Wst ¾

ep do analizy matematycznej, Matematyka I i II 1

Rachunek zdań i rachunek zbiorów

1. Sprawdzić, czy nast ¾

epuj ¾

ace schematy zdań s ¾

a tautologiami:

(a) [(p ^ q) ) p] _ q;

(b) (p ^ q) ) (p _ q) ;

(c) (p ) q) , [(p ^ q) , p] ;

(d) [p _ (q ^ r)] , [(p _ q) ^ (p ^ r)] ; (e) [(p ) q) ^ (q ) p)] , (p , q) ;

(f) [[(p _ r) , q] ^ r] ) ( p _ q) ;

(g) [(p ) q) ^ p] ) q:

2. Wyznaczyć wykres funkcji zdaniowej ', której zakresem zmienności jest zbiór X:

(a) ' (x)

sin

x = 1 ;

X = N;

2

x 3

(b) ' (x)

1

> 4 ;

X = Z;

2

(c) ' (x)

x2

x

2 < 0 ;

X = R;

(d) ' (x)

(jx

1j

2 ) x > 0) ;

X = R;

(e) ' (x)

(cos x < 0 _ sin x > 0) ;

X = R;

p

(f) ' (x)

x2 + 2x + 1 = x + 1 , x > 0 ;

X = R;

(g) ' (x)

31 x > 1 ^ x2

1 ;

X = R:

3. Wyznaczyć A [ B; A \ B; A

B; B

A; A0; B0, gdzie

(a) A = [ 3; 2] ;

B = ( 1; 2) ;

(b) A = fx 2 R : jxj

1g;

B = ( 2; 1];

(c) A = [0; 1);

B = fx 2 R : x2

4g;

(d) A = fx 2 R : x2 + x

6 > 0g;

B = f 3; 2; 4g:

4. Wyznaczyć i przedstawić gra…cznie zbiór (a) f 1; 2g

f 1; 3; 4g;

(b) (0; 1)

f1; 3g;

(c) Z

[ 1; 2);

(d) ( 2; 1)

[ 1; 2];

1

(e) f(x; y) 2 R2 : y > 2x ^ x 1g;

(f) f(x; y) 2 R2 : y

x2 ^ y

4g;

(g) f(x; y) 2 R2 : jxj < 2 ^ x < y < x + 1g; (h) f(x; y) 2 R2 : x2 + y2

2y

0g;

(i) f(x; y) 2 R2 : y

jx + 1j ^ y < 1

x2g;

(j) f(x; y) 2 R2 : x2 + y2 < 2x ^ x

y2g;

(k) f(x; y) 2 R2 : xy < 1 ) y2 < xg: 2

2

Funkcja wymierna, wartość bezwzgl ¾

edna

1. Rozwi ¾

azać równania i nierówności:

(a) x4

x2 < 0;

(b) x3

x2

4x + 4 > 0;

(c) x3 + x2

6x

0;

(d) x+2

0;

x

(e) 2x 1

1;

2 x

(f) 2x2+5x 3 < 0;

x2+2x 3

(g) x3+2x2 x 2 > 0;

x 1

(h) 1 + 1

<

2

;

x 2

3 x

(i)

2 <

3

< 3:

x2

1

2. Rozwi ¾

azać równania i nierówności:

(a) j2

xj

4;

(b) jx

2j + jxj = 3;

(c) x2

1 < 2;

(d) x2

4x

4;

p

(e)

x2 + x

1 = x2;

(f)

1

3;

jx 2j

(g) jx + 3j

2 j1

xj

2;

p

(h)

x2 + 6x + 9 > 2x

2;

(i) x2 + 2x

x:

3. Naszkicować wykres funkcji:

(a) f (x) = jx

2j + 1;

(b) f (x) = jj1

xj

3j ;

p

(c) f (x) =

x2 + 4x + 4

3;

(d) f (x) = x2

2x ;

(e) f (x) = x2

2 jxj + 1:

4. Wyznaczyć dziedzin ¾

e funkcji:

p

(a) f (x) =

12 + x

x2;

q

(b) f (x) =

x 1 ;

2 3x p

(c) f (x) =

x

+

x2

x;

x2

1

p

(d) f (x) =

jx

4j

2 +

1

p

:

