FUNKCJE K
TA PODWOJONEGO FUNKCJE K
TA PODWOJONEGO
Potęgi, pierwiastki, logarytmy Potęgi, pierwiastki, logarytmy
sin2a=2sinaÅ"cosa cos2a=cos2 aćsin2 a sin2a=2sinaÅ"cosa cos2a=cos2 aćsin2 a
1 1
2 2
n n
2tga 2tga
amÅ"an=amƒÄ… n a =n am :an=amćn aćn =1 amÅ"an=amƒÄ… n a =n am : an=amćn aćn =1
ćąa ćąa
tg2a = ctg2a=ctg ać1 tg2a = ctg2a=ctg ać1
an an
2ctga 2ctga
1ćtg2 a 1ćtg2 a
m 1 ć m 1 m 1 ć m 1
n n FUNKCJE POA
OWY K
TA m FUNKCJE POA
OWY K
TA
n n
śąamźąn=amÅ"n a =śą an źąćm śąabźąn =an bn a =śą an źąćm śąa źąn=amÅ"n a =śą an źąćm śąabźąn =an bn a =śą an źąćm
a 1ćcosa a=Ä… 1ƒÄ…cosa a 1ćcosa a=Ä… 1ƒÄ…cosa
śą a/bźąn=an/ bn a0=1 sin =ą cos śą a/bźąn=an/ bn a0=1 sin =ą cos
2 ćą 2 2 ćą 2 2 ćą 2 2 ćą 2
Bierzemy znak + lub  zale\
nie od tego, do której ćwiartki nale\
y Bierzemy znak + lub  zale\
nie od tego, do której ćwiartki nale\
y
n n
n m n n m n
n n
ćąab=n ćąb ćąa =śąćąaźą n a= ćąa ćą ćąa=mn a/2. ćąab=n ćąb ćąa =śąćąaźą n a= ćąa ćą ćąa=mn a/2.
ćąaÅ"n m n n m ćąa ćąaÅ"n m n n m ćąa
ćąb ćąb
ćąb a= 1ćcosa a ćąb a= 1ć cosa a 1ƒÄ…cosa
tg ctg =1ƒÄ… cosa tg ctg =
2 sina 2 sina 2 sina 2 sina
b
loga x =bÔ! ab=x loga 1=0 loga a=1 loga x =bÔ!a =x loga 1=0 loga a=1
SUMY FUNKCJI SUMY FUNKCJI
aƒÄ…bcos aćb aƒÄ…bcos aćb
loga xy =loga x ƒÄ…loga y loga x =loga xćloga y sina ƒÄ…sinb= 2sin loga xy =loga x ƒÄ…loga y loga x =loga xćloga y sina ƒÄ… sinb=2sin
y 2 2 y 2 2
aƒÄ…b aćb aƒÄ… b aćb
loga xr=rÅ"loga x logb x =logb aÅ"loga x loga xr=rÅ"loga x logb x =logb aÅ"loga x
cosaƒÄ…cosb= 2cos cos cosaƒÄ…cosb=2cos cos
2 2 2 2
1 1
logb a= logb a=
sinśąaƒÄ…bźą sinśą aƒÄ…bźą sinśą aƒÄ…bźą
loga b loga b
tgaƒÄ…tgb=cosaÅ"cosb ctgaƒÄ…ctgb= tgaƒÄ…tgb=cosaÅ"cosb ctgaƒÄ…ctgb=sinśą aƒÄ…bźą
sinaÅ"sinb sinaÅ"sinb
Wzory skróconego mno\
enia RÓśNICE FUNKCJI Wzory skróconego mno\
enia RÓśNICE FUNKCJI
aćbcos aƒÄ…b aćbcos aƒÄ…b
śą aƒÄ…bźą2=a2ƒÄ…2abƒÄ…b2 śą aćbźą2=a2ć2abƒÄ…b2 śą aƒÄ…bźą2=a2ƒÄ…2abƒÄ…b2 śą ać bźą2=a2ć2abƒÄ…b2
