1. Zbadać, czy (Z, ∗), gdzie a ∗ b = a + b + 2, jest grupą abelową.
2. W ciele liczb całkowitych modulo 11, tzn. w zbiorze Z11 = {0, 1, 2, ...10}
z działaniami dodawania i mnożenia modulo 11, znaleźć elementy odwrotne względem mnożenia do wszystkich elementów różnych od zera.
W grupie ( ∗
∗
Z
, ·) (
=
11
Z11
Z11 \ {0}) rozwiązać równanie 5x = 7 (mod 11) .
3. Znaleźć a, b ∈ R takie, by a
b + 1
+
= 2.
2 − i
1 + i
4. Zilustrować na płaszczyźnie Gaussa zbiory: (a) A = z ∈
C : |z − 2i| ≤ 1 ∧ π ≤ arg z ≤ π
,
3
2
n
o
(b) B =
z ∈ C : re z2 = 2 ∧ (im(z + i))2 = 1 , (c) C = {z ∈ C : |z − i| + |z + i| = 4} .
5. Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby zespolone:
√
√
(a) − 1 +
3 i,
(b) i 3 − 1,
(c) 1 + cos π + i sin π .
2
2
3
3
6. Wykonać działania:
√
√
20
(a) (1 − i)4,
(b) 1 + i 3100 ,
(c)
1+i
3
.
1−i
7. Obliczyć:
√
√
q √
√
q
√
(a) 3 i,
(b) 6 −27,
(c) 6
3−i ,
(d)
8 + 6i,
(e) 4
3 − i12.
i−1
8. Rozwiązać równania:
(a) z2 + 4z + 5 = 0,
(b) z2 = 5 + 12i,
(c) z4 − 30z2 + 289 = 0,
(d) iz8 − (1 + i) z4 + 1 = 0, (e) z3 + 3z2 + 3z = i − 1.
9. Wyrazić cos 6α za pomocą sin α oraz cos α.
10. Wykazać równość: |z1 + z2|2 + |z1 − z2|2 = 2 |z1|2 + |z2|2 .
11. Wykazać, że cos π + cos 3π + cos 5π + cos 7π + cos 9π = 1 .
11
11
11
11
11
2
√
12. Jednym z wierzchołków kwadratu jest punkt z0 = 1 − i 3. Wyznaczyć pozostałe wierzchołki tego kwadratu wiedząc, że jego środkiem jest początek układu współrzędnych.
13. Rozważmy wielomian
W (x) = x6 − 6x5 + 18x4 − 28x3 + 31x2 − 22x + 14.
√
Wiadomo, że W (1 − i) = W 2 − i 3 = 0. Znaleźć pozostałe pierwiastki tego wielomianu.