4x x2

3

3

Funkcja wyk÷

adnicza i logarytmiczna

1. Rozwi ¾

azać równania i nierówności:

x2

(a)

1

8 x;

4

(b) 9x + 3x

2 > 0;

p 2x 1

(c) 5x 3 =

5

;

x+1

x+1

x

(d)

2

3

1

= 1 ;

3

4

8

32

(e) 3x2 x 4

1 ;

9

(f) 32x+1 + 5 3x

2 > 0;

(g) log4 (x + 1)

log4 (x + 3) = 1;

(h) log22 x

log2 x = 6;

(i)

1

+

1

1;

log x

1 log x

3

3

(j) log1=2 (x

2)

log1=2 (x + 1)

1;

(k) log21=3 x

1

0:

2. Naszkicować wykres funkcji:

(a) f (x) = 2 jxj

1;

(b) f (x) = 2jx 1j 2;

(c) f (x) =

1

3 ;

3x

(d) f (x) = log2 (x + 2)

1;

(e) f (x) = j2

log3 (x

1)j ;

(f) f (x) = log 1 jx

2j :

2

3. Wyznaczyć dziedzin ¾

e funkcji:

q

x

x

(a) f (x) =

1

+ 1

2;

4

2

p

(b) f (x) =

jx+1j 1

;

log

(4x

2x

6)

1=2

p

(c) f (x) =

4x

2x+1 ;

jx+4j 1

p

(d) f (x) =

1

+

x2 + 2x:

log (x2

4)

3

4

4

Funkcje trygonometryczne i cyklometryczne 1. Obliczyć:

(a) sin

17

cos 2 + 7

+ tg 23

;

6

3

4

(b) ctg 3

+ sin 11

2 cos 29

;

4

3

4

(c) arctg ctg 11

arcsin 1 + arccos sin 7

;

4

2

6

p

(d) arcsin

3

+ arccos cos 11

:

2

6

2. Rozwi ¾

azać równania i nierówności:

(a) cos2 x > 1 ;

2

p

(b) sin x =

3 ;

2

2

(c) cos2 x

cos x

0;

(d) jctg xj > 1;

(e) 6 cos2 x

5 sin x

2 > 0;

(f) arcsin x2

2x

1 <

;

6

(g) arctg(2x

1) =

;

4

(h) arcctg x2

x

1

3

;

4

3. Wyznaczyć dziedzin ¾

e, zbiór wartości, funkcj ¾

e odwrotn ¾

a i naszkicować wykresy

funkcji:

(a) f (x) = 2 arccos (2x

1) + ;

(b) f (x) = arcsin (1

2x)

;

2

(c) f (x) = 2 arctg(x + 1)

;

(d) f (x) =

arcctg (x

3) :

2

5

5

Liczby zespolone

1. Wykonać dzia÷

ania:

p

p

a) 2 + 3i

(1

i)2 ;

b) 1

i 2

2 + i ;

c) 3+i ;

d) z w; z , gdzie z = 2

i, w = 1 + 2i.

1 2i

w

2. Znaleźć liczby zespolone z spe÷

niaj ¾

ace warunki:

a) 2z

i = 3 + 2i;

b) 3z

(1

2i) = z+i ;

1 i

3. Znaleźć liczby rzeczywiste a i b takie, by zachodzi÷

a równość

a (3 + i)

b (2

3i) = 4

2i.

4. Znaleźć postać trygonometryczn ¾

a nast ¾

epuj ¾

acych liczb:

p

p

a)

7i;

b) 5 + 5i;

c)

3 + 1 i;

d)

1 + i 3;

2

2

p

p

p

e)

3 3

3i,

f)

2 + i 2:

5. Obliczyć:

p 7

p

p

19

a) (1

i)10 ;

b) 1 + i 3 ;

c)

2 + i 2

:

2

2

6. Narysować na p÷

aszczyźnie zespolonej zbiory liczb spe÷

niaj ¾

acych warunki:

(a) jz

2ij = 1;

(b) 1

jz

1 + 3ij < 3;

(c) jz

2j > 2^ Re z

1;

(d) jzj > 1^ < Arg z

3

;