sina ćsinb= 2sin sina ć sinb=2sin
2 2 2 2
śą aƒÄ…bźą3=a3ƒÄ…3a2 bƒÄ…3ab2ƒÄ…b3 śą aƒÄ…bźą3=a3ƒÄ…3a2 bƒÄ…3ab2ƒÄ…b3
aćb aƒÄ…b aćb aƒÄ…b
śą aćbźą3=a3ć3a2 bƒÄ…3ab2ćb3 cosa ćcosb =ć2sin sin śą aćbźą3=a3ć3a2 bƒÄ…3ab2ćb3 cosa ćcosb =ć2sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a ƒÄ…b =śą aƒÄ…bźą ć2ab a ćb =śą aćbźą śąaƒÄ…bźą a ƒÄ…b =śą aƒÄ…bźą ć2ab a ćb =śą aćbźą śąaƒÄ…bźą
sinśąaćbźą sinśą bć aźą sinśą aćbźą
tgaćtgb=cosaÅ"cosb ctgaćctgb= tgaćtgb=cosaÅ"cosb ctgaćctgb=sinśą bćaźą
a3 ƒÄ…b3 =śąaƒÄ…bźą śąa2 ćabƒÄ…b2 źą a3 ƒÄ…b3 =śąaƒÄ…bźą śąa2 ćabƒÄ…b2 źą
sinaÅ"sinb sinaÅ"sinb
a3 ćb3 =śąaćbźą śąa2 ƒÄ…abƒÄ…b2 źą a3 ćb3 =śąaćbźą śąa2 ƒÄ…abƒÄ…b2 źą
n ! Funkcje hiperboliczne n ! Funkcje hiperboliczne
n n
= =
x ćx x x ćx x
śą źą śą źą e će
k k ! śą nćk źą! k k ! śą nćk źą!
sinh x=e će cosh x=e ƒÄ…ećx sinh x= cosh x=e ƒÄ…ećx
nźą nźą nźąbn 2 2 nźą nźą nźąbn 2 2
śą aƒÄ…bźąn=śą anƒÄ…śą anć1 bƒÄ…...ƒÄ…śą śą aƒÄ…bźąn=śą anƒÄ…śą anć1 bƒÄ…...ƒÄ…śą
x x
0 1 n sinh x 0 1 n sinh x
tgh x= =e xćećx tgh x= =e xćećx
cosh x cosh x
e ƒÄ…ećx e ƒÄ…ećx
Trygonometria Trygonometria
2 2 x 2 2 x
cosh xćsinh x =1 e =cosh x ƒÄ…sinh x cosh xćsinh x =1 e =cosh x ƒÄ…sinh x
WZORY REDUKCYJNE WZORY REDUKCYJNE
ećx=cosh xćsinh x ećx=cosh xćsinh x
Ć 90°-Ä… 90°+Ä… 270°-Ä… 270°+Ä… Ć 90°-Ä… 90°+Ä… 270°-Ä… 270°+Ä…
arsinh x=ln śą x ƒÄ… x2 ƒÄ…1źą arsinh x=ln śą x ƒÄ… x2 ƒÄ…1źą
ćą ćą
sin Ć cos ą cos ą -cos ą -cos ą sin Ć cos ą cos ą -cos ą -cos ą
2 2
arcosh x=ln śą xąćąx ć1źą arcosh x=ln śą xąćąx ć1źą
cos Ć sin ą -sin ą -sin ą sin ą cos Ć sin ą -sin ą -sin ą sin ą
1 1 ƒÄ…x 1 1 ƒÄ…x
tg Ć ctg ą -ctg ą ctg ą -ctg ą tg Ć ctg ą -ctg ą ctg ą -ctg ą
artgh x= ln artgh x= ln
śą źą śą źą
2 1 ćx 2 1 ćx
ctg Ć tg ą -tg ą tg ą -tg ą ctg Ć tg ą -tg ą tg ą -tg ą
1 1 1 1 1 1
csch= sech x = ctgh x= csch= sech x = ctgh x=
sinh x cosh x tgh x sinh x cosh x tgh x
Ć 180°-Ä… 180°+Ä… 360°-Ä… Ć 180°-Ä… 180°+Ä… 360°-Ä…
