Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6
1
Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6
Z10/6.1. Zadanie 6
Narysować wykres naprężenia normalnego σX w przekroju A-A betonowej ściany zbiornika z wodą przedstawionego na rysunku Z10/6.1 w przypadku nie przenoszenia przez beton naprężeń rozciągających oraz w przypadku przenoszenia przez beton tych naprężeń. Wymiary ściany zbiornika podane są w metrach.
Ciężar własny wody wynosi
kN
=10,0
.
W
(Z10/6.1)
m 3
Ciężar własny betonu zwykłego wynosi kN
=25,0
.
B
(Z10/6.2)
m 3
2,1
H 0
2
4,5
4,0
A
A
[m]
Rys. Z10/6.1. Betonowa ściana zbiornika z wodą Z10/6.2 Wyznaczenie naprężeń normalnych w przekroju A-A Wszystkie obciążenia czynne oraz siły przekrojowe będziemy odnosić do wycinka ściany zbiornika o długości 1 metra. Wycinek taki przedstawia rysunek Z10/6.2. Obciążeniem ściany zbiornika będzie jej ciężar własny oraz ciśnienie wody w zbiorniku. Na głębokości h ciśnienie wody wynosi p= ⋅ h .
(Z10/6.3)
W
Na dnie zbiornika na głębokości 4,0 metrów ciśnienie wody wynosi więc kN
p =10,0⋅4,0=40,0
=40,0 kPa .
h
(Z10/6.4)
m 2
Ciężar własny betonowej ściany, równy iloczynowi objętości wycinka ściany przez ciężar własny betonu, (Z10/6.2) przyłożony jest w środku prostopadłościanu i ma wartość Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6
2
1,0
[m]
Rys. Z10/6.2. Wycinek ściany zbiornika o długości 1 metra 2,1
1,05
1,05
N k
4,5
4,0
36,3
Q=2
[m]
p =40,0 kPa
h
Rys. Z10/6.3. Obciążenie czynne działające na betonową ścianę zbiornika Q=25,0⋅2,1⋅4,5⋅1,0=236,3 kN .
(Z10/6.5)
Rysunek Z10/6.3 przedstawia obciążenie czynne, które działa na wycinek ściany betonowej zbiornika o dłu-gości 1 metra.
Trójkątne obciążenie ciśnieniem wody możemy zastąpić jego siłą wypadkową, która jest równa obję-
tości klina o podstawie trójkąta prostokątnego i wysokości 1 metra. Zgodnie z rysunkiem Z10/6.3 siła ta wynosi
1
W = ⋅40,0⋅4,0⋅1,0=80,0 kN .
(Z10/6.6)
2
Jej położenie przedstawia rysunek Z10/6.4.
Rysunek Z10/6.5 przedstawia część ściany zbiornika z przyjętym dodatnim zwrotem siły normalnej i momentu zginającego oraz obciążeniem czynnym. Wartości i zwrotu siły poprzecznej nie będziemy wyznaczać, ponieważ nie jest ona nam potrzebna do wyznaczenia naprężeń normalnych. Na rysunku tym zazna-czone są także osie układu współrzędnych związanego z przekrojem A-A. Przyjęte na rysunku Z10/6.5
zwroty sił przekrojowych są dodatnie, ponieważ siła normalna jest rozciągająca natomiast moment zginający MY rozciąga dolną część przekroju A-A czyli punkty o dodatnich współrzędnych z.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6
3
2,1
1,05
1,05
4,0⋅
N
2
3
k
54,
6,3
4,0
W=80,0 kN
23
Q=
4,0
1 ⋅ 3
p =40,0 kPa
h
[m]
Rys. Z10/6.4. Położenie wypadkowej z ciśnienia wody na betonową ścianę zbiornika 2,1
1,05
1,05
⋅4,0
N
2
3
k
4,5
4,0
W=80,0 kN
36,3
4,0
Q=2
1 ⋅ 3
Z=Zgl
[m]
MY
N
X
Rys. Z10/6.5. Przyjęte zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A Siła normalna wynosi
N =−236,3 kN .
(Z10/6.7)
Moment zginający MY wynosi 1
M =−80,0⋅ ⋅4,0 =−106,7 kNm .