3

4

(e) Re z

(Im z)2 ^ jzj < 1:

7. Obliczyć:

p

p

p

p

a) 3

8i;

b) 6 1;

c) 4

16

d)

8

6i:

8. Rozwi ¾

azać równanie:

a) z2 + 2iz + 3 = 0; b) z2 + (2 + i) z + i = 0; c) iz3 + (1 + 2i) z2 + z = 0: 6

6

Macierze i wyznaczniki

1. Obliczyć iloczyny A (BC) i (AB) C, gdzie 2

3

2

3

1

3

1

1

0

2

1

A = 4 0

1

2 5 ; B = 4 1

2 5 ; C =

:

1

1

0

1

1

2

3

2. Obliczyć AB; BA; det A; det B; det (AB) i det (BA), gdzie 2

3

2

3

2

1

0

1

2

1

A = 4 3

2

1 5 ;

B = 4 3

2

0 5 :

1

3

1

1

0

0

3. Obliczyć A 1BA, ABA 1, det B; det A 1BA , gdzie 2

3

2

3

2

1

1

2

1

0

A = 4 0

1

3 5 ;

B = 4 3

1

0 5 :

0

0

1

1

2

2

4. Rozwi ¾

azać równanie:

x

1

2

x

0

1

x

1

a)

1

x

1

= 0;

b)

1

0

x

=

:

1

x

1

1

x + 1

1

x

1

5. Obliczyć wyznaczniki:

2

1

0

1

1

1

2

1

2

0

1

2

3

1

2

1

2

3

0

1

2

1

3

0

1

2

a)

;

b)

;

c)

3

1

1

1

2

:

1

1

1

2

2

3

0

1

2

1

0

3

1

0

1

2

1

1

2

3

0

3

2

1

3

1

6. Wyznaczyć macierz odwrotn ¾

a:

2

3 1

2

3 1

1

1

0

0

2

1

0

2

3

a)

;

b) 4

2

2

0 5

;

c) 4

1

0

2 5

:

1

2

3

3

3

1

1

1

7. Stosuj ¾

ac rachunek macierzowy rozwi ¾

azać równania:

1

2

1

3

0

(a)

X=

;

2

3

1

2

1

2

3

0

1

2

T

2

2

3

(b) 4 0

0

1 5 X

2X =

;

2

3

1

0

0

0

2

3

2

3

3

3

2

1

0

3

1

2

3

(c) X 4 0

3

2 5 +

= X 4 0

1

0 5 + X:

0

1

2

0

0

3

0

1

0

7

7

Uk÷

ady równań

1. Obliczć rz ¾

ad macierzy:

2

3

2

3

1

3

2

1

2

1

3

3

6

2

3

1

1 7

a) 4

1

2

0

1 5;

b) 6

7

4

2

0

2

2 5;

1

1

3

4

0

2

2

1

2

3

2

3T

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

c) 4 1

1

1

1

1

1 5;

d) 4

1

1

3

1

1 5 :

1

1

1

3

3

1

1

1

3

1

1

2. Korzystaj ¾

ac ze wzoru Cramera rozwi ¾

azać uk÷

ad równań:

8

8

< x + y + z = 2

< x + z = 2

x

2y = 0

a)

;

b)

2x

y + z = 2 ;

c)

x + y = 1 :

2x + 3y = 1

:

:

x + y + 3z = 0

y + z = 5

3. Korzystaj ¾

ac z twierdzenia Kroneckera-Capellego rozwi ¾

azać uk÷

ad równań:

8

>

>

x

y + z = 0

>

8

>

<

x + y

z = 0

< x

y

z + w = 0

x + 2y

z = 0

a)

x + 3y

3z = 0 ;

b)

;

c)

x + y + z

w = 0 ;

>

>

x

y + z = 0

:

>

>

y

z = 0

x + y

z + w = 0

:

x + y + z = 0

8

8

< x + y

z = 2

<

x

2y + z = 1

x

y + z = 1

d)

;

e)

x

y + 2z = 1 ;

f)

2x

y + 2z = 1 ;

2x

y + 2z = 0

:

:

3x + y = 5

5x

3y + 5z = 1

8

>

8

> x + y + z = 1

<

< x + y

z + w = 1

2x

y + z = 2

g)

