”Wst¸ep do Teorii Mnogości”, rok akademicki 2009/2010

8. Funkcje i ich wÃlasności II

Zadanie 8.1 Wyznaczyć obraz f ( A) i przeciwobraz f − 1( B) dla nast¸epuj¸acych funkcji i zbiorów:

(a) f : R → R, f ( x) = sin x, A = [0 , π], B = { 1 }; (b) f : N × N → N, f ( m, n) = max {m, n}, A = { 22008 } × N, B = { 22008 }; (c) f : N × N → N, f ( m, n) = m + n + 1, A = N × { 1 }, B = Par; (d) f : N × N → N, f ( m, n) = |m 2 − n 2 |, A = N × { 0 }, B = { 0 }; (e) f : Z × Z → Z, f ( m, n) = m 2 n, A = Z × { 1 }, B = { 1 }; (f) f : R → R × R, f ( x) = ( x, x 2), A = ( − 1 , 2], B = ( − 1 , 1] × (0 , 4); (g) f : R → R, f ( x) = |x 2 − 1 |, A = ( − 2 , 2), B = (1 , 2).

Zadanie 8.2 Udowodnić, że dla dowolnej funkcji f zachodz¸a zwi¸azki:

[

[

(a) f (

Ai) =

f ( Ai);

i∈I

i∈I

\

\

(b) I 6= ∅ ⇒ f (

Ai) ⊆

f ( Ai);

i∈I

i∈I

(c) f ( A) \ f ( B) ⊆ f ( A \ B) oraz, że inkluzji nie można zast¸apić równościami.

Zadanie 8.3 Niech f : X → Y b¸edzie funkcj¸a. Udowodnić, że nast¸epuj¸ace warunki s¸a równoważne:

(a) f jest injekcj¸a;

(b) f ( A ∩ B) = f ( A) ∩ f ( B) dla dowolnych A, B ⊆ X; (c) f ( A \ B) = f ( A) \ f ( B) dla dowolnych A, B ⊆ X.

Zadanie 8.4 Udowodnić, że dla dowolnej funkcji f zachodz¸a zwi¸azki:

[

[

(a) f − 1(

Ai) =

f − 1( Ai);

i∈I

i∈I

\

\

(b) I 6= ∅ ⇒ f − 1(

Ai) =

f − 1( Ai);

i∈I

i∈I

(c) f − 1( A \ B) = f − 1( A) \ f − 1( B).

Zadanie 8.5 Udowodnić, że dla dowolnej funkcji f zachodz¸a zwi¸azki: (a) A ⊆ B ⇒ f ( A) ⊆ f ( B);

(b) A ⊆ B ⇒ f − 1( A) ⊆ f − 1( B); (c) A ⊆ f − 1( f ( A)) i inkluzji nie można zast¸apić równości¸a; (d) f ( f − 1( B)) = B ∩ R( f ) oraz ( B ⊆ R( f ) ⇒ f ( f − 1( B)) = B); (e) f ( A) ∩ B = f ( A ∩ f − 1( B)); (f) A ∩ f − 1( B) ⊆ f − 1( f ( A) ∩ B); (g) f ( A) ⊆ B ⇔ A ⊆ f − 1( B).