W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I OPIS RUCHU, DRGANIA WŁASNE TŁUMIONE

Olga Kopacz, Adam Łodygowski, Krzysztof Tymber, Michał Płotkowiak, Wojciech Pawłowski

Konsultacje naukowe: prof. dr hab. Jerzy Rakowski Poznań 2002/2003

OPIS RUCHU

1. 1. Opis ruchu

Przypuśćmy, że mamy układ jak na rysunku

obok (rys.11.1). Zgodnie z zasadą d’Alemberta równanie równowagi można zapisać:

..

m q( t)+ q

κ ( t)= 0

(11.1)

..

q( t)

2

+ ω q( t) = 0

(11.2)

2

..

  d

2

κ

gdzie:

Rys.11.1

ω = ,

  =

i :

m

2

  dt

m − masa[ kg]

q − przemieszczenie w czasie

κ −

 N 

sztywność podpory   .

 m 

Rozwiązaniem jest funkcja q( t) = q sin t ω

cosω

q( t) = A sin(ω t + ϕ ), s

+ q

t

c

⇒

przy czym kąt ϕ-to kąt fazowy. Stałe ,

A ϕ wyznaczymy z dwóch warunków

początkowych:

np.

10) t = 0 ⇒ q(0) = a

.

dq

20) t = 0 ⇒ q(0) =

= 0

dt t=0

Rys.11.2

Z warunków tych otrzymujemy:

π

a = A sin(0 + ϕ) = A sinϕ ⇒ A sin = a ⇒ A = a 2

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW, STOPIEŃ STAT.NIEWYZNACZALNOŚCI dq

π

= A cos(ω t + ϕ)ω ⇒ 0 = ω

A cos(ω ⋅ 0 + ϕ )⇒ cosϕ = 0 ⇒ ϕ =

dt

2

Zatem dla warunków początkowych j.w otrzymujemy pełne rozwiązanie postaci:



π 

q( t) = a sin t

ω +  = a cos t

ω

(11.3)



2 

gdzie:

a -amplituda drgań, to max. wartość przemieszczenia(wychylenia) w stosunku do położenia równowagi,

ω -to częstość kołowa drgań własnych (zakładamy brak czynników zaburzających, czyli nie występuje tłumienie) [ rd s], jest cechą indywidualną każdego ciała (Jest stała!) Uwaga! Nie ma związku między amplitudą a częstością kołową!

Zgodnie z rozwiązaniem (wzór 11.3) nasza kulka powróci do swego położenia po czasie odpowiadającym π

2 . Podstawmy tą wartość do naszego rozwiązania:

 

π

2 

q( t) = a cos(ω t + π

2 ) = cos ω t +

 =





[

cos ω( t + T )]

 

ω 

π

2

gdzie T =

to okres drgań, czyli czas dzielący dwa identyczne stany rozpatrywanego ω

ciała (łatwiej można to sobie wyobrazić patrząc na rysunek 11.2).

Zadanie 1

Wyznaczyć częstość kołową elementu.

♦ Powiedzmy, że mamy układ jak na rysunku (rys.11.3) z jednym stopniem swobody.

Zakładamy, że masa belki jest znikomo mała w stosunku do nałożonej masy (powstały w ten sposób błąd będzie bardzo mały i nieistotny dla dalszych rozważań). Częstość kołowa wyrażana jest wzorem: κ

ω =

(11.4)

m

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW, STOPIEŃ STAT.NIEWYZNACZALNOŚCI Rys.11.3

Sztywność belki wyznaczymy korzystając z pracy wirtualnej. W miejscu masy m przykładamy taką siłę P, która spowoduje jednostkowe ugięcie belki (rys.11.3b) stąd iδ równe będzie 1. Wykonujemy wykresy momentów od zadanej siły P i siły jedynkowej (rys.11.3c i d)otrzymując:

M ⋅ M

1  1

2  P l 3

⋅

δ =

ds =

 P ⋅ l ⋅ l ⋅ l  =

∫ EI

EI  2

3 

3 EI

Przyrównując otrzymaną wartość do jedynki:

3

P ⋅ l

3 EI

3 EI

1 =

⇒ P =

czyli

κ =

stąd szukana częstość kołowa wynosi:

3

3 EI

l

3

l

3 EI

ω =

(11.5)

3

m ⋅ l

♦ Zajmijmy się teraz belką swobodnie podpartą, której masę sprowadzimy do masy skupionej umieszczonej w środku jej rozpiętości (rys.11.4). Sposób postępowania jest analogiczny jak dla belki z przykładu pierwszego. Wykonujemy wykresy momentów od zadanej siły P i siły jedynkowej.