;

h)

2x

y + z + w = 1 :

>

>

3x + 2z = 3

:

:

x

w = 2

x

y

z = 0

8

4. Korzystaj ¾

ac z metody elimancji rozwi ¾

azać uk÷

ad równań:

8

8

> x + y + z + w = 1

< x

y + 2z = 1

>

< x y z + w = 1

a)

2x

y + z = 0 ;

b)

;

:

>

2x + z + w = 1

x

y

z = 2

>

:

y + z + w = 2

8

< x + y

z + u

w = 0

c)

y + u + 2w = 1 .

:

x + z + w = 1

8

Ci ¾

agi

1. Obliczyć granice ci ¾

agów o wyrazie ogólnym:

(a) an =

(1 n)3

;

1

(2n+2)(n+3)2

2

(b) an = n+1 n2 ;

(0)

3n(n2+2)

(c) an =

(2n 3)3

p

;

(1)

(n+2)( n+1)2

p

(d) a

n+2

n = n

;

(0)

(2 3n)2

p

(e) an =

n3 + n2 + 1

n;

(1)

p

p

(f) an =

2n + 7

2n;

(0)

p

(g) an = n

n2 + n + 1;

1

2

q

p

p

(h) an =

n n

n2

1 ;

1

2

2

p

p

(i) an =

n2 + 3n + 1

n2 + n + 2;

(1)

(j) an = 2n+3n 1 ;

1

3n+1

5

9

(k) an = 32n+1 3n+4 ;

(3)

9n 1+4n

4n

(l) an = 1 + 2

;

e8

n

3n2

(m) an = 1

1

;

e 3

n2+1

2n

(n) an = n 2

;

e 10

n+3

n2

(o) an = ln n2+2

;

(2)

n2

(p) an = ( 1)npn ;

(0)

1 n

(q) an = 1 sin (n + 3) ;

(0)

2n

p

n

(r) a

n+ n

p2n

n =

;

(0)

n

p3+n

p

(s) an = n 2 + 2n + 3n;

(3)

(t) an =

1

p

:

(1) :

n n+1

9

9

Granice funkcji

Obliczyć granice:

1. lim 16 x2 ;

( 8)

x!4 x 4

2. lim x3 8 ;

( 12)

x!2 2 x

3. lim x4 1 ;

(4)

x!1 x 1

4. lim x2 2x 3 ;

( 2)

x!3

6 2x

5. lim x2 3x+2 ;

1

x!2 2x2 x 6

7

p

6. lim

x+2 2 ;

1

x!2

6 3x

12

p

7. lim

x+5 3

p

;

4

x!4 4

12+x

3

8.

lim

2 x x3 ;

(1)

x! 1

x2+1

9.

lim

(1 2x)3 ;

8

x! 1 3x3+x2 1

3

p

p

10. lim

x2 + 3x

1

x2

x + 2 ;

(2)

x!1

p

p

p

11.

lim

2x2 + 4x + 1

2x2

1 ;

2

x! 1

p

p

p

12. lim

x +

x

x ;

1

x!1

2

13. lim sin 3x ;

3

x!0

2x

2

14. lim sin 4x ;

4

x!0 sin 3x

3

15. lim tan x ;

1

x!0 sin 3x

3

16. lim 3x sin 2x ;

( 1)

x!0 sin 3x 4x

17. lim

2x+1

x!1

;

(1)

(1 x)2

5x

18. lim

1 + 2

;

e 10

x!1

x

19. lim 1 + 3x2 2=x2 ;

e6

x!0

20. limx!0 1

x2 1=(1+x) ;

(1)

10

21. lim e 2x cos (3x) ;

(0)

x!1

Wyznaczyć asymptoty funkcji:

1. f (x) =

x3

;

x2

x

2. f (x) = ex=(x2 4)

3. f (x) =

1

;

ex

e

4. f (x) = arctg x2 + e1=(x 1)

