WZORY – STATYSTYKA OPISOWA

n

Wskaźniki struktury (częstości): w

i



i

n

n

1

Średnia arytmetyczna (szereg wyliczeniowy): x 

 xi

n i1

k

k

1

Średnia arytmetyczna (szereg punktowy):

x 



x n

i

i

lub x   x w

i

i

n i1

i1

k

1



k



Średnia arytmetyczna (szereg przedziałowy): x



x n

lub



x   x w

i

i

i

i

n i1

i1

 lx n

x w

i

i

 l i i

Średnia ze średnich:

j 1

j 

x 

 1

 ln

w

i

 l i

j 1

j 1

n

1

Średnia harmoniczna (szereg punktowy):

x 

lub

x



H

 k n

H

k

w

i

 i

1 x

i

1 x

i

i

i

1

Średnia harmoniczna (szereg przedziałowy):

n

x



lub

x



H

H

k

 k n

w

i

 i





i1 x

i1 x

i

i

n  n

w  w



D

D 1



Dominanta (szereg przedziałowy):

D

 x 

D

D 1

h lub D  x



h

x

0 D

D

x

0 D

D

n  n

 n  n

w  w

 w  w





D

D 1



D

D 1



D

D 1

D

D 1

 n

 h

h

Q

Q

Q  x

 ,

0 25  w

1

0 Q



skQ 1

 

1

Kwartyl pierwszy (szereg przedziałowy): Q  x

   n

1

 

lub

1

0 1

Q

sk 1

Q 1

 4

 n

1

1

wQ

1

Q

1

 n

 hM

h

Mediana (szereg przedziałowy): Me  x



Me  x

 5

,

0  w

0 M



skM 1

 

M

0

  n 1 

M

s

kM

lub

 2

 nM

wM

 3 n

 h

h

Q

Q

Q  x

 75

,

0

 w

3

0 Q



skQ

1

 

Kwartyl trzeci (szereg przedziałowy):

Q  x  

 n

3

3

 

lub

3

0 3

Q

sk 3

Q

1

 4

 n

3

3

w

3

Q

3

Q

1 n

1 n

2

2

2

Wariancja (szereg wyliczeniowy): s   

 x  x   x  x

x

2

 i 

i

 2

n i

n

1

i 1



1 k

1 k

Wariancja (szereg punktowy): 2

s   

 x  x n   x n  x

x

2

 i 2

2

i

i

i

 2

n i

n

1

i 1



k

k

2

2

2

lub s     x  x w   x w  x x

2

 i  i

i

i

 2

i 1



i 1



2

1 k  



1 k 

Wariancja (szereg przedziałowy): 2

2

s   

 x  x n   x



i

n

x

x

2

i

i

i

 2

n  



i

n

1

i 1



2

k



k







lub 2

2

s     x  x  w   x



i

w

x

x

2

i

i

i

 2

 



i 1

i 1



l

l

1

1

2

s 2  s 2  s 2 ( x ) 

s 2 n

x

x n

x

j

j





j

j

 

j



Wariancja:

j

n

1

n

j 

j 1

2

Odchylenie standardowe: s 

s

x

x

Odchylenie ćwiardkowe:

Q  Q

3

1

Q 

2

Obszar typowy (klasyczny):

x

 x  s ; x  s

typ



x

x 

x 

 ;



typ

 Me Q Me Q

Obszar typowy (pozycyjny):

s

Współczynnik zmienności (klasyczny): V

x



%

100

x

x

Współczynnik zmienności (pozycyjny):

Q

V  

%

100

x

Me

n

1

Moment centralny rzędu trzeciego (szereg wyliczeniowy):  

 x  x 3

3

i



n i1

k

k

 1

3

 x  x 3 n

x

x 3 w

i

 

i

 

i



Moment centralny rzędu trzeciego (szereg punktowy): i

n i1

i1

k

3



k

3



Moment centralny rzędu trzeciego (szereg przedziałowy): 1









 

3

 x  x n

x

x

w

i





i

  i  i

n i1 



i1 



__

Współczynnik asymetrii mieszany:

x D

A 

s

sx





Współczynnik asymetrii klasyczny:

3

3

A 



k

3

2

3

sx

2

 Q  Me 



3

  Me Q 1

Współczynnik asymetrii pozycyjny: A 

p

Q

2

n

1

Moment centralny rzędu czwartego (szereg wyliczeniowy):  

 x  x 4

4

i



n i1

k

k

 1

4

 x  x 4 n

x

x 4 w

i

 

i

 

i



Moment centralny rzędu czwartego (szereg punktowy): i

n i1

i1

k

4



k

4



Moment centralny rzędu

1









czwartego (szereg przedziałowy):  

4

 x  x n

x

x

w

i





i

  i  i

n i1 



i1 







Kurtoza:

4

4

k 



4

2

s

2

Eksces: K  k  3

a

a

Wskaźnik koncentracji Giniego:

K



lub K 

L

5

,

0

L

5000

OZNACZENIA:

a – pole pomiędzy linią równomiernego podziału, a krzywą koncentracji Lorenza,

hD - długość przedziału dominanty,

hM - długość przedziału mediany,

hQ1 - długość przedziału kwartyla pierwszego, hQ3 - długość przedziału kwartyla trzeciego,

k – liczba przedziałów klasowych,

l – liczba grup w zbiorowości,

n – liczebność zbiorowości,

nD - liczebność przedziału dominanty,

nD-1 - liczebność przedziału poprzedzającego przedział dominanty, nD+1 - liczebność przedziału następnego po przedziale dominanty, ni – liczebność jednostek odpowiadającą poszczególnym wariantom zmiennej (i=1,2,...k), nM - liczebność przedziału mediany,

nskM-1 - liczebność skumulowana odpowiadająca przedziałowi poprzedzającemu przedział mediany, nskQ1-1 - liczebność skumulowana odpowiadająca przedziałowi poprzedzającemu przedział kwartyla pierwszego, nskQ3-1 - liczebność skumulowana odpowiadająca przedziałowi poprzedzającemu przedział kwartyla trzeciego,

nQ1 - liczebność przedziału kwartyla pierwszego , nQ3 - liczebność przedziału kwartyla trzeciego, sj – odchylenie standardowe j-tej grupy ( j=1,2,… l), 2

s – średnia z wariancji l-grup (wariancja wewnątrzgrupowa), j

2

s ( x ) – wariancja ze średnich l-grup (wariancja międzygrupowa), j

wD - częstość przedziału dominanty,

wD-1 - częstość przedziału poprzedzającego przedział dominanty, wD+1 - częstość przedziału następnego po przedziale dominanty, wi – częstość jednostek odpowiadającą poszczególnym wariantom zmiennej (i=1,2,...k) wj – wagi poszczególnych grup ( j=1,2,… l), x0i – początek i-tego przedziału, x1i – koniec i-tego przedziału,

xi – wartości (warianty) cechy mierzalnej,





x  x

x – środek i-tego przedziału wyznaczany zgodnie ze wzorem: 0 i

1



, i

x

i

i

2

x0D - początek przedziału dominanty,

x0M - początek przedziału mediany,

x0Q1 - początek przedziału kwartyla pierwszego, x0Q3 - początek przedziału kwartyla trzeciego, x – średnia j-tej grupy ( j=1,2,… l).

j