1 ąćąx2 ƒÄ…1 1 ąćąx2 ƒÄ…1
sin Ć sin ą -sin ą -sin ą sin Ć sin ą -sin ą -sin ą
arcsch x =ln arcsch x =ln
śą źą śą źą
x x
cos Ć -cos ą -cos ą cos ą cos Ć -cos ą -cos ą cos ą
2 2
1 ąćą1 ćx 1 ąćą1 ćx
tg Ć -tg ą tg ą -tg ą tg Ć -tg ą tg ą -tg ą
arcseh x=ln arcseh x=ln
śą źą śą źą
x x
ctg Ć -ctg ą ctg ą -ctg ą ctg Ć -ctg ą ctg ą -ctg ą
1 ćx 1 ćx
WZORY PODSTAWOWE WZORY PODSTAWOWE
arctgh x=1 ln arctgh x=1 ln
śą źą śą źą
2 1 ƒÄ…x 2 1 ƒÄ…x
2 2 sina cosa 1 2 2 sina cosa 1
sin aƒÄ…cos a=1 =tg a =ctg a =ctg a sin aƒÄ…cos a=1 =tg a =ctg a =ctg a
cosa sina tga cosa sina tga
CiÄ…gi CiÄ…gi
FUNKCJE SUMY K
TÓW FUNKCJE SUMY K
TÓW
CI
G ARYTMETYCZNY CI
G ARYTMETYCZNY
sin śąaƒÄ…bźą=sin aÅ"cos bƒÄ…cos aÅ"sinb sin śąaƒÄ…bźą=sin aÅ"cos bƒÄ…cos aÅ"sinb
cosśą aƒÄ…bźą=cos aÅ"cos bćsinaÅ"sin b an=a1ƒÄ…śąnć1źąr ; an=1 śą anć1ƒÄ…anƒÄ…1źą cosśą aƒÄ…bźą=cos aÅ"cos bć sinaÅ"sin b an=a1ƒÄ…śąnć1źąr ; an=1 śą anć1ƒÄ…anƒÄ…1źą
2 2
tgaƒÄ…tgb ctgaÅ"ctgbć1 tgaƒÄ… tgb
tg śą aƒÄ…bźą = ctg śą aƒÄ…bźą= Suma n poczÄ…tkowych wyrazów ciÄ…gu arytmetycznego: tg śąaƒÄ…bźą = ctg śą aƒÄ…bźą=ctgaÅ"ctgbć1 Suma n poczÄ…tkowych wyrazów ciÄ…gu arytmetycznego:
1ćtgaÅ"tgb ctgaƒÄ…ctgb 1ć tgaÅ"tgb ctgaƒÄ…ctgb
a1ƒÄ…an r a1ƒÄ…an r
FUNKCJE RÓśNICY K
TÓW FUNKCJE RÓśNICY K
TÓW
Sn= Å"n= nÅ"a1 ƒÄ… nśąnć1źą Sn= Å"n=nÅ"a1 ƒÄ… nśąnć1 źą
2 2 2 2
sinśą aćb źą= sinaÅ"cosb ćcosaÅ"sinb sinśąaćbźą=sinaÅ"cosb ćcosaÅ"sinb
CI
G GEOMETRYCZNY CI
G GEOMETRYCZNY
cos śąaćb źą= cosaÅ"cosbƒÄ…sinaÅ"sinb cos śąaćbźą=cosaÅ"cosbƒÄ… sinaÅ"sinb
an=a1 ; an= Å"anƒÄ…1 an=a1 ; an= Å"anƒÄ…1
Å"qnć1 Å"qnć1
ćąanć1 ćąanć1
tgaćtgb ctgaÅ"ctgbƒÄ…1 tgać tgb
tg śą aćbźą = ctg śą aćbźą= tg śąaćbźą = ctg śą aćbźą=ctgaÅ"ctgbƒÄ…1 Suma n poczÄ…tkowych wyrazów ciÄ…gu geometrycznego:
Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego:
1ƒÄ…tgaÅ"tgb ctgbćctga 1ƒÄ… tgaÅ"tgb ctgbćctga
a1 a1 Å"1ćqn
Å"1ćqn
Sn= dla q`"1; Sn=nÅ"a1 dla q=1 Sn= dla q`"1; Sn= nÅ"a1 dla q=1
