Twierdzenie 1 Zbiór wektorów własnych operatora ϕ przestrzeni V odpowiadających tej samej wartości własnej t powiększony o wektor zerowy tworzy ϕ-niezmienniczą podprzestrzeń przestrzeni V .
Dowód Oznaczy nasz zbiór przez U , wtedy mamy:
U = {v ∈ V : ϕ( v) = tv} ∪ { 0 }
Niech u 1 , u 2 ∈ U wtedy mamy:
ϕ( u 1 + ku 2) = ϕ( u 1) + kϕ( u 2) = tu 1 + k( tu 2) = t( u 1 + ku 2) , a więc u 1 + ku 2 również należy do podprzestrzeni U .
Podprzestrzeń, o której jest mowa w powyższym twierdzeniu nazywać będziemy podprzestrzenią wektorów własnych odpowiadających wartości własnej t i oznaczać ją będziemy przez N (1)
t
.
Niech teraz V = Kn będzie przestrzenią liniową nad ciałem K, niech ϕ
będzie operatorem w przestrzeni V i niech Aϕ będzie macierzą tego operatora w bazie kanonicznej. Wtedy v = ( v 1 , . . . , vn) jest wektorem własnym operatora ϕ odpowiadającym wartości własnej t jeśli:
v
1
v 1
v 2
v 2
A
ϕ
. = t .
..
..
vn
vn
stąd otrzymujemy równość:
v
1
v 1
0
v 2
v 2
0
A
ϕ
. − t . = .
..
..
..
vn
vn
0
i dalej:
v
1
0
v 2
0
( A
ϕ − tI )
. = .
..
..
vn
0
1
a więc każdy wektor własny jest niezerowym rozwiązaniem równania:
x
1
0
x 2
0
( A
ϕ − tI )
. = .
..
..
xn
0
Z teorii układów równań jednorodnych wiemy, że powyższe równanie ma niezerowe rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy wyznacznik macierzy współczynników jest równy 0, a więc:
det( Aϕ − tI) = 0
Wielomian f ( x) = det( Aϕ−xI) nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy Aϕ. Każdy pierwiastek tego wielomianu nazywamy wartością własną macierzy Aϕ. Oczywiście dla każdej wartości własnej t macierzy istnieją niezerowe rozwiązania równania:
x
1
0
x 2
0
( A
ϕ − tI )
. = .
..
..
xn
0
Rozwiązania tego równania nazywamy wektorami własnymi macierzy Aϕ.
Każdy wektor tej macierzy jest również wektorem własnym operatora ϕ. Daje nam to następujące twierdzenie:
Twierdzenie 2 Każdy operator przestrzeni Kn nad ciałem K posiada maksymalnie n różnych wartości własnych. Jeśli Aϕ jest macierzą operatora ϕ w bazie kanonicznej to wszystkie wartości własne są pierwiastkami równania charakterystycznego: det( Aϕ − xI) = 0
a wektory własne odpowiadające wartości własnej t spełniają równania:
x
1
0
x 2
0
( A
ϕ − tI )
. = .
..
..
xn
0
Twierdzenie 3 (Twierdzenie Hamiltona-Cayleya) Jeśli A jest macierzą kwadratową i f ( x) = det( A − xI) jest jej wielomianem charakterystycznym to f ( A) = 0 .
2
Okazuje się, że równanie charakterystyczne nie zależy od tego w jakiej bazie rozpatrujemy macierz danego przekształcenia. Rzeczywiście jeśli A i B są macierzami tego samego przekształcenia w różnych bazach to istnieje macierz odwracalna C (macierz przejścia), taka że B = CAC− 1. Wtedy jeśli det( A − xI) = 0 to
0 = det( A − xI) = det( CBC− 1 − xI) = det( CBC− 1 − xCC− 1) =
det( C( B − xI) C− 1) = det C det( B − xI)(det C) − 1 = det( B − xI) a więc równanie charakterystyczne macierzy A jest dokładnie takie samo jak równanie charakterystyczne macierzy B.
Zadanie Wyznaczyć wartości własne i wektory własne operatora: ϕ :
3
3
R → R
ϕ( x, y, z) = (2 x − y + 2 z, 5 x − 3 y + 3 z, −x − 2 z) Rozwiązanie Macierzą tego przekształcenia w bazie kanonicznej jest:
2 − 1
2
A =
5 − 3
3
− 1
0 − 2
Szukamy wartości własnych macierzy A:
2 − 1
2
1 0 0
det( A − xI) = det
5 − 3
3 − x 0 1 0 =
− 1
0 − 2
0 0 1
2 − x
− 1
2
5
− 3 − x
3
= 0
− 1
0
− 2 − x
stąd otrzymujemy równanie:
−( x + 1)3 = 0
a zatem jedyną wartością własną macierzy A (i operatora ϕ) jest t = − 1.
Teraz szukamy wszystkich wektorów własnych odpowiadających wartości własnej − 1:
x
1
0
( A
ϕ + I )
x 2
=
0
x 3
0
a więc musimy rozwiązać równanie:
3
− 1
2 x
1
0
5
− 2
3 x
2
=
0
− 1
0
− 1
x 3
0
3
Rozwiązaniem tego układu jest:
x 2 = −x 1
x 3 = −x 1
a więc każdy wektor własny odpowiadający wartości własnej − 1 jest postaci ( x 1 , −x 1 , −x 1) i otrzymujemy:
N (1)
−
= {( x, −x, −x) : x ∈
1
R }.
Twierdzenie 4 Jeśli v 1 i v 2 są wektorami własnymi odpowiadającymi różnym wartościom własnym t 1 i t 2 to v 1 i v 2 są liniowo niezależne.
Dowód Gdyby wektory v 1 i v 2 były liniowo zależne to istniało by k, że v 2 = kv 1, wtedy mamy ϕ( v 2) = ϕ( kv 1) = kϕ( v 1), stąd t 2 v 2 = kt 1 v 1 i mamy t 2 kv 1 = kt 1 v 1, a więc t 2 = t 1 co jest sprzeczne z założeniem, że wartości własne są różne.
Twierdzenie powyższe można uogólnić na dowolną ilość wektorów własnych odpowiadających różnym wartościom własnym.
4