id4152390 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com 5. Rozwi¹zywanie równañ algebraicznych w zbiorze liczb zespolonych

Równanie

n

n 1



a z  a

z



  a

z  a  0

n

n 1



1

0

o niewiadomej z nazywamy równaniem algebraicznym. Mówimy, ¿e jest ono stopnia n, jeœli a

 0 .

n

podstawowe

Podstawowe twierdzenie algebry gùosi, ¿e ka¿de równanie algebraiczne stopnia twierdzenie

n  1 ma w zbiorze liczb zespolonych co najmniej jeden pierwiastek.

algebry

(Mo¿na wykazaã, ¿e posiada ono dokùadnie n pierwiastków, licz¹c pierwiastek k-krotny jako k pierwiastków).

Pierwiastki zespolone równania o wspóùczynnikach rzeczywistych s¹ parami sprzê¿one, tzn., ¿e jeœli liczba z jest pierwiastkiem tego równania, to jest nim równie¿ liczba sprzê¿ona z .

Równanie stopnia drugiego o wspóùczynnikach rzeczywistych 2

a z  b z  c  0

kt

2

órego wyró¿nik   b  4 a c jest ujemny, ma dwa pierwiastki zespolone

 b  i

 

 b  i

 

z 1 

, z 

2

2

a

2 a

...........................................................................................

PRZYK£AD

Rozwi

3

2

¹zaã równanie z  z  2 5

, z  0 .

Rozwi¹zanie

3

2

z  z  2 5

, z  0

z  2

z  z  2 , 

5  0

2

z  0 lub z  z  2 5

,  0

  1  4  2 5

,   9

 1  i

9

 1  i

9

z 

lub z 

2

2

1

3

1

3

z  



i lub z  



i

2

2

2

2

1

3

1

3

Ostatecznie: z  0 lub z    i lub z    i .

2

2

2

2

...........................................................................................