1ćq 1ćq
SZEREG GEOMETRYCZNY SZEREG GEOMETRYCZNY
a1 a1
#"q#""ą1 limśą Sn źą=S=1ćq #"q#""ą1 limśą Sn źą=S=1ćq
nŚą " nŚą "
OBLICZANIE GRANIC CI
GÓW ZA
OśONYCH ASYMPTOTA PIONOWA PRAWOSTRONNA OBLICZANIE GRANIC CI
GÓW ZA
OśONYCH ASYMPTOTA PIONOWA PRAWOSTRONNA
lim an=a lim bn=b lim f śą x źą=ć" lim f śą x źą=ƒÄ…" lim an=a lim bn=b lim f śą x źą=ć" lim f śą x źą=ƒÄ…"
Je\
eli istnieją granice ciągów oraz , to Je\
eli istnieją granice ciągów oraz , to
n Śą" n Śą" n Śą" n Śą"
n ŚąaƒÄ…1 nŚą aƒÄ…1 n ŚąaƒÄ…1 nŚą aƒÄ…1
zachodzi: Prosta która jest jednocześnie as. pionową lewo i prawostronną zachodzi: Prosta która jest jednocześnie as. pionową lewo i prawostronną
lim śą an ƒÄ…bnźą=aƒÄ…b lim śąanćbnźą=aćb lim śą an ƒÄ…bnźą=aƒÄ… b lim śąanćbnźą=aćb
funkcji nazywamy as. pionowÄ… obustronnÄ…. funkcji nazywamy as. pionowÄ… obustronnÄ….
nŚą " n Śą" nŚą " n Śą"
ASYMPTOTA UKOÅšNA ASYMPTOTA UKOÅšNA
an a an a
Prosta o równaniu y=Ax+B jest as. ukośną funkcji f w +" gdy: Prosta o równaniu y=Ax+B jest as. ukośną funkcji f w +" gdy:
lim śą anÅ"bnźą=aÅ"b lim śą źą= dla bn`"0 lim śą anÅ"bnźą=aÅ"b lim śą źą= dla bn`"0
bn b bn b
nŚą " nŚą " nŚą " nŚą "
lim [ f śą xźąćśą AxƒÄ…B źą]=0 lim [ f śą xźąćśą AxƒÄ…B źą]=0
nŚą ƒÄ…" nŚą ƒÄ…"
lim śą anćbnźą=lim an ćlim bn lim śącÅ"an źą=cÅ"lim an lim śą anćbnźą= lim an ćlim bn lim śącÅ"an źą=cÅ"lim an
n Śą" nŚą " n Śą " n Śą " nŚą " n Śą" nŚą " n Śą " n Śą " nŚą "
f śąxźą f śą xźą
p p k A = lim B= lim [ f śą x źąćAx] p p k A = lim B= lim [ f śą x źąćAx]
lim śą an źą = an lim =k lim an k "! lim śą an źą = an lim =k lim an k "!
ćąan n ŚąƒÄ… " x nŚą ƒÄ…" ćąan n ŚąƒÄ… " x nŚą ƒÄ…"
ćą ćą
śąlim źą śąlim źą
nŚą " nŚą " nŚą " n Śą " nŚą " nŚą " nŚą " n Śą "
Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty Asymptota pozioma jest szczególnym przypadkiem asymptoty
TWIERDZENIE O TRZECH CI
GACH TWIERDZENIE O TRZECH CI
GACH
ukośnej. ukośnej.
