Elektrotechnika podstawowa

57

ROZDZIAŁ 4

R o z w i ą z y w a n i e o b w o d ó w

p r ą d u s t a ł e g o

I

Ω

Ω

Ω

1 10

I 2

1

10 2

10 I 4

I 3

U

U

140

2

V

1

24 Ω

180 V

U 3

U 4

4,6 A

1

2

Przez rozwią zanie obwodu rozumie się zwykle wyznaczenie wartości prądów bądź napięć gałęziowych, gdy znane są wartości parametrów elementów pasywnych i aktywnych. Czynnikiem wymu-szają cym działanie układu są wtedy napięcia i prądy źródłowe (parametry idealnych elementów aktywnych), zaś odpowiedzią układu na te wymuszenie – prądy i napięcia gałęziowe.

Możliwe jest też inne postawienie zadania: wymuszenie to prąd lub napięcie jednej z gałęzi, zaś odpowiedź – prądy lub napięcia pozostałych gałęzi albo parametry wybranej gałęzi (również jej prąd lub napięcie źródłowe), przy znanych wartościach pozostałych parametrów obwodu. W tym wypadku problemy mają charakter szczególny i na ogół są łatwiejsze do rozwikłania.

Rozwiązywanie obwodów nierozgałę zionych prądu stałego nie stwarza poważniejszych trudności.

Do opisania struktury liniowych obwodów rozgałę zionych służą współczynniki (macierze) incydencji. Dzięki nim uzyskuje się ogólne, macierzowe postaci równań obwodów. Z równań Kirchhoffa wynikają bezpośrednio równania równowagi (względem prądów albo względem napięć gałęziowych). Posługując się pojęciem prądów oczkowych otrzymuje się równanie oczkowe obwodu, zaś dochodząc do zależności względem potencjałów węzłowych obwodu – jego równanie wę złowe.

Z liniowością obwodu wiąże się możliwość stosowania zasady superpozycji.

Przy wyznaczaniu prądu (napięcia) jednej, wybranej gałęzi można skorzystać z twierdzenia Theve-nina ( twierdzenia Nortona).

Aby wyznaczyć wartości prądów (napięć) przyrostowych przy zmianach rezystancji (konduktancji) jednej gałęzi, korzysta się z twierdzenia o kompensacji.

58

Elektrotechnika podstawowa

Oznaczenia wielkości występujących w rozdziale 4

E

napięcie źródłowe

Iź r’

wektor zastępczych źródłowych prą-

E

wektor źródłowych napięć gałęziowych

dów gałęziowych

E’

wektor zastępczych źródłowych napięć

Iź r.h

wektor prądów źródłowych pseudoga-

gałęziowych

łęzi

Eo

wektor źródłowych napięć oczkowych

Iź r.c

„całkowity” wektor prądów źródło-

E

wych

o’

wektor zastępczych źródłowych napięć

oczkowych

Iź r.c’ wektor zastępczych źródłowych prą-

g

liczba gałęzi w obwodzie

dów gałęzi i pseudogałęzi

m

liczba niezależnych węzłów obwodu

G

konduktancja

(rząd grafu)

Gjj

konduktancja wejściowa j-tej gałęzi

n

liczba niezależnych oczek obwodu

Gjk

konduktancja międzygałęziowa gałęzi

(zerowość grafu)

j-tej i gałęzi k-tej

Pgen moc „generatorowa”

Gw

konduktancja wewnętrzna źródła

P

∆

odb

moc „odbiornikowa”

Gk przyrost konduktancji k-tej gałęzi

R

rezystancja (opór elektryczny)

G

diagonalna macierz konduktancji gałę-

Rjj

rezystancja wejściowa j-tej gałęzi

ziowych

Rjk

rezystancja międzygałęziowa j-tej ga-

Gi

macierz konduktancji gałęziowych w

łęzi i k-tej gałęzi lub pseudogałęzi

węzłach

Rw

rezystancja wewnętrzna źródła

Gw

macierz konduktancji węzłowych (wła-

∆ Rk przyrost rezystancji k-tej gałęzi

snych i wzajemnych)

