Egzamin pisemny z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2008/2009

Cz¸

eść Teoretyczna

Zad.T1. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

∞

Podać kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregu liczbowego. Zbadać, czy szereg P (−1)n ( n+2 )n2 jest zbieżny.

9n+1

n

n=1

Zad.T2. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Podać twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda o promieniu zbieżności szeregu pot¸egowego. Promień zbieżności sz-

∞

eregu P (2x+8)n

√

jest równy R = 4. Narysować przedzia l zbieżności tego szeregu, zbadać zbieżność (i określić 8n

2n+8

n=1

jej rodzaj) szeregu w lewym krańcu przedzia lu zbieżności.

Zad.T3. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Podać w lasności dystrybuanty rozk ladu zmiennej losowej typu ci¸ag lego. Dla jakich wartości parametru A





0

x ∈ (−∞, 0]







F (x) =

1 x2 x

2

∈ (0, A]









1

x ∈ (A, +∞)

jest dystrybuant¸a zmiennej losowej typu ci¸ag lego?

Zad.T4. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Zmienna losowa X ma rozk lad N (1, 4). Za pomoc¸a tablic obliczyć P (−1 < X < 7). Podać wartość oczekiwan¸a i wariancj¸e zmiennej losowej Y = 3X − 4. Jaki rozk lad ma zmienna losowa Y ?

Zad.T5. [3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Podać za lożenia i tez¸e twierdzenia Greena.

Egzamin pisemny z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2009/2010

Cz¸

eść Teoretyczna

Zad.T1. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Podać definicj¸e pochodnej kierunkowej funkcji, a nast¸epnie korzystaj¸ac z tej definicji obliczyć pochodn¸a funkcji

√

f (x, y) = px2 + y2 w punkcie (0, 0) w kierunku wektora ~a = [ 1 , 3 ].

2 − 2

Zad.T2. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Korzystaj¸ac z warunku koniecznego zbieżności odpowiedniego szeregu liczbowego wykazać, że lim (n−1)! = 0.

n

3nn+1

→∞

Zad.T3. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

∞

Podać twierdzenie o różniczkowaniu szeregu pot¸egowego. Dana jest funkcja f (x) = P xn . Funkcj¸e f ′(x) 2nn

n=1

przedstawić w postaci szeregu i obliczyć jego sum¸e.

Zad.T4. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Podać trzy w lasności wartości oczekiwanej zmiennej losowej. Zmienna losowa X ma rozk lad Bernoulliego z parametrami n = 10 i p = 0.5. Obliczyć EX i D2X. Podać wartość oczekiwan¸a i wariancj¸e zmiennej losowej Y = 1 − 2X.

Zad.T5. [3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Zmienna losowa X ma rozk lad N (15, 2). Za pomoc¸a tablic obliczyć P (|X − 13| < 5).

Egzamin pisemny z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011

Cz¸

eść Teoretyczna

Zad.T1. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Podać twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda o promieniu zbieżności. Obliczyć promień zbieżności szeregu

∞

P

(−1)n (x − 3)n.

n3n

n=1

Zad.T2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Podać definicj¸e zbieżności bezwzgl¸ednej i warunkowej szeregu liczbowego. Określić rodzaj zbieżności szeregów

∞

∞

P

(−1)n i P (−1)n .

2n+5

2n2+5

n=1

n=1

Zad.T3. [3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Podać podstawowe w lasności dystrybuanty zmiennej losowej X.

Zad.T4. [3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Zmienna losowa X ma wartość oczekiwan¸a EX = 2 i wariancj¸e D2X = 1. Obliczyć EY i σY , jeżeli Y = 3X −2.

Zad.T5. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Zmienna losowa X ma rozk lad normalny N (1, 2). Dokonać standaryzacji zmiennej losowej X. Za pomoc¸a tablic obliczyć P (X ≥ 0.5) oraz P (|X| < 2.4).

Egzamin poprawkowy z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2010/2011

Cz¸

eść Teoretyczna

Zad.T1. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

∞

Podać kryterium Leibnitza. Zbadać zbieżność (oraz określić jej rodzaj) szeregu P (−1)n .

3

√n+1

n=1

Zad.T2. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Podać twierdzenie o różniczkowaniu szeregu pot¸egowego. Napisać rozwini¸ecie funkcji f ′(x) w szereg Maclaurina,

∞

jeżeli f (x) = P 2xn.

n=1

Zad.T3. [3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Podać definicj¸e potencja lu pola wektorowego.

