Zadanie 12.1. Pręt o długości 3a zamocowany w lewym końcu jest obciążony jak na rysunku.
a) Sporządzić wykres momentów skręcających i kątów skręcenia oraz naprężeń stycznych w
najbardziej wytężonych przekrojach odcinków AB i BD. Określić maksymalna wartość
naprężenia stycznego. Określić wartości i kierunki naprężeń głównych oraz pokazać ich
wektory na elementarnym wycinku powierzchni pręta.
Dane: a = 1m, Ms = 2 kNm, średnica d = 10 cm, G = 80 GPa
b) Wyznaczyć średnicę d wału przy założeniu, że naprężenie styczne w najbardziej
wytężonym przekroju wału nie może przekroczyć wartości Rt = 75MPa. Przyjmując
obliczonÄ… Å›rednicÄ™ d kÄ…t skrÄ™cenia waÅ‚u Õ i sprawdzić warunek Õ d" Õdop = 0,04 rad.
1,5MS
3MS
2MS
a) Ä12=Ämax b) Ã1=Ämax
Ã2=Ämax
x1
D
Ä21
A
B C
Ä12=Ämax
Ã2
Ã1
d
Ä21
2d
Ämax=20,4 MPa
c) d)
a 0,5a 1,5a
Naprężenia styczne Ä [MPa]:
MR Wektory
1,5MS 3MS 2MS
momentów
x1
CD
skręcających 20,4
5
2
20,4
Ms [kNm]
4
AB
0,0096
0,0023
Õ [rad]
3,2
3,2
0,0340
Ad. a)
Moment reakcji i wykres momentów skręcających:
" = -1,5 - 3 +2 = 0 , = 2,5 = 5
MS MS MS MS
Dodatni moment skręcający ma
a"
zwrot normalnej zewnętrznej przekroju.
Momenty skręcające w przekrojach kolejnych odcinków wału:
AB BC CD
MAB
MR MBC 3MS 2MS MCD
2MS
A C D
D
= - = -5 = - = -2 = 2 = 4
Wykres kątów skręcenia, d = 10 cm.
WzglÄ™dny kÄ…t skrÄ™cenia Õ skrajnych przekrojów, odcinka waÅ‚u o staÅ‚ym przekroju,
długości l , obciążonego momentem skręcającym MS jest równy
"
= ,
(1)
"
gdzie G - moduł Kirchoffa, J0 - biegunowy moment bezwładności. GJo jest sztywnością
skręcania. W zadaniu wał jest utwierdzony w A, tam kąt skręcenia jest równy zeru. Kąt
skrÄ™cenia przekroju B wzglÄ™dem przekroju A, jak również zmianÄ™ kÄ…ta skrÄ™cenia Õ wzdÅ‚uż
kolejnych odcinków wału, oblicza się ze wzoru (1).
W dalszej części, obliczenia będą wykonywane w jednostkach [kN] i [cm]:
1 = = 0,1 , 1 = = 100 .
Wartości kątów skręcenia przekrojów:
= 0
" "
= = = -0,0004
"
" , "
= + = -0,0004 + = -0,0017
"
" , "
= + = -0,0017 + = 0,0059 .
"
Wykres kątów skręcenia dla d = 10 cm przestawiono na rys. c).
Wykres naprężeń stycznych, d = 10 cm.
Naprężenia styczne Ä, w punkcie waÅ‚u, którego poÅ‚ożenie okreÅ›lono promieniem Á, 0 d" Á d" r :
= Á , = ,
32
gdzie MS jest wartością momentu skręcającego w przekroju, Jo - biegunowym momentem
bezwÅ‚adnoÅ›ci. NajwiÄ™ksza wartość naprężenia Ä wystÄ…pi w skrajnym włóknie, dla = 6"
= Á = , = = ,
16
gdzie Wo jest biegunowym wskaz
nikiem przekroju.
Max naprężenia styczne w przekrojach kolejnych odcinków wału wynoszą:
odcinek AB: = = = -0,32 = -3,2
odcinek BC: = = = -1,02 = -10,2
odcinek CD: = = = 2,04 = 20,4
Przekroje wzdłuż odcinka CD są najbardziej wytężone, występuje tu największe naprężenie
styczne, = 20,4 MPa . Wektor naprężenia na powierzchni bocznej wału ma kierunek
prostopadły do osi wału. Aby spełnione były równania równowagi, sumy momentów
względem środka elementu powierzchniowego, naprężenia o tej samej wartości muszą być
również na ściankach elementu równoległych do osi walu. Na powierzchni bocznej wałka
realizowany jest stan czystego ścinania, dla którego naprężenia główne, występują w
kierunkach nachylonych do osi waÅ‚u pod kÄ…tem 45° i 1350: /
= Ä… = Ä…75MPa .
Wykresy naprężeń na rys. b) i d).
Ad. b)
Projektowanie średnicy wału.
Największa wartość momentu skręcającego występuje wzdłuż odcinka AB, jednak ze względu
na różne średnice wału, największe wartości naprężeń, przekroje najbardziej wytężone, mogą
wystąpić wzdłuż odcinków AB lub CD. W obliczeniach należy uwzględnić obydwa odcinki.
Obliczenia zestawiono w tabeli.
Odcinek AB: Odcinek CD:
" 2 "
Biegunowy moment
= = =
bezwładności 32 2 32
Biegunowy wskaz
nik
= =
= =
/2 16
wytrzymałości 2
Max wartość
= d" = d"
naprężenia stycznego
2 d" 16 d"
2 16
e" e"
Obliczenia promienia
" "
odcinka wału
" "
e" = 3,49 e" = 6,47
" , " ,
Pomimo, że wzdłuż odcinka CD wartość momentu skręcającego jest mniejsza, wał tutaj jest
bardziej wytężony. Wymagana jest większa średnica do przeniesienia obciążenia. Przyjęto
średnicę wału d = 6,47 cm,
Wartości max naprężeń stycznych, d = 6,47 cm.
odcinek AB: = = = -1,17 = -11,7
,
odcinek BC: = = = -3,75 = -37,5
,
odcinek CD: = = = 7,5 = 75
,
W prawidłowo zaprojektowanym wale w najbardziej wytężonych przekrojach naprężenia
styczne są równe naprężeniom dopuszczalnym, = 75MPa = R .
Wartości kątów skręcenia, d = 6,47cm.
Kąty skręcenia kolejnych przekrojów wału względem przekroju A :
= 0
" "
= = = -0,0023
" ,
" , "
= + = -0,0023 + = -0,0096
" ,
" , "
= + = -0,0049 + = 0,034 .
" ,
Sztywność skręcania wału projektowanego jest mniejsza ze względu na mniejszą średnicę. Z
tego powodu całkowity kąt skręcenia wału jest większy. Obliczony max kąt skręcenia wału
jest mniejszy od kÄ…ta dopuszczalnego Õdop = 0,04 rad.
Wniosek końcowy.
W obydwu powyższych przypadkach wartości momentów skręcających są identyczne.
Wartości kątów skręcenia wału oraz wykresy naprężeń stycznych są natomiast różne ale
proporcjonalne, zależą one od sztywności skrętnej wału. Mniejsza sztywność skrętna GJO dla
wału o zaprojektowanej średnicy powoduje większe wartości kąta skręcenia.