R

diagonalna macierz rezystancji gałę-

h

liczba pseudogałęzi w obwodzie

ziowych

I

prąd

Rl

macierz rezystancji gałęziowych w

Igen

prąd „generatorowy”

oczkach

Iodb

prąd „odbiornikowy”

Ro

macierz rezystancji oczkowych (wła-

Iwej

prąd wejściowy gałęzi (pseudogałęzi)

snych i wzajemnych)

Iz

prąd zwarcia, tj. prąd między zwartymi

U

napięcie

zaciskami

Ugen napięcie „generatorowe”

Iź r

prąd źródłowy

U

∆

odb

napięcie „odbiornikowe”

Ik

przyrost prądu k-tej gałęzi

U 0

napięcie w stanie jałowym, tj. napięcie

I

wektor prądów gałęziowych

na rozwartych zaciskach

I’

wektor zastępczych prądów gałęzio-

∆ Uk przyrost napięcia na k-tej gałęzi

wych

U

wektor napięć gałęziowych

Io

wektor prądów oczkowych

V

potencjał

Iw

wektor wydajności źródeł prądowych

V

wektor potencjałów węzłowych

do węzłów

w

liczba węzłów w obwodzie

Iw’

wektor zastępczych wydajności źródeł

δ

do węzłów

lk

współczynnik incydencji k-tej gałęzi i

I

l-tego oczka

wej

wektor prądów wejściowych gałęzi

δ

macierz incydencji gałęzi i oczek

Iwej.c „całkowity” wektor prądów wejścio-

λ ik

współczynnik incydencji k-tej gałęzi

wych

(lub pseudogałęzi) i i-tego węzła

Iwej.h wektor prądów wejściowych pseudoga-

λ

macierz incydencji gałęzi i węzłów

łęzi

λ

I

h

macierz incydencji pseudogałęzi i wę-

w.h

wektor wydajności pseudogałęzi do

w

złów

ęzłów

λ

I

c

„całkowita” macierz incydencji wę-

ź r

wektor prądów źródłowych gałęzi

złów

Literatura do rozdziału 4

[1], [2], [4], [6]

4. Rozwią zywanie obwodów prą du stałego

59

Wykład VII. ANALIZA OBWODÓW NIEROZGAŁĘZIONYCH PRĄDU STAŁEGO.

ELEMENTY TOPOLOGII OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH

Obwód liniowy nierozgałęziony, bez źródeł prądowych

Jeśli obwód jest liniowy i nie ma w nim rzeczywistych źródeł prądowych, to sumuje się napięcia źródłowe oraz rezystancje w oczku, a następnie oblicza prąd z prawa Ohma:

n

∑ Ek

k =

I =

1

, (4.1)

n

∑ Rk

k =1

gdzie n - liczba gałęzi szeregowych w oczku (zawierających źródła i rezystancje).

Zwrot prądu odpowiada zwrotowi obiegu oczka, zgodnie z którym sumowane są napięcia źródłowe.

Rezystancje są traktowane w obwodzie jako elementy skupione, mimo to rysuje się czasami poglą-

dowe wykresy rozkładu potencjału w obwodzie jako funkcje rezystancji, rosnącej zgodnie z przyję-

tym zwrotem obiegu oczka.

Przykład. Należy obliczyć wartość prądu i sporządzić wykres rozkładu potencjałów w obwodzie pokazanym na rys. a.

U

a)

2

Za wę zeł odniesienia (potencjał V 0 = 0) obrano punkt 0.

2’

2

Obliczenia:

1

∑

2 Ω

E

V, ∑ R

Ω,

6 V

I

k = 2 + 2 + 4 = 8

k = 24 − 6 − 2 = 16

2 Ω

k

k

U

U 3

16

1

1’

4 Ω

I =

= 2 A;

8

24 V

2 V

V = 24 V, V = 24 − 2 ⋅ 2 = 20 V,

'

1

1

0

3

U = 20 − 0 = 20 V albo U = 24 − 2 ⋅ 2 = 20 V;

1

1

U 4

V 0 = 0

V = 20 − 6 = 14 V, V = 14 − 2 ⋅ 2 = 10 V,

2'

2

b)

U = 20 −10 = 10 V albo U = 6 + 2 ⋅ 2 = 10 V;

V VR

2

2

(1)

20

V = 10 − 4 ⋅ 2 = 2 V;

3

(2)

10

(3)

U = 10 − 2 = 8 V albo U = 4 ⋅ 2 = 8 V.