1 x2

11

10

Pochodna funkcji

Obliczyć pochodn ¾

a funkcji

1. f (x) = 1 x4

3 x5

3x

4x2

4

10

2. f (x) = 2 + 1

3 + 1

x

x2

4x4

p

p

p

3. f (x) =

x

2 3 x + 3 5 x2

4

px

4. f (x) = 2 tg x

3 ctg x

5. f (x) = ex cos x

6. f (x) = 1 + x2 arctg x

7. f (x) = (3

x) ex ln x

8. f (x) = x 2

x2+1

9. f (x) = ex+1

px+1

10. f (x) = 2x sin x

p

11. f (x) =

ex + 1

4

12. f (x) = x3 + x

1

13. f (x) = e x2+3x 1

14. f (x) = sin x

p1+x2

15. f (x) = arcsin e3x

16. f (x) = 3esin2 x

17. f (x) = arcsin 1x

q

18. f (x) = ln

1+x

1 x

19. f (x) = arctg

x

p

1+

1+x2

20. f (x) = ln (ln (ln x))

Wyznaczyć przedzia÷

y monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji: 1. f (x) = x3

6x2 + 9x

2;

2. f (x) =

x

;

1+x2

3. f (x) = xe 3x;

12

4. f (x) = ln x ;

2 ln x

5. f (x) = ln2 x

4 ln x + 3;

6. f (x) =

x

p

;

ln x 1

p

7. f (x) = 2 4x

x2

arcsin x 2 ;

2

8. f (x) = x ;

ln x

9. f (x) = x

arctan x;

1

10. f (x) = x2e x ;

11. f (x) = ln x :

x2

Wyznaczyć przedzia÷

y wypuk÷

ości, wkl ¾

es÷

ości i punkty przegi ¾

ecia wykresu funkcji:

1. f (x) = x4

6x2

6x

1;

2. f (x) = 2x ;

x2+1

3. f (x) = ln 4 + x2 ;

4. f (x) = ex ;

x+2

5. f (x) =

x

;

2+ln x

6. f (x) = (2

ln x) ln x;

7. f (x) = x

2 arctan x:

Obliczyć granice:

1. lim x sin x

1

;

x!0 x tg x

2

2. lim ex e x

(1) ;

x!0 x sin x

3. lim

ln x

( 1) ;

x!1 (1 x)3

4. lim x arctan x

(0) ;

x!0

x2

5. lim ln cos x

1

;

x!0 ln cos 3x

9

p

6. lim

tg x 1

2 ;

x!

sin x cos x

4

7. lim ln(ln x)

(0) ;

x!1

x

13

8. lim tg x ln x

(0) ;

x!0+

1

9.

lim x2e x

(1) ;

x!0

10. lim ln x ln (x

1)

(0) ;

x!1+

11. lim 1

1

(0) ;

x!0 x

arctan x

12. lim

1

x

( 1) :

x!1 ln x

ln x

Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji:

1. f (x) = x

ln x;

2. f (x) = x ln x ;

1 ln x

1

3. f (x) = xe x ;

4. f (x) = 2x arctg x:

x+1

14

11

Ca÷

ka nieoznaczona i ca÷

ka oznaczona

Obliczyć ca÷

ki:

R

p

3

1.

2x

3x2 +

x dx

x2

x3 + 2 x 2 + C ;

3

R

p

p

2.

1

3

p

+ 2

p

dx

ln x

6 x + 3 3 x2 + C ;

x

x

3 x

R

3.

x2

dx

(x

arctg x + C) ;

x2+1

R

4.

tg 2xdx

tg x

x + C;

+ k < x <

+ k ; k 2 Z

2

2

R (x2 1)3

5.

dx

1 x6

3 x4 + 3 x2

ln jxj + C; x > 0 lub x < 0

x

6

4

2

R

3

p

1

1

p

6.

3+5

x2

p

dx

6x 2 + 30x 6 =

6

p

+ 30 6 x + C; x > 0

x3

x

Ca÷

kuj ¾

ac przez podstawienie obliczyć:

R

1.