(Z10/6.8)
Y
3
Rysunek Z10/6.6 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A dla obu części ściany zbiornika.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6
4
2,1
1,05
1,05
⋅4,0
N
2
3
k
4,5
4,0
W=80,0 kN
6,323
4,0
Q=
1 ⋅ 3
Z=Zgl
106,7 kNm
236,3 kN
X
X
236,3 kN
106,7 kNm
Z=Zgl
Y=Ygl
[m]
Rys. Z10/6.6. Prawidłowe zwroty sił przekrojowych w przekroju A-A 236,3 kN
106,7 kNm
Z=Zgl
1,0
Y=Y gl
[m]
2,1
Rys. Z10/6.7. Siły przekrojowe w przekroju A-A Rysunek Z10/6.7 przedstawia dolny przekrój A-A z zaznaczonymi siłami przekrojowymi. Mimośród siły normalnej wynosi
−106,7
z =
=0,4515 m .
(Z10/6.9)
N
−236,3
Siłę normalną na mimośrodzie przedstawia rysunek Z10/6.8. Wierzchołek rdzenia przekroju znajdujący się na osi Z=Zgl wynosi
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6
5
0,4515
0,5958
236,3 kN
Z=Zgl
1,0
Y=Y gl
[m]
2,1
Rys. Z10/6.8. Siła normalna na mimośrodzie 2,1 =0,35 m .
(Z10/6.10)
6
Wartość bezwzględna mimośrodu zN (Z10/6.9) jest większa niż (Z10/6.10) więc siła normalna znajduje się poza rdzeniem. Odległość punktu przyłożenia siły normalnej od krawędzi przekroju prostokątnego wynosi 2,1
c=
−0,4515=0,5985 m .
(Z10/6.11)
2
Długość wykresu naprężeń normalnych σX wynosi L=3⋅0,5985 =1,796 m .
(Z10/6.12)
Naprężenie normalne σ0 zgodnie z (10.45) wynosi 2⋅−236,3
kN
=
=−263,2
=−263,2 kPa .
(Z10/6.13)
0
3⋅0,5985⋅1,0
m 2
Rysunek Z10/6.9 przedstawia wykres naprężenia normalnego σX w przekroju prostokątnym.
W przypadku, jeżeli materiał przenosiłby naprężenia normalne rozciągające naprężenia te wyznaczać będziemy ze wzoru (10.16). Pole powierzchni przekroju wynosi A=2,1⋅1,0=2,1 m 2 .
(Z10/6.14)
Główny moment bezwładności względem osi Y=Ygl wynosi 1,0⋅2,13
J Y= J Ygl=
=0,7718 m 4 .
(Z10/6.15)
12
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6
6
0
Z=Z
1,
gl
Pa
k
3,2
26
Y=Y gl
1,796
[m]
2,1
aP k
3,226
1,796
2,1
Rys. Z10/6.9. Wykres naprężenia normalnego σ X w przekroju prostokątnym w materiale nie przenoszącym rozciągania Funkcja naprężenia normalnego ma postać
−236,3 −106,7
=
⋅ z=−112,5−138,2⋅ z .
(Z10/6.16)
X
2,1
0,7718
Oś obojętna ma postać
−112,5−138,2⋅ z=0 ,
(Z10/6.17)
którą możemy ostatecznie zapisać jako z=−0,8140 m .
(Z10/6.18)
Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z10/6.10. Jak widać najdalej oddalonymi punktami od osi obojętnej są punkty A i B. Naprężenia normalne w tych punktach wynoszą kN
A
X =−112,5−138,2⋅−1,05 =32,61
=32,61 kPa ,
(Z10/6.19)
m 2
kN
B=−112,5−138,2⋅1,05=−257,6
=−257,6 kPa
X
.
(Z10/6.20)
m 2
Wykres naprężenia normalnego przedstawia rysunek Z10/6.11.
Dr inż. Janusz Dębiński
Z10/6. MIMOŚRODOWE DZIAŁANIE SIŁY NORMALNEJ – ZADANIE 6
7
Z=Zgl
A
B
1,0
Y=Y gl
[m]
0,8140
2,1
Rys. Z10/6.10. Oś obojętna
Z=Zgl
A
B
1,0
aP
1 k
32,6
Y=Y gl
[m]
0,8140
257,6 kPa
2,1
aP
1 k
a
32,6
kP
257,6
Rys. Z10/6.11. Wykres naprężenia normalnego σ X w przekroju prostokątnym w materiale przenoszącym rozciąganie Dr inż. Janusz Dębiński