‚

wi zenia

8.012

(a) u = {0} 6R=∈u

Ustal,

które

z

p

oni»szy

h

zbioró

w

s¡

zbiorami

prze

ho

dnimi.

,

;

(b) u = {1, 2,4, 6} 6R=⊆u Które

z

ni

h

s¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi?

,

;

(a) (∅, {∅})

(c) u = {0, {3}, 4,5} 6R=∈u

,

;

;

(b) {{∅}, {{∅}}}

(d) u = {1, 2,3, 4, ω} 6R=⊆u

,

;

;

(c) {∅, {∅}, {∅, {∅}}}

(e) u = {1, 6,ω, ω ∪ {ω}} 6R=∈u

,

.

;

(d) {∅, {∅}, {{∅}}, {{{∅}}}}

8

;

.062

W

k

a»dym

z

p

oni»szy

h

przypadk

ó

w

wyzna z

t

yp

p

orz¡dk

o

wy

(e) {{∅}, (∅, ∅)}

(

.

u, 6R)

zbioru

.

8.022

(a) u = {ω · n + m: n ≤ 2 ∧ m ∈ ω} 6R=∈u

,

;

Ustal,

które

z

p

oni»szy

h

zbioró

w

s¡

zbiorami

prze

ho

dnimi.

(b) u = ω ∪ {ω + 2, ω + ω} 6R=⊆u

,

;

Które

z

ni

h

s¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi?

(a) {0, {0}, 1,{1}}

(c) u = {n ∈ ω: 2|n} 6R=∈u

,

;

;

(b) {0, 1, 2,3, 4}

(d) u = ω · 2 \ ω 6R=⊆u

,

;

;

(c) {0, 1, 2,{3}, {4}}

(e) u = ω ∪ {ω, ω ∪ {ω}} 6R=∈u

,

.

;

(d) {0, 2, 3,{2, 3}}

8.072

;

W

k

a»dym

z

p

oni»szy

h

przypadk

ó

w

obli z

reszt

oraz

iloraz

z

(e) {0, 1, {2,{3, 4}}}

α

β

.

dzielenia

przez

.

8.032

(a) α = ω[3] · 2 + ω · 2 + 3 β = ω + 1

,

;

Obli z

sum,

przekró

j

i

przekró

j

sum

y

dla

nastpuj¡ y

h

zbio-

(b) α = ω[2] · 3 + ω β = 2

,

;

ró

w:

(a) {0, {0}, 1,{1}}

(c) α = ω[3] · 4 + ω + 2 β = ω[2] + 3

,

;

;

(b) {1, 2, 3,4}

(d) α = ω[4] + ω β = ω + 1

,

;

;

(c) {1, 2, {3},{4}}

(e) α = ω[3] · 3 + ω + 5 β = 4

,

.

;

(d) {2, 3, {2,3}}

8.082

;

W

k

a»dym

z

p

oni»szy

h

przypadk

ó

w

obli z

sum

i

ilo

zyn

li zb

(e) {1, {2, {3,4}}}

α β

.

,

.

8.042

(a) α = ω[3] · 2 + ω · 2 + 3 β = ω + 1

,

;

Które

z

otrzyman

y

h

w

p

oprzednim

zadaniu

zbioró

w

s¡

prze-

(b) α = ω[2] · 3 + ω β = 2

,

;

ho

dnie?

Które

z

ni

h

s¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi?

(c) α = ω[3] · 4 + ω + 2 β = ω[2] + 3

,

;

8.052

W

k

a»dym

z

p

oni»szy

h

przypadk

ó

w

wyzna z

t

yp

p

orz¡dk

o

wy

(d) α = ω[4] + ω β = ω + 1

(

,

;

u, 6R)

zbioru

.

(e) α = ω[3] · 3 + ω + 5 β = 4

,

.

8

8

Ÿ

.

Li zb

y

p

orz¡dk

o

w

e

R

Zadania

8.012

u 6= ∅

8.082

u

Ustal,

zy

istnieje

taki

zbiór

prze

ho

dni

,

»e:

Nie

h

b

dzie

niepust

ym

zbiorem,

którego

elemen

tami

s¡

li zb

y

(a) ∈u

u

p

orz¡dk

o

w

e.

W

yk

a»,

»e:

nie

jest

rela j¡

prze

ho

dni¡

w

;

(b)

x ∈ u

(a)

u = T u

istnieje

,

które

nie

jest

zbiorem

prze

ho

dnim;

min

;

(c)

x ∈ u

(b) S u

»adne

nie

jest

zbiorem

prze

ho

dnim.

jest

li zb¡

p

orz¡dk

o

w

¡.

8.022

u v

8.092

α

Nie

h

i

b

d¡

zbiorami.

W

yzna z

form

uª

teoriomnogo± io

w

¡

Nie

h

b

dzie

niepust¡

li zb¡

p

orz¡dk

o

w

¡.

W

yk

a»,

»e

nast-

ró

wno

w

a»n¡

nastpuj¡ em

u

st

wierdzeniu:

puj¡ e

w

arunki

s¡

ró

wno

w

a»ne:

(a) u

(a) α

jest

li zb¡

p

orz¡dk

o

w

¡;

jest

grani zn¡

li zb¡

p

orz¡dk

o

w

¡;

(b) u

(b) α = S α

jest

grani zn¡

li zb¡

p

orz¡dk

o

w

¡;

;

(c) f

u

(c) α

jest

i¡

giem

p

ozask

o« zon

ym

t

ypu

.

nie

p

osiada

elemen

tu

na

jwikszego.