(1

3x)4 dx;

1 (1

3x)5 + C ;

15

R

2.

sin (2x

1) dx

1 cos (1

2x) + C ;

2

R

3.

cos 3

1 x dx

2 sin 3

1 x + C ;

2

2

R

4.

e3x+1dx

1 e3x+1 + C ;

3

R p

p

5.

x 1 + x2dx

1

1 + x2

1 + x2 + C ;

3

R

6.

xe 2x2+1dx

1 e 2x2+1 + C ;

4

R

7.

sin5 x cos xdx

1 sin6 x + C ;

6

R

8.

tg xdx

(

ln jcos xj + C) ;

R

9.

sin2 x cos xdx

1 sin x

1 sin 3x + C ;

4

12

R

10.

sin x

dx

(

arctg (cos x) + C) ;

1+cos2 x

R

11.

(ln x)2 dx

1 ln3 x + C ;

x

3

R

12.

xdx

1 arctan x2 + C ;

x4+1

2

R

13.

x sin 2x2 + 1 dx

1 cos 2x2 + 1 ;

4

R

14.

2x dx

ln x2 + 8 + C ;

x2+8

R

15.

e2x

dx

ln e2x + 1 + C ;

1+e2x

15

R

p

16.

3 cos x

p

dx

6 sin x + 2 + C ;

2+sin x

R

p

17.

x+2

p

dx

4x + x2 + 5 + C ;

x2+4x+5

R

18.

1 ctg (ln x) dx

(ln jsin (ln x)j + C) ;

x

R

19.

3

dx

arctan 1 x + C ;

9+x2

3

R

20.

4

p

dx

arcsin 1 x + C ;

4 x2

2

R

21.

ex

dx

1 arctg 1 ex + C ;

4+e2x

2

2

R

22.

xdx

1

+

1

+ C

(x+1)3

x+1

2(x+1)2

Ca÷

kuj ¾

ac przez cz ¾

eści obliczyć:

R

1.

x cos xdx

(cos x + x sin x + C) ;

R

2.

x sin 2xdx

1 sin 2x

1 x cos 2x + C ;

4

2

R

3.

(x

1) exdx

(xex

2ex + C) ;

R

4.

x2 sin 1 x + 1 dx

16 cos 1 x + 1 + 8x sin 1 x + 1

2x2 cos 1 x + 1 + C ;

2

2

2

2

R

5.

x2e 3xdx

2 e 3x

2 xe 3x

1 x2e 3x + C ;

27

9

3

R p

p

6.

x ln xdx

x 2 x ln x

4 x + C ;

3

9

R

7.

x2 ln2 xdx

2 x3

2 x3 ln x + 1 x3 ln2 x + C ;

27

9

3

R

8.

x2

1 ln xdx

x

1 x3 + 1 x3

x ln x + C ;

9

3

R

p

9.

arccos xdx

x arccos x

1

x2 + C ;

R

10.

arcctg xdx

x arctg 1 + 1 ln x2 + 1 + C ;

x

2

Obliczyć ca÷

ki funkcji wymiernych:

R

1.

3

dx;

1 4x

R

2.

2x dx;

x 1

R

3.

1 3x dx;

2x+1

R

4.

x2+x dx;

x+2

R

5.

dx

;

x2+4x+8

16

R

6.

dx

;

2x2

2x+5

R

7.

x+1

dx;

x2+x+1

R

8.

x2

dx;

x2

2x+5

R

9.

x

dx;

(x 3)2

R

10.

2

dx;

(x 1)(x+2)

R

11.

4x+1 dx;

x2

1

R

12.

x 3x

dx;

x2

3x+2

R

13.

x2

dx;

(x 1)(x+2)

R

14.

x4

dx;

x2+2

Obliczyć ca÷

ki funkcji niewymiernych:

R q

1.

1 x + 5dx;

2

R

2.

dx

p

;

2+3x

R p

3.

x x + 2dx;

R p

4.

x dx;

x 1

R

5.

dx

p

;

1 3x2

R

6.

2x 1

p

dx;

1 4x2

R

7.

6x+5

p

dx;

6+x x2

R

8.

dx

p

;

x2+3x+2

R

9.

3x 2

p

;

4x2

4x+5

R

10.

x2

p

dx;

4 x2

R p

11.

x2 + 5dx;

R

12.

x2

p

dx;

1+x x2

Obliczyć ca÷

ki oznaczone:

17

=4

R

1.

x sin 2x dx;

0

1

R

2.