Zad.T4. [3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Zmienna losowa X ma rozk lad N (−1, 3). Za pomoc¸a tablic obliczyć P (−3 < X < 0).

Zad.T5. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 4 ]

Zmienna losowa X ma rozk lad Bernoulliego z parametrami n = 12, p = 1 . Obliczyć wartość oczekiwan¸a i 3

wariancj¸e zmiennej losowej Y = 2X − 1.

Egzamin poprawkowy z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Geodezja i Kartografia, sem. 3, r.ak. 2010/2011

Cz¸

eść Teoretyczna

Zad.T1. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Podać twierdzenie Cauchy’ego-Hadamarda o promieniu zbieżności. Obliczyć promień zbieżności szeregu

∞

P

(−1)n (x − 3)n.

n3n

n=1

Zad.T2. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Podać definicj¸e zbieżności bezwzgl¸ednej i warunkowej szeregu liczbowego. Określić rodzaj zbieżności szeregów

∞

∞

P

(−1)n i P (−1)n .

2n+5

2n2+5

n=1

n=1

Zad.T3. [3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Podać podstawowe w lasności dystrybuanty zmiennej losowej X.

Zad.T4. [3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Zmienna losowa X ma rozk lad Poissona z parametrem λ = 3. Za pomoc¸a tablic obliczyć wartość dystrybuanty F (2).

Zad.T5. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

√

Zmienna losowa X ma rozk lad normalny N (0, 2). Dokonać standaryzacji zmiennej losowej X. Za pomoc¸a

√

tablic obliczyć P (X ≥ 2).

Egzamin pisemny z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2011/2012

Cz¸

eść Teoretyczna

Zad.T1. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

∞

Napisać definicj¸e zbieżności szeregu liczbowego. Korzystaj¸ac z definicji znaleźć sum¸e szeregu P

1

.

n(n+1)

n=1

Zad.T2. [3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Sformu lować kryterium ca lkowe zbieżności szeregu. Czy można zastosować kryterium ca lkowe do badania

∞

zbieżności szeregu P (−1)n ?

n2

n=1

Zad.T3. [6p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Podać twierdzenie o rozwijaniu funkcji f (x) w szereg Taylora. Rozwin¸ać f (x) i f ′(x) w szereg Taylora w otocze-niu punktu x0 = 1, jeżeli f (x) = 1 .

x

Zad.T4. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Zmienna losowa skokowa X ma rozk lad Bernoulliego z parametrami n = 300 i p = 0.01. Obliczyć EX i D2X.

Za pomoc¸a tablic obliczyć wartośc prawdopodobieństwa P (X < 2).

Zad.T5. [3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Zmienna losowa X ma rozk lad normalny N (3, 1). Dokonać standaryzacji zmiennej losowej X. Za pomoc¸a tablic obliczyć P (−1 ≤ X ≤ 7).

Egzamin pisemny z matematyki

Wydzia l WILiŚ, Budownictwo, sem. 3, r.ak. 2012/2013

Cz¸

eść Teoretyczna

Zad.T1. [5p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

∞

Podać kryterium ca lkowe zbieżności szeregu. Korzystaj¸ac z tego kryterium wykazać zbieżność szeregu P 1 .

n2

n=1

Zad.T2. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 1 ]

Podać twierdzenie Greena. Korzystaj¸ac z tego twierdzenia obliczyć R (2x + y)dx − (x + 2y)dy,

L

gdzie luk L jest okr¸egiem zorientowanym ujemnie o równaniu (x − 1)2 + (y + 1)2 = 4.

Zad.T3. [4p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Podać definicj¸e punktu wyprostowania krzywej. Czy krzywa, dla której dla dowolnego t: ℵ(t) = et ma punkty et +1

wyprostowania?

Zad.T4. [3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 2 ]

Zmienna losowa X ma rozk lad Bernoulliego, gdzie n = 20, p = 0.2. Obliczyć EX, D2X. Podać wzór (nie obliczać) na P (X = 2).

Zad.T5. [3p — rozwi¸

azanie piszemy na stronie 3 ]

Zmienna losowa X ma rozk lad N (2, 2). Za pomoc¸a tablic obliczyć P (−1 < X < 3).