Wartości i wektory własne macierzy
Niech
A
oznacza
daną
macierz
kwadratową
stopnia
n > 2 , ( n ∈ N) :
a
11
a 12 . . . a 1 n
a
21
a 22 . . . a 2 n
"
#
A =
=
a
,
a
ij n×n
ij ∈ R (C)
. . .
. . .
. . .
. . .
a
n 1
an 2 . . . ann
Definicja
• Wielomianem charakterystycznym macierzy
A
nazywamy
wielomian W ( λ) zmiennej λ stopnia n postaci: W ( λ) = | A − λ I | , gdzie I jest macierzą jednostkową stopnia n .
• Równaniem charakterystycznym macierzy A nazywamy równanie: W ( λ) = | A − λ I | = 0 .
• Wartością własną macierzy
A
nazywamy każdy pierwiastek
rzeczywisty (lub zespolony) wielomianu charakterystycznego tej macierzy, czyli każdą liczbę λ 0 ∈ R (C) taką, że W ( λ 0) = 0
⇐⇒
| A − λ 0 I | = 0 .
Definicja
Wektorem własnym macierzy
A
odpowiadającym
danej wartości własnej λ 0 tej macierzy nazywamy każdy niezerowy wektor
x
1
x
~
2
X =
,
. . .
x
n
będący rozwiązaniem równania macierzowego: ( A − λ 0 I ) ~
X = ~ 0 ,
czyli równania postaci:
~
~
A X = λ 0 X.
Powyższe równanie macierzowe ma postać:
a
x
0
11 − λ 0
a 12
. . .
a 1 n
1
a
x
0
21
a 22 − λ 0 . . .
a 2 n
2
·
=
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
a
x
0
n 1
an 2
. . .
ann − λ 0
n
i jest ono równoważne następującemu układowi równań:
( a
11 − λ 0 ) x 1
+
a 12 x 2
+ . . .
+
a 1 n xn
= 0
a
21 x 1
+ ( a 22 − λ 0 ) x 2 + . . . +
a 2 n xn
= 0
. . .
. . .
. . .
. . .
a
n 1 x 1
+
an 2 x 2
+ . . .
+ ( ann − λ 0 ) xn = 0
Uwaga
Powyższy
układ
jest
układem
jednorodnym,
a
| A − λ I | = 0 . Zatem układ ten ma zawsze rozwiązanie niezerowe.
Przykład
Wyznaczyć wartości własne macierzy:
2
2
A =
2
2
0
1
0
A =
− 4
4
0
− 2
1
2
Fakt
(Postać wielomianu charakterystycznego macierzy stopnia
n = 3 )
Niech A będzie macierzą postaci:
a
11
a 12 a 13
A =
a
21
a 22 a 23
a
31
a 32 a 33
Wówczas wielomian charakterystyczny ma postać: W ( λ) = − λ 3 + p 1 λ 2 − p 2 λ + p 3 , gdzie:
•
p 1 = a 11 + a 22 + a 33 = tr A jest śladem macierzy A ,
•
p 2 jest sumą minorów głownych stopnia drugiego macierzy A , tj.
a
a
a
11
a 12
11
a 13
22
a 23
p
2 =
+
+
,
a
a
a
21
a 22
31
a 33
32
a 33
•
p 3 = W (0) = det A
jest wyznacznikiem macierzy A .
Przykład
Wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy:
0
1
0
A =
− 4
4
0
− 2
1
2
Podstawowe własności macierzy symetrycznej i rzeczywistej Przypomnienie
Macierz
A jest macierzą symetryczną wtedy i tylko wtedy, gdy jest macierzą kwadratową oraz T
A
= A .
Fakt 1 Wszystkie wartości własne macierzy symetrycznej i rzeczywistej są rzeczywiste.
Fakt 2 Wektory własne ~
X, ~
Y macierzy symetrycznej i rzeczywistej, które odpowidają różnym wartościom własnym λX, λY , są wzajemnie prostopadłe, tzn.
y
1
y
~
2
XT ◦ ~
Y = [ x
1 x 2 . . . xn ] ◦
= x
1 y 1 + x 2 y 2 + . . . + xnyn = 0 .
. . .
y
n
Przykłady i ćwiczenia
1. Niech λ 1 , λ 2 , . . . , λn będą wartościami własnymi macierzy kwadratowej A stopnia n . Wykazać, że det A = λ 1 · λ 2 · . . . · λn.
2. Niech macierz
A
będzie macierzą kwadratową stopnia
n .
Wykazać, że macierze
T
A i A
mają te same wartości własne.
3. Niech λ 1 , λ 2 , . . . , λn będą wartościami własnymi macierzy kwadratowej 1
i nieosobliwej
A
stopnia
n . Wykazać, że
, 1 , . . . , 1
λ
są
1 λ 2
λn
−
wartościami własnymi macierzy
1
A
.
4. Niech
λ 0 będzie wartością własną macierzy A . Wykazać, że λk
k
0 będzie wartością własną macierzy A dla k ∈ N .
5. Wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy symetrycznej:
−
6
2
3
A =
2
− 3
6
3
6
2