Ćwiczenie 8
Pomiar momentu bezwładnoś ci wahadła Maxwella
I. Zagadnienia do samodzielnego opracowania
1. Dynamika bryły sztywnej ruchu postępowego i obrotowego - zasady dynamiki.
2. Zasada zachowania energii.
3. Wyliczanie momentów bezwładności ze wzoru całkowego.
II. Wprowadzenie
W mechanice klasycznej ważną rolę odgrywa zasada zachowania energii mechanicznej. Jeżeli na poruszające się ciało działają tylko siły zachowawcze, to całkowita energia ciała pozostaje stała i podczas ruchu może nastąpić zmiana energii potencjalnej w kinetyczną i na odwrót.
Jako przykład można rozważyć tzw. wahadło (koło) Maxwella w postaci krążka zamocowanego na osi i zawieszonego bifilarnie. Wahadło znajdujące się na pewnej wysokości h ma energię potencjalną:
E
= mgh
pot.
gdzie: m - masa krążka wraz z osią,
g - przyśpieszenie ziemskie.
Uwolniony z podparcia krążek spada, wykonując ruch obrotowy i postępowy, a tym samym jego energia kinetyczna składa się z dwóch członów: 2
v
m
- energia kinetyczna ruchu postępowego,
2
2
Iω - energia kinetyczna ruchu obrotowego.
2
Zasada zachowania energii, przy zaniedbaniu oporów ruchu, wyraża się, więc równaniem:
2
2
v
m
Iω
mgh =
+
(1)
2
2
gdzie: v - prędkość przesuwania się środka masy układu, r - promień krążka,
v
ω = - prędkość kątowa w ruchu obrotowym wokół osi krążka, r
I - moment bezwładności krążka względem osi obrotu przechodzącej przez środek masy. Moment ten jest sumą momentu bezwładności osi wahadła, momentu
bezwładności samego krążka oraz dodatkowych pierścieni nakładanych na krążek w czasie wykonywania pomiarów.
Zakładając, że ruch środka masy krążka jest ruchem jednostajnie przyśpieszonym, bez prędkości początkowej, to z równań
2
t
a
v = at
i
h =
2
otrzymujemy związek:
1
2 h
v =
t
Po wstawieniu do równania (1) wyrażeń na v i ω , wyliczamy moment bezwładności wahadła Maxwella:
2
gt
I =
2
r
m
−
1
(2)
2 h
Masa m w tym wzorze jest sumą mas osi 0
m , krążka mk i pierścienia nałożonego na krążek m p .
Ze wzoru (2) widzimy, że moment bezwładności wahadła Maxwella można wyznaczyć doświadczalnie mierząc czas t opadania krążka oraz drogę h przebytą w czasie t.
Można przyjąć, że siła naciągu w nitce działa w środku jej grubości. W związku z tym w celu wyznaczenia r należy zmierzyć średnicę d osi wahadła z nawiniętą nicią rys.1. a następnie wyznaczyć r z zależności
d + or
2
r =
2
ro
r
d
Rys. 1. Pomiar średnicy osi wahadła
Na wynik obliczeń momentu bezwładności mają wpływ zarówno niedokładności pomiarów, jak i brak spełnienia założeń dotyczących zasady zachowania energii, czy tego, że ruch jest ruchem jednostajnie przyśpieszonym.
W inny sposób można wyznaczyć moment bezwładności I traktując elementy wahadła jako współosiowe walce i krążki. Momenty bezwładności poszczególnych elementów można znaleźć w tabelach, przyjmując, że są to regularne bryły geometryczne z osią obrotu przechodzącą przez ich środki masy: I = I +
+
0
I k
I p
(3)
1
2
I =
0
m r
0 0
2
1
I = m
+
k
k ( 2
2
rk
0
r )
2
1
I
=
+
p
m p ( 2
2
rp
k
r )
2
gdzie: 0
r - promień osi wahadła,
k
r - promień zewnętrzny krążka,
rp - promień zewnętrzny pierścienia.
2
Ze wzoru (3) wyliczymy teoretyczny moment bezwładności.
III. Wykonanie ćwiczenia
1. Włączyć przyrząd do sieci (przycisk W 3).
2. Na krążek wahadła nałożyć dowolnie wybrany pierścień dociskając go do oporu.
3. Nawinąć na osi wahadła nić i unieruchomić je przy pomocy elektromagnesu (przycisk W 2 wyciśnięty).
4. Sprawdzić, czy dolna krawędź pierścienia pokrywa się z zerem skali naniesionej na kolumnę. W przypadku nie spełnienia powyższego warunku odkręcić wspornik górny i wyregulować wysokość jego ustawienia.
5. Nacisnąć przełącznik W 1 w celu wyzerowania zegara i wcisnąć przełącznik W 2.
6. Odczytać zmierzoną wartość czasu spadania wahadła.
7. Powtórzyć pomiar czasu, co najmniej 10 razy, w celu wyznaczenia wartości średniej.
8. Pomiary powtórzyć dla innego pierścienia.
Tabela pomiarowa
o
m
mk
m p
d
o
r
r
h
t
Idosw Iteor
∆
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
Dokładność pomiarów sprawdza się przez wyliczenie błędu względnego Idosw − I
.
teor.
∆ =
1
⋅ 0 %
0
Iteor.
w którym: I dosw. - moment bezwładności wyznaczony wg wzoru (1) Iteor. - teoretyczna wartość momentu bezwładności (wzór (3)) Literatura
M. Leśniak, Fizyka. Laboratorium, wydanie II, Oficyna Wydawnicza PRz, 2002
J. Massalski, M. Massalska, Fizyka dla inż ynierów, t.1, WNT, Warszawa 1980
R. Resnick, D. Halliday, Fizyka t.1, PWN, Warszawa J. Orear, Fizyka, WNT, Warszawa 1990
3