8.032

u

8.102

α · β

W

yk

a»,

»e

je»eli

jest

niepust

ym

zbiorem

prze

ho

dnim

(li zb¡

W

yk

a»,

»e

jest

grani zn¡

li zb¡

p

orz¡dk

o

w

¡

wtedy

i

t

ylk

o

S(u) T u

S u

α

β

p

orz¡dk

o

w

¡),

to

,

i

s¡

zbiorami

prze

ho

dnimi

(li zbami

wtedy

,

gdy

lub

jest

grani zn¡

li zb¡

p

orz¡dk

o

w

¡.

p

orz¡dk

o

wymi).

8.112

α β

γ

Nie

h

,

i

b

d¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi.

W

yk

a»,

»e

je-

8.042

u

P(u)

α < β

γ + α < γ + β

α < β

W

yk

a»,

»e

je»eli

jest

zbiorem

prze

ho

dnim,

to

jest

zbio-

»eli

,

to

.

Czy

pra

wd¡

jest,

»e

je»eli

,

to

P(u)

u

α + γ < β + γ

rem

prze

ho

dnim.

Czy

m

usi

b

y¢

li zb¡

p

orz¡dk

o

w

¡,

je»eli

jest

?

li zb¡

p

orz¡dk

o

w

¡?

8.122

α β γ

α = β+γ

Nie

h

,

i

b

d¡

takimi

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi,

»e

.

8.052

α

β

Nie

h

i

b

d¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi.

W

yk

a»,

»e:

W

yk

a»,

»e:

(a) 6αβ

(α × {0}) ∪ (β × {1})

(a) β ≤ α γ ≤ α

jest

dobrym

p

orz¡dkiem

w

;

i

;

(b) 6∗

β × α

(b)

γ > 0

β < α

αβ jest dobrym porz¡dkiem w

.

je±li

,

to

.

8.062

α

β

8.132

α β

α ≥ β

Nie

h

i

b

d¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi.

W

yk

a»,

»e

je±li

,

Nie

h

i

b

d¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi.

W

yk

a»,

»e

(a) α ≤ β

α < S(β)

γ

α = β + γ

to

istnieje

dokªadnie

jedna

tak

a

li zba

p

orz¡dk

o

w

a

,

»e

.

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

;

(b) α < β

S(α) ≤ β

8

wtedy

i

t

ylk

o

wtedy

,

gdy

.

.142

α

β

Nie

h

i

b

d¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi.

Czy

pra

wd¡

jest,

»e

8.072

α

β

α ≥ β

γ

je»eli

,

to

istnieje

dokªadnie

jedna

tak

a

li zba

p

orz¡dk

o

w

a

,

»e

Nie

h

i

b

d¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi.

W

yk

a»,

»e:

α = γ + β

(a)

α · ω ≤ β

α + β = β

?

je±li

,

to

;

(b)

β < α · ω

α + β > β

8.152

α β

γ 6= 0

je±li

,

to

.

Nie

h

,

i

b

d¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi.

W

yk

a»,

»e

8

8

Ÿ

.

Li zb

y

p

orz¡dk

o

w

e

S

Zadania

(2)

α < β

γ · α < γ · β

α < β

α ≤ β

γ · α ≤ γ · β α · γ ≤ β · γ

je»eli

,

to

.

Czy

pra

wd¡

jest,

»e

je»eli

,

to

,

to

i

.

α · γ < β · γ?

8.212

W

yk

a»,

»e

suma,

ró»ni a,

ilo

zyn,

iloraz

i

reszta

z

dzielenia

li zb

8.162

α β

γ

Nie

h

,

i

b

d¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi.

W

yk

a»,

»e

je»eli

naturaln

y

h

to

li zb

y

naturalne.

α ≤ β

γ + α ≤ γ + β α + γ ≤ β + γ

,

to

i

.

8.222

W

yk

a»,

»e:

8.172

α < ω[i] i > 0

W

yk

a»,

»e

je±li

(

),

to

istniej¡

takie

li zb

y

natu-

n

(a) dodawanie i mno»enie li zb porz¡dkowy h jest ª¡ zne;

i−1

ni−2

n0

α = ω[i−1] · ni−1 + ω[i−2] · ni−2 + . .. +

ralne

,

,

.

.

.

,

,

»e

ω[0] · n

(b) dodawanie i mno»enie li zb naturalny h jest przemienne.

0 .

8.182

α 6= 1

β > 0

8.233

(xn)n<ω

xn ∈ xn−1

W

yk

a»,

»e

nie

istnieje

taki

i¡

g

,

»e

dla

Ustal,

zy

istniej¡

takie

li zb

y

p

orz¡dk

o

w

e

i

,

»e:

(a) β · α = β

n > 0

k

a»dego

.

;

(b) α · β = β

8

.

.243

u

v

W

yk

a»,

»e

dla

k

a»dego

zbioru

istnieje

taki

zbiór

prze

ho

dni

,

8.192

α ≥ ω

u ∈ v

»e

.

W

yk

a»,

»e

je±li

jest

li zb¡

p

orz¡dk

o

w

¡,

to

istnieje

tak

a

n

β

α = β + n

li zba

naturalna

i

grani zna

li zba

p

orz¡dk

o

w

a

,

»e

.

8.253

α 6= 0 β

Nie

h

i

b

d¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi.

W

yk

a»,

»e

istnieje

8.202

α β

γ

(γ, δ)

β = α · γ + δ

δ < α

Nie

h

,

i

b

d¡

li zbami

p

orz¡dk

o

wymi.

W

yk

a»,

»e

je»eli

dokªadnie

jedna

tak

a

para

li zb

,

»e

i

.

8

8

Ÿ

.

Li zb

y

p

orz¡dk

o

w

e

T