(1

3x)5 dx;

0

=2

R

3.

sin3 x cos2 x dx;

0

2

R

4.

dx

;

x(x+1)

1

0

R

5.

dx

;

4+25x2

2

5

e2

R

6.

dx

;

x ln2 x

e

e

R

7.

x ln xdx;

1

1

R

8.

x2e xdx;

0

Obliczyć ca÷

ki niew÷

aściwe:

1

R

1.

sin x dx;

0

1

R

2.

dx

;

(x+1)2

1

1

R

3.

xe x2 dx;

0

2

R

4.

dx

;

(x 1)2

1

e

R

5.

dx

p

;

x

ln x

1

0

R

6.

dx

;

x2+3x+3

1

1

R

7.

dx

;

x2+25

1

18

1

R

8.

xdx

p

;

1 x2

0

Obliczyć pola obszarów ograniczonych krzywymi: 1. y = x2;

y = 4x;

2. y = x;

y = 3x;

y = 3;

3. y = 1 ;

y = x;

y = 4;

x2

4. y = x3

2x;

y = x2;

5. xy = 1;

y = x;

y = 2x;

6. xy =

2;

y

x + 3 = 0;

7. y = sin x;

y = x;

y = ;

8. y = x2;

y = 2x2;

y = 8:

Obliczyć d÷

ugość ÷

uku:

1. y = 1 ;

x 2 [1; 4] ;

x

2. y = 1 x2;

x 2 [0; 1] ;

2

3. y = ln sin x;

x 2

;

;

3

2

4. y = 3 ln 9

x2 ;

x 2 [0; 2] ;

Obliczyć obj ¾

etość bry÷powsta÷

ych z obrotu podanych …gur wokó÷osi OX: 1. 0

x

1;

0

y

x2;

2. 0

x

;

0

y

sin x + cos x;

2

3.

1

x

1;

0

y

1

p

;

1+x2

4. e

x

e2;

1

y

ln x;

19

12

Funkcje wielu zmiennych

1. Przedstawić gra…cznie dziedzin ¾

e naturaln ¾

a funkcji:

p

(a) f (x; y) =

9

x2

y2 + ln (jxj

1) ;

p

(b) f (x; y) = ln (2

jx + yj)

4x

x2

y2;

(c) f (x; y) = arcsin

x

;

2x+y

q

(d) f (x; y) =

x

1;

x2+y2+2x

(e) f (x; y) = arcsin x + arccos (1

y) ;

y2

p

(f) f (x; y) =

1

p

y2

x;

y

x 2

q

(g) f (x; y) =

1

+

1

y

ln(x y

1)

x

(h) f (x; y) = arccos ln x2 + y2

4x + 6y + 13 :

2. Obliczyć pochodne cz ¾

astkowe funkcji:

(a) f (x; y) = x2y3

x4 + y3

2x2y + 2xy

y + 3x

1;

(b) f (r; ') = r2 cos2 '

r sin3 ';

(c) f (s; t) = s+t ;

2s t

(d) f (x; y) = x2ex2 y2 ;

(e) f (x; y) = x2 + y ln x2 + 2x + 1 ;

(f) f (x; y) = arccos (x

2y) ;

(g) f (x; y) = arctg y + arcctg x ;

x

y

p

(h) f (u; v) = u u2 + v2 + 1;

(i) f (x; y; z) = x2yz3

3x2z + 2yz

z2 + 2x

3y + 1;

(j) f (u; v; w) = u arctg w :

v+w

3. Obliczyć pochodn ¾

a funkcji f w punkcie p w kierunku wektora h: (a) f (x; y) = x2

2xy,

p (2; 1) ;

h = [2; 4] ;

(b) f (r; ') = r cos (r') + r2;

p (1; ) ;

h = [1; 2] ;

(c) f (x; y) = ln x2 + 3y2

y ;

p (1; 0) ;

h = [cos 30 ; sin 30 ] ;

x

p

(d) f (x; y) = x2 + y

2x

3y;

p (2; 1) ;

h = [2; 2] ;

(e) f (x; y; z) = y ln x2 + z2 ;

p (1; 1; 0) ;

h = [ 1; 2; 1] ;

(f) f (u; v; w) =

u

;

p (1;