lim an=lim cn =g lim an=lim cn =g
Jeśli dla dwóch ciągów zachodzi , natomiast Jeśli dla dwóch ciągów zachodzi , natomiast
n Śą" n Śą " n Śą" n Śą "
Pochodne funkcji Pochodne funkcji
wyrazy trzeciego ciągu spełniają (począwszy od pewnego n) wyrazy trzeciego ciągu spełniają (począwszy od pewnego n)
ILORAZ RÓśNICOWY ILORAZ RÓśNICOWY
lim bn=g lim bn=g
warunek and"bnd"cn , to równie\
warunek and"bnd"cn , to równie\

n Śą" f śą x źąć f śą x0źą ­Ä… f n Śą" f śą x źąć f śą x0źą ­Ä… f
f ' śą xźą=lim = lim f ' śą xźą=lim = lim
xćx0 ­Ä… x xćx0 ­Ä… x
x Śą x0 ­Ä… x Śą x0 x Śą x0 ­Ä… x Śą x0
Niektóre granice Niektóre granice
n PODSTAWOWE POCHODNE FUNKCJI n PODSTAWOWE POCHODNE FUNKCJI
1 n 1 n
lim =0 lim 1 ƒÄ…1 =e lim śą aÄ…0źą Funkcja Pochodna Funkcja Pochodna lim =0 lim 1 ƒÄ…1 =e lim śą aÄ…0źą Funkcja Pochodna Funkcja Pochodna
ćąa=1 ćąa=1
śą źą śą źą
n Śą" n n Śą " n n Śą " n Śą" n n Śą " n n Śą "
C 0 ch x sh x C 0 ch x sh x
n n
1 =1 e 1 =1 e
k 1 1
lim nsin lim =ƒÄ…" lim nk q =0 śą#"q#""Ä…1; k "!źą lim nsin lim = ƒÄ…" lim nk qk=0 śą#"q#" "!źą
"Ä…1;k
xn nxn-1 tgh x xn nxn-1 tgh x
n Śą " n nŚą " n nŚą " n Śą " n nŚą " n nŚą "
ch2 x ch2 x
n n
n ln n=0 ć1 n ln n=0 ć1
lim 1 ƒÄ…a =ea lim ćąn=lim n1 /n=1 lim sin x cos x cth x lim 1 ƒÄ…a = ea lim ćąn=lim n1 /n=1 lim sin x cos x cth x
śą źą śą źą
n n n n
n Śą" n Śą" n Śą" n Śą " sh2 x n Śą" n Śą" n Śą" n Śą " sh2 x
1 1
nk nk
lim =0 lim 1 ƒÄ…1 =1 lim nśą a1/ nć1źą=ln a śą aÄ…0źą cos x -sin x arc sin x lim =0 lim 1 ƒÄ…1 =1 lim nśą a1/ nć1źą=ln a śą aÄ…0źą cos x -sin x arc sin x
śą źą śą źą
n Śą" n! n Śą " n n Śą " n Śą" n! n Śą " n n Śą "
ćą1 ćx2 ćą1 ćx2
ć1 ć1
ln ln n=0 an ln ln n=0 an
lim lim =0 śą a"!źą tg x 1+tg2x arc cos x lim lim =0 śą a"!źą tg x 1+tg2x arc cos x
nŚą " ln n n Śą " n! ćą1 ćx2 nŚą " ln n n Śą " n! ćą1 ćx2
n n
1 1
1 ćln 1 ć
ctg x -1-ctg x arc tg x ctg x -1-ctg x arc tg x
lim n =Ä…Ä… lim ln n =Ä…Ä…
1 ƒÄ…x2 1 ƒÄ…x2
śą" źą śą" źą
n Śą " k n Śą " k
k= 1 k= 1
ć1 ć1
ƒÄ…" qÄ…1 ax ax ln a arc ctg x ƒÄ…" qÄ…1 ax ax ln a arc ctg x
1 ƒÄ…x2 1 ƒÄ…x2
1 #"q#""Ä…1 1 #"q#""Ä…1
lim qn= 1 lim qn= 1
ex ex log x ex ex log x
a a
n Śą " 0 q"śą 0;1źą n Śą " 0 q"śą 0; 1źą
{ } x ln a { } x ln a
q"ąć1, q=ć1 dwa podciągi q"ąć1, q=ć1 dwa podciągi
1 1