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW, STOPIEŃ STAT.NIEWYZNACZALNOŚCI Rys.11.4

M ⋅ M

1  1 l Pl 2 l 

P l 3

⋅

δ =

ds =

 ⋅ ⋅

⋅ ⋅ 2 =

∫ EI

EI  2 2 4 3 4  48 EI

ponieważ :

3

P ⋅ l

48 EI

48 EI

1 =

⇒ P =

czyli

κ =

stąd szukana częstość kołowa

3

48 EI

l

3

l

wynosi:

48 EI

ω =

(11.6)

3

m ⋅ l

przy czym m = ρ ⋅ l ⋅ A (A-pole przekroju poprzecznego belki).

1. 2. Drgania własne, tłumione.

Tłumienie drgań jest wynikiem działania sił oporu oznaczanych jako R . Siły te działają w ruchu zwanym Voigt. Zakładany w nim tłumienie lekkie (wiskotyczne) proporcjonalne do prędkości ruch, co zapisujemy:

•

R ~` c ⋅ q( t)

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW, STOPIEŃ STAT.NIEWYZNACZALNOŚCI Na rysunku (rys.11.5) widzimy ciało o masie m drgające swobodnie (bez tłumienia) i podczas tłumienia drgań.

a)drgania własne-układ o jednym

stopniu swobody

b)drgania własne tłumione

Rys.11.5

Równanie ruch z uwzględnieniem tłumienia przyjmuje postać:

••

•

m ⋅ q( t) + c ⋅ q( t) +κ ( t) = 0

(11.7)

gdzie

c -stała tłumienia

c

przy wprowadzeniu zmiennej ρ =

równanie przechodzi do postaci:

2 m

••

•

q( t) + 2ρ ⋅ q( t) 2

+ ω ⋅ q( t) = 0

(11.8)

ρ − współczynnik tłumienia drgań.

Rozwiązaniem równania ruchu (wzór11.8) będzie funkcja postaci: rt

q t

( ) = Ae .

Podstawiając ją do równania otrzymamy równanie charakterystyczne postaci: 2

r + 2

2

ρ ⋅ r + ω = 0

(11.9)

Rozwiązując je możemy otrzymać trzy przypadki:

< 0

∆ = 4 2

ρ − 4 2

ω = 4( 2

ρ − 2

ω ) 

⇒ > 0

= 0

♦ Rozważamy małe tłumienia ρ < ω

Możliwe są dwa rozwiązania:

2

2

r = −ρ − i ω − ρ

2

2

r = −ρ + i ω − ρ

1

2

Rozwiązującą funkcją jest funkcja postaci:

q( t)

ρ

=

−

Ae t sin(ω t + ϕ)

(11.10)

1

co jest równoważne rozwiązaniu:

q( t) = e− tρ sin( c cosω t + c sin t ω )

(11.11)

1

2

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW, STOPIEŃ STAT.NIEWYZNACZALNOŚCI Wykres (rys.11.6) poniżej obrazuje funkcję rozwiązującą (wzór 11.10): Rys.11.5

gdzie:

T okres drgań własnych tłumionych wynoszący: 1 −

2π

T =

2

ω = ω − ρ

1

ω

a

2

1

1

Miarą tłumienia jest to z jaką szybkością następuje redukcja amplitudy, czyli relacja między dwiema kolejnymi amplitudami podobnych stanów. I tak: 2π

q

T =

i 1

+ .Podstawiając do funkcji rozwiązującej (11.10) otrzymujemy:]

1

ω

q

1

i

−ρ ( t+ T 1 )

q 1

Ae

przy założeniu, że: sin(ω t + e) = 1 i+ =

⇒

1

− t

q

Ae ρ

i

qi+1

−ρ T 1

−λ

= e

= e

(11.12)

qi

przy czym

λ =

qi+1

ln

= ρ ⋅ T logarytmiczny dekrement mienia.

1 −

qi

♦ Silne tłumienie ρ > ω

Możliwe są dwa rozwiązania:

2

2

r = −ρ − ω − ρ

2

2

r = −ρ + ω − ρ

1

2

Funkcja rozwiązująca przyjmuje postać:

q( t) = e− tρ ( c chω + c shω t) (11.13)

1

1

2

1

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper

W Y K Ł A D Y Z M E C H A N I K I B U D O W L I SZCZEGÓLNE PRZYPADKI ŁUKÓW, STOPIEŃ STAT.NIEWYZNACZALNOŚCI gdzie:

2

2

ω = ρ −ω

1

W tym przypadku wykres funkcji rozwiązującej wygląda następująco (rys.11.6): Rys.11.6

♦ W trzecim ostatnim przypadku gdy ρ = ω funkcja rozwiązująca jest postaci: q( t) = e− tρ ( c t + c ) (11.14)

1

2

a jej wykres jest taki jak przy silnym tłumieniu(rys.11.6).

Politechnika Poznańska® Kopacz,

Łodygowski, Pawłowski, Płotkowiak, Tymper