(0)

R

3

3

Rozkład potencjałów w obwodzie pokazano na rys. b.

0 2 4 6 8 Ω

Obwód liniowy nierozgałęziony, z rzeczywistymi źródłami prądowymi Jeśli obwód jest liniowy i występują w nim rzeczywiste źródła prądowe, to można:

•

zamienić rzeczywiste źródła prądowe na napięciowe i postępować jak poprzednio (pamiętając na końcu o wyznaczeniu prądów w wewnętrznych rezystancjach źródeł prądowych),

•

zastosować zasadę superpozycji w odniesieniu do wszystkich, wziętych razem, źródeł napię-

ciowych oraz każdego, wziętego z osobna, idealnego źródła prądowego (wchodzącego w skład źródła rzeczywistego).

Przykład. Należy obliczyć – na

1

1

a) b)

dwa sposoby - wartości prądu w

Iw

6 V

2 Ω

I

6 V

2 Ω

I

obwodzie pokazanym na rys. a.

2

12 A

Ω

2 Ω

1. Po zamianie ź ródła otrzymuje

4 Ω

24 V

4 Ω

się układ (rys. b) znany z poprzed-

2 V

2 V

0

niego przykładu, zatem I = 2 A.

0

60

Wykład VII

Wracając do schematu zadanego (rys. a), wyznacza się wartość prądu w rezystancji źródła prądowego: Iw = 12 – 2 = 10 A .

2. Po zastosowaniu zasady superpozycji

1

8 V

otrzymuje się dwa obwody (rys. c’ i c’’).

c’) c’’)

1

Oblicza się składniki prądów w tych

I ’ w

I ’

I ’’

I ’’ w

obwodach:

12 A

6

2

2 Ω

6 Ω

I '

A , I ' =

⋅12 = 3 A ;

2 Ω

6 Ω

w =

⋅12 = 9

8

8

0

8

0

I ''

A , I '' = −1A ;

w =

= 1

8

a następnie dodaje, otrzymując prądy w obwodzie zadanym (rys. a):

I

A , I = 3 −1 = 2 A .

w = 9 + 1 = 10

Obwód z rezystorem nieliniowym - rozwiązanie analityczne

Jeśli jeden z rezystorów występujących w obwodzie nierozgałęzionym jest nieliniowy i dana jest jego charakterystyka w postaci zależności analitycznej, to otrzymuje się nieliniowe równanie obwodu.

Przykład. Należy obliczyć wartość prądu w obwodzie pokazanym na rys. a. Charakterystyka sta-tyczna U( I) rezystora nieliniowego jest monotoniczna (rys. b) i wyraża się wzorem liczbowym: a) b) c)

2 2

I I ≥

I

U

U

A

=

0



,

A

− 2 2

I I < 0

6 V

2 Ω

I

[ U] = 1 V, [ I] = 1 A.

2 Ω

I

4 Ω

U

Po zgrupowaniu elemen-

( R

24 V

U

s)

( Rs)

16 V

tów tego samego rodza-

2 V

ju, otrzymuje się obwód

B

B

pokazany na rys. c.

Przy zgodnych zwrotach E i I zachodzi przypadek: I > 0 , U = 2⋅ I 2 . Równanie liczbowe obwodu ma postać: 4 I + 2 2

I = 16 , inaczej: 2

I + 2 I − 8 = 0 .

Rozwiązaniem tego równania, spełniającym warunek I > 0, jest I = 2 A.

Uwaga. Postać równania obwodu nieliniowego jest zwykle bardziej skomplikowana. Rozwiązanie analityczne może stwarzać dużą trudność albo być w ogóle niosiągalne, często więc nie podejmuje się w ogóle takiej próby, a stosuje od razu metodę graficzną lub numeryczną.