1; 1) ;

h = [0; 1 ;

1 ]:

v

2w

2

3

4. Bez u·

zywania kalkulatora podać przybli·

zon ¾

a wartość funkcji f w punkcie p0 :

p

(a) f (x; y) =

x2 + y2;

p0 = (6:2; 7:9) ;

20

(b) f (x; y) = arctg x ; p

y

0 = (0:98; 1:02) ;

p

(c) f (x; y) =

xy + 1;

p0 = (0:99; 3:03) ;

(d) f (x; y) = xy;

p0 = (1:4; 2:1) :

5. Obliczyć pochodne cz ¾

astkowe rz ¾

edu drugiego:

(a) f (x; y) = x3y2

2x2y4

3x + ln y;

(b) f (x; y) = xe x+y2 ;

(c) f (x; y) = ln x2 + y2 ;

(d) f (x; y) = x y ;

x2+y2

(e) f (r; ') = r cos (r')

sin ' + r2;

(f) f (u; v) = arctg u

euv;

v

(g) f (x; y; z) = x2eyz

yez;

(h) f (u; v; w) = u

p

w + v ;

w

v

1 u

6. Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:

(a) f (x; y) = x2 + 2x + 1

4y2 + 4y

1;

(b) f (x; y) = 6xy

x3

y3;

(c) f (x; y) = x2 + 4xy

1 ;

y

p

(d) f (x; y) = y x

y2

x + 6y;

(e) f (x; y) = x4

4xy + 2y2;

(f) f (x; y) = x3 + xy + y2 + y;

(g) f (x; y) = ex2 y (5

2x + y) ;

(h) f (x; y) = x3 + 3xy2 + 12xy:

13

Równania ró·

zniczkowe zwyczajne

1. Rozwi ¾

azać równania o zmiennych rozdzielonych: (a) y0 = (xy)2 ;

(b) y0 = y ln y ;

x

(c) y0 cos x = ctg y;

(d)

1 + x2 yy0 = x 1 + y2 ;

(e) y0 = y 2 ;

y (0) = 3;

x+1

(f) y0 cos y + 2x sin y = 0;

y (0) =

;

2

p

p

(g) x

1 + y2 + yy0 1 + x20 = 0;

y (0) = 1;

21

(h) y0

2xy

= 0;

y (0) =

2;

1+x2

p

(i)

1 + x2 y0 + y 1 + x2 = xy;

y (0) = 1;

(j) y0

y cos x =

y;

y (0) =

1:

2. Rozwi ¾

azać równanie liniowe metod ¾

a uzmienniania sta÷

ej

(a) y0 + y cos x = e sin x;

(b) y0

3y = e2x;

(c) y0

2xy = x3;

(d) y0 + y = ln x;

x

(e) y0

y = 2x2;

y (1) = 3;

x

(f) y0 + xy = x;

y (0) = 1 ;

1+x2

3

(g) y0

y = x sin x;

y

=

;

x

2

2

(h) y0 +

y

= 2x ;

y (e) = e2:

x ln x

ln x

3. Rozwi ¾

azać równanie liniowe metod ¾

a przewidywań

(a) y0

y = x2

2x;

(b) y0 + 2y = e 2x;

(c) y0

y = ex sin x;

(d) y0 + 3y = e3x (x + 1) ;

(e) y0

2y = cos 2x;

(f) y0

y = x sin x;

(g) y0 + y = e xx2;

(h) y0 + 2y = x sin x + cos x:

4. Rozwi ¾

azać równanie liniowe II rz ¾

edu

(a) y00

y0

2y = 0;

y (0) = 1;

y0 (0) = 2;

(b) y00 + 25y = 0;

y (0) = 0;

y0 (0) = 1;

(c) y00

4y0 + 2y = 0;

y (0) = 1;

y0 (0) =

1;

(d) y00

y0 = x2

x;

(e) y00 + 5y0 + 4y = ex;

(f) y00

6y0 + 9y = e3x;

(g) y00

4y0 + 3y = (x + 1) ex;

(h) y00 + 2y0 + 2y = sin x;

(i) y00

2y0 + 2y = ex cos x;

(j) y00

4y = x2;

y (0) = 2;

y0 (0) =

1:

22