sh x ch x ln x sh x ch x ln x
n·Ä… x n·Ä… x
lim =0 śą aÄ…1źą lim lnśą 1 ƒÄ…1 źą=0 lim n ln śą1ƒÄ…1 źą=1 lim =0 śą aÄ…1źą lim lnśą 1 ƒÄ…1 źą=0 lim n ln śą1ƒÄ…1 źą=1
n n RÓWNANIE STYCZNEJ DO WYKRESU FUNKCJI n n RÓWNANIE STYCZNEJ DO WYKRESU FUNKCJI
n Śą" an nŚą " nŚą " n Śą" an nŚą " nŚą "
w punkcie x w punkcie x
0 0
n sin x tg x n sin x tg x
lim nśąćąe ć1źą=1 lim =1 lim =1 lim nśąćąe ć1źą=1 lim =1 lim =1
y= f śą x0źąƒÄ… f ' śą x0 źąśą xćx źą y= f śąx0źąƒÄ… f ' śąx0 źąśą xćx źą
0 0
x x x x
n Śą" nŚą 0 nŚą 0 n Śą" nŚą 0 nŚą 0
TWIERDZENIA O POCHODNEJ FUNKCJI TWIERDZENIA O POCHODNEJ FUNKCJI
axć1=ln axć1=ln
lim a dla aÄ…0 lim a dla aÄ…0
śą f ągźą 'śą x0 źą= f 'śą x źąą g' śą x0źą śą f ągźą 'śą x0 źą= f 'śą x źąąg' śą x0źą
0 0
x x
n Śą 0 n Śą 0
x śą fÅ"gźą' śą x0źą= f ' śą x0 źąÅ"gśą x źąƒÄ… f śą x0źąÅ"g' śąx0źą x śą fÅ"gźą' śą x0źą= f ' śą x0 źąÅ"gśą x źąƒÄ… f śą x0źąÅ"g' śą x0źą
0 0
e ć1=1 ln śą1 ƒÄ…x źą=1 e ć1=1 ln śą1 ƒÄ…x źą=1
lim lim lim lim
f 'śą x0 źąÅ"gśą x źąć f śą x0źąÅ"g' śą x0 źą f 'śą x0 źąÅ"gśą x źąć f śą x0źąÅ"g' śą x0 źą
f f
0 0
x x x x
n Śą 0 nŚą 0 n Śą 0 nŚą 0
'śą x0 źą= 'śą x0 źą=
śą źą śą źą
g g2 śąx0 źą g g2 śą x0 źą
loga śą1 ƒÄ…x źą loga śą1 ƒÄ…x źą
lim =logae dla a"! lim =logae dla a"!
TW. O POCHODNEJ F. ZA
OśONEJ TW. O POCHODNEJ F. ZA
OśONEJ
x x
n Śą 0 n Śą 0
x x
śą g° f źą' śą x0źą=g 'śą f śą x0źą źą f 'śą x źą śą g° f źą' śą x0źą=g 'śą f śą x0źą źą f 'śą x źą
0 0
a a
lim 1 ƒÄ…a =e dla a"! lim 1 ƒÄ…a =e dla a"!
TW. O POCHODNEJ F. ODWROTNEJ TW. O POCHODNEJ F. ODWROTNEJ
śą źą śą źą
nŚą " x nŚą " x
ć1 1 ć1 1
x 1 x 1
śą f źą 'śą y0źą= śą f źą 'śą y0źą=
x x
f ' śąx źą f ' śąx źą
lim 1 ƒÄ…1 =e lim śą 1 ƒÄ…xźą =e 0 lim 1 ƒÄ…1 =e lim śą 1 ƒÄ…xźą =e 0
śą źą śą źą
x x
nŚą " n Śą 0 nŚą " n Śą 0
śą1 ƒÄ…x źąać1 śą1 ƒÄ… x źąać1
lim =a dla a"! lim =a dla a"!
x x
n Śą0 n Śą0
arcsin x arctg x arcsin x arctg x
lim =1 lim =1 lim =1 lim =1
x x x x
n Śą0 nŚą 0 n Śą0 nŚą 0
Symbole nieoznaczone Symbole nieoznaczone
0 " 0 0 0 " 0 0
" "
"ć" 0 Å"" 1 " 0 "ć" 0 Å"" 1 " 0
" "
0 0
Asymptoty funkcji Asymptoty funkcji
ASYMPTOTA PIONOWA LEWOSTRONNA ASYMPTOTA PIONOWA LEWOSTRONNA
lim f śą x źą=ć" lim f śą x źą=ƒÄ…" lim f śą x źą=ć" lim f śą x źą=ƒÄ…"
n Śąać1 nŚą ać1 n Śąać1 nŚą ać1