Obwód z rezystorem nieliniowym - rozwiązanie graficzne

Jeśli jeden z rezystorów występujących w obwodzie nierozgałęzionym jest nieliniowy i dana jest jego charakterystyka w postaci wykresu, to stosuje się metodę graficzną, nazywaną metodą przecię -

cia charakterystyk. Polega ona na tym, że pozostała część obwodu – aktywna, liniowa – zostaje przedstawiona jako zastępcze źródło napięciowe lub prądowe i charakterystykę tego źródła (charakterystykę zewnętrzną źródła, odpowiadająca jego równaniu) „wrysowuje” się do układu współrzędnych, w którym przedstawiona jest charakterystyka rezystancji nieliniowej.

Obwód składa się zatem z dwóch gałęzi: ź ródłowej (liniowej) i odbiorczej (nieliniowej lub w szczególnym przypadku – liniowej).

Dla odróżnienia zapisu zależności (charakterystyk): I( U) oraz U( I), odnoszących się do gałęzi źró-

dłowej i do gałęzi odbiorczej, posłużono się symbolami, odpowiednio: Igen( U) i Iodb( U) oraz Ugen( I) i Uodb( I).

4. Rozwią zywanie obwodów prą du stałego

61

a)

Jeśli dana jest charakterystyka gałęzi odbiorczej

I

Uodb( I), to sporządzony wykres zastępczej gałęzi

U

źródłowej odpowiada równaniu:

E

U

Ugen

odb

U

( I )

R

= E − R ⋅ I , (4.2a)

w

gen

w

U

U

gen Uodb

( R

gdzie: E , R

=

w oraz I

E R – parametry za-

s)

z

w

E

I

stępczego źródła napięciowego.

0

I Iz

Przecięcie wykresów funkcji U

odb( I) i Ugen( I)

wyznacza rozwiązanie U = U

gen = Uodb (rys. a).

b)

Jeśli dana jest charakterystyka gałęzi odbiorczej

I

Iodb( U), to sporządzony wykres zastępczej gałęzi

gen Iodb

I

źródłowej odpowiada równaniu:

Iź r

Igen

I

U

( ) = I

− G ⋅ U , (4.2b)

I

gen

ź r

w

ź r

Iodb

Gw U

gdzie: I

– parametry

0 =

ź r , Gw oraz U

I

G

ź r

w

( Rs)

I

U

zastępczego źródła prądowego.

0

U U

Przecięcie wykresów funkcji I

0

odb( U) i Igen( U)

wyznacza rozwiązanie I = Igen = Iodb (rys. b).

Uwaga. Zarówno gałąź źródłowa, jak i odbiorcza, może być gałęzią zastępczą układu o większej liczbie elementów: gałąź ź ródłowa – rezystorów liniowych i źródeł, gałąź odbiorcza – rezystorów liniowych oraz nieliniowych, i - ewentualnie - źródeł. Gałąź odbiorcza może więc być zarówno gałę-

zią pasywną, jak i aktywną (odbiornikiem aktywnym). Aby można było zastosować metodę przecięcia charakterystyk, trzeba znać równanie gałęzi źródłowej i wykres I( U) lub U( I) gałęzi odbiorczej.

Przykład. Zostanie rozpatrzony obwód nieliniowy, który był poprzednio rozwiązany analitycznie.

Obwód pokazany obok otrzymano, jak

V U

poprzednio, po zgrupowaniu elementów

I

16

tego samego rodzaju, występujących w

Ugen

U

gałęzi liniowej (źródłowej). Wzór licz-

12

odb

4 Ω

bowy tej gałęzi ma postać:

U

8

( Rs)

U

16 V

4

gen( I) = 16 – 4 I ;

I

napięcie w stanie jałowym wynosi więc

0

16 V, a pr

A

ąd zwarcia 4 A.

0

1

2

3

4

Charakterystyka gałęzi nieliniowej jest dana w postaci wykresu Uodb( I). Razem z nim przedstawiono wykres charakterystyki Ugen( I). Punkt przecięcia obu wykresów wyznacza rozwiązanie I = 2 A.

Obwód z rezystorem liniowym zadanym parametrycznie - rozwiązanie graficzne

Metoda przecięcia charakterystyk ma zastosowanie, w szczególności, do obwodu liniowego.

