przechodzi przez punkt o współrzędnych
Przykład 1: Stożek o wysokości h wykonany z materiału o
ł1
ciężarze właściwym pływa w cieczy wierzchołkiem w dół.
Obliczyć zanurzenie stożka jeżeli ciężar właściwy cieczy
wynosi ł.
Rozwiązanie
Jeżeli oznaczymy pole podstawy stożka Ah , a pole wodnicy
pływania , to siła ciężkości wynosi:
Az
1
G = Ahhł1
3
1
a siła wyporu:
W = A zł
z
3
A ł
Ah ł1
G = W ł1Ahh = łA z z = h
Z warunku równowagi wynika:
z
A ł
z
Ah h2
Ponieważ:
to ostatecznie:
=
ł1
Az z2
3
z = h
ł
Stateczność ciał pływających
Stateczność ciała całkowicie zanurzonego
Równowaga trwała  środek wyporu znajduje się powyżej środka
ciężkości  rysunek a) i b). Przy wychyleniu z położenia równowagi
powstaje moment pary sił przywracający poprzednie położenie.
Równowaga nietrwała (chwiejna)  środek wyporu znajduje się
poniżej środka ciężkości  rysunki c) i d). Przy wychyleniu z
położenia równowagi powstaje moment pary sił powiększający
wychylenie.
Równowaga obojętna  rysunek e)  w dowolnym położeniu
ciała siły wyporu i ciężkości równoważą się nie dając momentu
ciała siły wyporu i ciężkości równoważą się nie dając momentu
wpływającego na położenie ciała
Wniosek: w przypadku ciała całkowicie zanurzonego dla
zapewnienia równowagi trwałej konieczne jest
umieszczenie środka wyporu powyżej środka ciężkości.
Stateczność ciała częściowo zanurzonego
Założenie: kąt przechyłu jest mały
W przypadku ciała częściowo
zanurzonego przy przechyle środek
wyporu zmienia swoje położenie.
Analiza stateczności polega na
określeniu położenia środka wyporu
określeniu położenia środka wyporu
po przechyleniu ciała o kąt Ć
M0 = Gasin�
Moment przechylający:
G = �gV
- ciężar ciała
M0 = �gaV sin�
Moment prostujący (przywracający)
po prawej stronie przechylonego obiektu
dM1 = ydW1
dW1 = �gydS sin�
dM1 = �gy2dS sin�
M1 = �g sin� y2dS M2 = �g sin� y2dS
+"
+"
S1
S2
2
M = M1 + M2 = �g sin� y2dS = �gIx sin�
= + = � � = � �
+"
+"
S
Definiuje się wysokość metacentryczną m (patrz rysunek):
M - M0 = �gIx sin� - �gaV sin�
Ix Ix - moment bezwładności wodnicy
m = - a
V
S = S1 + S2 - pole wodnicy
V  objętość części zanurzonej
Możliwe są trzy przypadki:
Wysokość metacentryczna jest dodatnia  równowaga trwała -
przy wychyleniu z położenia równowagi powstaje przywracający
moment pary sił.
Wysokość metacentryczna jest równa zeru  równowaga obojętna
Wysokość metacentryczna jest ujemna  równowaga nietrwała
(chwiejna)  przy wychyleniu z położenia równowagi powstaje
(chwiejna)  przy wychyleniu z położenia równowagi powstaje
moment pary sił pogłębiający wychylenie.
Wniosek: ciało częściowo zanurzone może znajdować się w
równowadze trwałej nawet jeśli środek ciężkości znajduje się
powyżej środka wyporu. Środek ciężkości może znajdować się
tym wyżej im większy jest moment bezwładności wodnicy
(czyli im  szersze jest ciało).
Przykład 2
Walec kołowy o promieniu podstawy R i wysokości H=2R pływa
w położeniu pionowym (rysunek a). Środek ciężkości walca
pokrywa się z jego srodkiem geometrycznym. Dla jakiej
głębokości zanurzenia h równowaga walca będzie trwała?
Przekrój pływania (wodnica) walca jest kołem, którego moment
bezwładności wynosi:
ĄR4
Ix =
4
Objętość wypartej przez walec cieczy wynosi:
V = ĄR2h
Odległość pomiędzy środkiem ciężkości walca a środkiem
wyporu wynosi:
H h h
a = - = R -
2 2 2
Podstawienie powyższych zależności do wzoru na wysokość
metacentryczną prowadzi do:
Ix R2 h
m = - a = - R +
V 4h 2
Co można przekształcić do postaci:
4mh = R2 - 4Rh + 2h2
Wykresem tej funkcji jest parabola (rysunek b), której miejsca
Wykresem tej funkcji jest parabola (rysunek b), której miejsca
zerowe można wyznaczyć przyrównując prawą stronę do zera.
2h2 - 4Rh + R2 = 0
Powyższe równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki:
2 + 2
2 - 2
h2 = R H"1,7R
h1 = R H" 0,29R
2 2
Z wykresu na rysunku b wynika, że równowaga trwała walca
występuje przy płytkim zanurzeniu spełniającym warunek:
h < 0,29R
oraz przy zanurzeniu głębokim:
h > 1,7R
h > 1,7R
Dla pośrednich zanurzeń walca równowaga jego jest
nietrwała (chwiejna).