Przykład. Liniową gałąź źródłową (z poprzedniego przykładu)

A

I

połączono ze zmienną rezystancją R. Na rysunku pokazano

4

schemat obwodu i wyjaśniono sposób wykreślnego sporządze-

nia zależności I( R).

3

V U

I

20

R= 24Ω 12Ω 8Ω

2

6Ω

15

4Ω

⇒

4 Ω

10

3Ω

U

R

2Ω

1

16 V

5

1Ω

I

R

0Ω

0

0

0

1

2

3

4

A

0

6

12

18

24

Ω

62

Wykład VII

Wstęp topologiczny do analizy rozgałęzionych obwodów elektrycznych

W ogólnej teorii sieci obwodowi elektrycznemu zostaje przyporządkowany graf strukturalny (inaczej: nieskierowany, niezorientowany), a po zaznaczeniu na nim zwrotów, odpowiadających przyję-

tym zwrotom prądu w gałęziach obwodu – graf skierowany (inaczej: zorientowany). Graf strukturalny pozwala określić cechy geometryczne obwodu, graf skierowany umożliwia zapisanie ogólnych zależności (równań obwodu), służących do wyznaczenia wartości prądów i napięć gałęziowych. Węzłom obwodu elektrycznego odpowiadają wę zły (inaczej: wierzchołki) grafu, gałęziom obwodu – gałę zie (inaczej: krawę dzie) grafu. Wszystkie gałęzie są przedstawiane przy tym w jed-nakowej, tzw. normalnej (uogólnionej) postaci.

Węzły grafu oznacza się kropkami (zaczernionymi kółecz-

1 1 2

kami). Gałęzie grafu są przedstawiane jako odcinki linii z

(1, 2 – węzły gałęzi

węzłami na jego końcach. Węzły te noszą miano wę złów ga-

łę zi. Dla rozróżnienia węzłów gałęzi skierowanej określa się

1

1 2

je jako jej począ tek i koniec. Z wrot gałęzi skierowanej – od (1 – początek gałęzi 1,

jej początku do jej końca – zaznacza się na rysunku strzałką

2 – koniec gałęzi 1)

otwartą (rys. obok).

Bez obu węzłów gałąź nie istnieje; jest zawsze z nimi związana. Taką relację związania przyjęto nazywać incydencją. Każda gałąź jest zatem incydentna ze swymi węzłami.

Węzeł jest tworem autonomicznym, mogącym występować bez gałęzi (poza nią). Taki węzeł nazywa się izolowanym. Węzeł izolowany nie jest incydentny z żadną gałęzią.

Gałąź incydentna z jednym węzłem, tzn. taka, której wę-

pętla

gałęzie równoległe

zły są złączone, nazywa się pę tlą. Gałęzie incydentne z tą

samą parą węzłów, tzn. takie, których węzły są złączone

parami, nazywają się gałę ziami równoległymi. Dwie nie-

równoległe gałęzie incydentne ze wspólnym węzłem, tzn.

gałęzie przyległe

takie, które mają złączone ze sobą po jednym węźle, na-

zywają się gałę ziami przyległymi (rys. obok).

Graf bez pętli własnych i gałęzi równoległych nazywa się grafem prostym.

Liczbę gałęzi i węzłów grafu kojarzy się z liczbą niewiadomych prądów lub napięć gałęziowych. Idealne źródła prądowe nie tworzą same gałęzi w grafie obwodu (prądy źródłowe są z założenia znane).

„Samotne” idealne źródła prądowe nie są za-

tem gał

I

ęziami, ale traktuje się jako elementy

1

1

2

1

1

autonomiczne. Takie

2

źródła będą nazywane

I 2

I 5

pseudogałę ziami i zaznaczane na grafie obwo-

I 4

4

du linią przerywaną. Zorientowanie pseudoga-

I 3

3

5

3

2

3

łęzi będzie przyjmowane zgodnie ze zwrotem

6

7

I

jej prądu źródłowego. Przykładowy obwód

6

4 5

prądu stałego i jego graf skierowany pokazano

4 5

obok.

Identyczność grafów nie zależy od sposobu rysowania gałęzi i rozmieszczenia węzłów, tylko od incydencji gałęzi z węzłami, czego ilustracją jest poniższy przykład.

1

2

2

1

2

2

6

1

3

3

3

1

2

2

1

4

5

3

4

5

1

3

≡

≡

3

4

4

4

5

6

6

4

4. Rozwią zywanie obwodów prą du stałego

63

Graf, który można narysować w taki sposób, że ga-

graf planarny graf nieplanarny

łęzie nie mają żadnych punktów wspólnych poza

węzłami, nazywa się planarnym (inaczej: płaskim),

w przeciwnym zaś wypadku – nieplanarnym (ina-

czej: przestrzennym). Obok przedstawiono przykła-

dy.

Droga jest wyznaczona przez ciąg gałęzi przyległych, nie występujących więcej niż jeden raz (wę-

zły mogą się powtarzać).

Je

droga otwarta

droga zamkni

śli na krańcach drogi są różne

ęta

– od A do B

– od A do A

węzły, to taka droga nazywa się

drogą otwartą, jeśli natomiast

A

B

A

jest ten sam węzeł, to nazywa

się zamknię tą (rys. obok).

Jeśli między wszystkimi węzłami grafu istnieje droga, to taki graf oraz obwód elektryczny, który on obrazuje, noszą nazwy jednospójnych (inaczej: jednoczęś ciowych), jeśli natomiast nie ma takiej drogi, to ogólnie nazywa się je niespójnymi, a w szczególności, jeśli są spójne w swych częściach –

niejednospójnymi. Graf spójny, w którym istnieje taka gałąź, że po jej usunięciu staje się on niespójnym, nazywa się słabo spójnym. Poniżej przedstawiono przykłady.

graf jednospójny graf niejednospójny graf słabo spójny Obwody elektryczne noszą takie same nazwy, jak grafy obrazujące ich strukturę. Z reguły mamy do czynienia z obwodami planarnymi, jednospójnymi, bez pę tli własnych.

Ś cież ką nazywa się taką drogę, na której

ścieżka oczko

żaden z węzłów nie występuje więcej niż

jeden raz; oczkiem nazywa się ścieżkę

będącą drogą zamkniętą (rys. obok).

Drzewo – wg definicji – jest to graf spójny, w którym nie występują oczka. Na ogół chodzi o drzewo, które jest podgrafem grafu spójnego i zawiera wszystkie jego węzły (podzbiór gałęzi zawierających wszystkie węzły, będący grafem spójnym bez oczek). Takie drzewo nazywa się drzewem grafu lub d endrytem (inaczej: najwię kszym drzewem, drzewem rozpierają cym). Graf spójny ma zwykle wiele dendrytów.

W wypadku grafu niejednospójnego mówi się o drzewach jego części spójnych i zbiorze tworzo-nym przez te drzewa: lesie dendrytów.

Gałęzie drzewa nazywane są konarami. Gałąź grafu, której dodanie do drzewa tworzy dokładnie jedno oczko, nazywa się c ię ciwą (inaczej: łą cznikiem, struną, gałę zią dopełniają cą, gałę zią zamy-kają cą).

Kilka drzew przykładowego grafu, z

konarami narysowanymi grubymi linia-

mi i cięciwami narysowanymi cienkimi

liniami, pokazano na rysunku obok.

Liczba gałęzi dendrytu (lasu dendrytów) określa rzą d grafu. Rząd grafu obwodu elektrycznego odpowiada liczbie m jego wę złów niezależ nych. Rząd grafu zerowego (bez gałęzi) jest równy zeru, ponieważ z węzłem izolowanym nie są związane zmienne gałęziowe. Rząd każdego grafu spójnego o w węzłach jest zatem równy m = w – 1, a liczba ta jest równa liczbie gałęzi dendrytu grafu spójnego. Rząd grafu niejednospójnego, złożonego z p części spójnych, jest równy m = w – p.

64

Wykład VII

Liczba cięciw dendrytu (lasu dendrytów) określa zerowość grafu. Zerowość grafu obwodu elektrycznego odpowiada liczbie n jego oczek niezależ nych. Liczba cięciw dendrytu o m gałęziach – w grafie spójnym o g gałęziach – jest równa n = g – m = g – w + 1. Liczba cięciw dendrytu o m gałę-

ziach – w grafie niejednospójnym o g gałęziach, złożonym z p części spójnych – jest równa n = g – m = g - w + p.

Tworzenie oczek niezależnych dobrze jest wiązać z wybranym dendrytem. Jedna z gałęzi w każ-

dym oczku jest wtedy cięciwą, zaś pozostałe – konarami. Oczka takie nazywają się podstawowymi.

Obok przedstawiono przykłady z różnymi dendrytami

tego samego grafu (konary – linie grube, cięciwy –

linie cienkie, oczka podstawowe – linie kropkowane).

Pseudogałąź (linia przerywana) nie tworzy oczka!

Współczynniki incydencji

Z węzłami obwodu elektrycznego związane są prą dowe równania równowagi, wynikające z I prawa Kirchhoffa dla prądów gałęzi zbiegających się w węzłach niezależnych. W zapisie ogólnym tych równań występują współczynniki incydencji gałę zi skierowanej (lub pseudogałę zi) i wę zła, których wartości – określone zgodnie z zasadą obowiązującą w teorii grafów – wynoszą:

+

1 jeśl

i i - ty węze łjest p

oczątkie

m k - te j g

ałęzi (

pseudoga ę

ł zi),



λ

(4.3a)

ik = 

0 jeśl

i i - ty węzeł n

i

e jest i

ncydentny

z

k - tą g

ałęzią (

pseudoga ę

ł zią),

− 1 jeśl i i - ty węze łjest k ońce

m k - te j g

ałęzi (

pseudoga ę

ł zi),

gdzie: i – numer węzła, k – numer gałęzi lub pseudogałęzi, λ ik – współczynnik incydencji k-tej gałęzi (lub pseudogałęzi) i i-tego węzła.

Obok przedstawiono pogl

i k

k i

ądowy rysunek. Znak λ ik

jest przeciwny do znaku, z jakim w tradycyjnym

λ

λ

ik = 1

ik = –1

zapisie I prawa Kirchhoffa dla sumy prądów w i-tym

i I

I

węźle występuje prąd k-tej gałęzi (tradycyjnie pisze

k > 0

k > 0 i

się prądy dopływające ze znakiem „plus”, zaś od-

(– Ik ) = (–λ ik )⋅ Ik

(+ Ik ) = (–λ ik )⋅ Ik

pływające – ze znakiem „minus”).

Z oczkami obwodu elektrycznego związane są napię ciowe równania równowagi, wynikające z II prawa Kirchhoffa dla napięć gałęzi tworzących oczka niezależne. W zapisie ogólnym tych rów-nań występują współczynniki incydencji gałę zi skierowanej i oczka, których wartości – określone zgodnie z zasadą obowiązującą w teorii grafów – wynoszą:

+

1 jeśl

i k - ta g

ał

ąź jest i

ncydentna

z

l - ty

m o

czkiem,

 a z wrot je jjest z godny z e z wrotem o biegu o czka,



δ

(4.3b)

lk = 

0 jeśl

i k - ta g

ałąź n

i

e jest i

ncydentna

z

l - ty

m o

czkiem,

−



1 jeśl

i k - ta g

ał

ąź jest i

ncydentna

z

l - ty

m o

czkiem,

 a z

wrot je jjest p

rzeciwny d

o z

wrotu o

biegu o

czka.

gdzie: k – numer gałęzi, l – numer oczka, δ lk – współczynnik incydencji k-tej gałęzi i l-tego oczka.

Obok przedstawiono poglądowy rysunek. Obiegowi

k

k

zgodnemu ze zwrotem prądu Ik odpowiada napięcie

δ

δ

o znaku przeciwnym do napięcia „odbiornikowego”

lk = 1

lk = –1

l

l

Uk , a obiegowi ze zwrotem przeciwnym – napięcie

o znaku zgodnym (przy sumowaniu napięć gałęzio-

Ik > 0 Rk

Ik > 0 Rk

wych zgodnie z ich zwrotem, zwrot obiegu powinien

być przeciwny do zwrotu δ lk ).

(– Uk ) = (–δ lk )⋅ Rk Ik

(+ Uk ) = (–δ lk )⋅ Rk Ik