algebra alglin1 egz1 11 rozw

Pobierz cały dokument
algebra.alglin1.egz1.11.rozw.pdf
Rozmiar 79 KB

Fragment dokumentu:

ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIA ANALITYCZNA

‘

‘

EGZAMIN 31.01.2012

ROZWIAZANIA ZADA Ń

‘

Zad.1 (5 pt.) Wyznacz pierwiastki zespolone z 0 , z 1 równania z 2 + 2 z + 2 = 0 . Przedstaw je w postaci trygonometrycznej. Oblicz liczbe z 9

‘ 0 + z 91 .

√

ROZWIAZANIE. ZwykÃle wzory −b± ∆ na pierwiastki równania kwadratowego daja z

‘

2 a

√

‘ 0 =

− 1 + i, z 1 = − 1 − i, bo ∆ = − 4 . ModuÃly tych liczb sa równe 2 , argumenty wynosza 1350 =

‘

‘

3 π, 2250 = 5 π odpowiednio. Np. argument z

, sin φ = 1

√ ,

4

4

0 to takie φ ∈ [0 , 2 π) , że cos φ = − 1

√ 2

2

bo ogólnie dla z = a + bi mamy wzory z których można wyznaczyć argument φ : cos φ =

a

√

, sin φ =

b

√

.

a 2+ b 2

a 2+ b 2

Postać trygonometryczna:

√

z 0 = 2( cos 3 π + isin 3 π) ,

4

4

√

z 1 = 2( cos 5 π + isin 5 π) .

4

4

Ze wzoru de Moivre’a

√

√

z 90 = ( 2)9( cos 27 π + isin 27 π) = 16 2( cos 3 π + icos 3 π) = 16 z 4

4

4

4

0 ,

√

√

z 91 = ( 2)9( cos 45 π + isin 45 π) = 16 2( cos 5 π + isin 5 π) = 16 z 4

4

4

4

1 ,

bo

27 π = 6 π + 3 π, 45 π = 10 π + 5 π, 4

4

4

4

a cos ( α + 2 kπ) = cos α, sin ( α + 2 kπ) = sin α dla k ∈ Z .

Ale z 0 + z 1 = − 2 , dlatego z 90 + z 91 = 16( z 0 + z 1) = − 32 . Można tez zauważyć, że z 80 = 16 , z 81 =

16 i wyprowadzić z tego ostatnia równość.

‘

    



1

1

1

Zad.2 (6 pt.) Uzasadnij, że wektory 0 , 2 ,  − 1

1

0

2





1

tworza baze przestrzeni R3 . Wyznacz wspóÃlrzedne wektora  0  w tej bazie.

‘

‘

‘

− 1

ROZWIAZANIE. UkÃlad n wektorów w przestrzeni R n jest baza, jeśli macierz utworzona ze

‘

‘

wspóÃlrzednych tych wektorów (w naszym przypadku wektory sa dane we wspóÃlrzednych w bazie

‘

‘

 ‘



1 1

1

standardowej) ma wyznacznik różny od 0 . W danych z zadania ta macierz 0 2 − 1 i jej 1 0

2

 

x

wyznacznik jest równy 1, wiec jest to baza. WspóÃlrzedne  y danego wektora w tej bazie sa,

‘

‘

‘

z

z definicji, liczbami speÃlniajacymi równość

 

 

 ‘





1

1

1

1

x 0 + y 2 + z  − 1 =  0  .

1

0

2

− 1

Jest to ukÃlad równań x + y + z = 1 , 2 y + z = 0 , x + 2 z = − 1 , którego rozwiazaniem jest

‘

x = 5 , y = 2 , z = − 4 .

3

3

3

Zad.3 (5 pt.) Kiedy istnieje macierz odwrotna do danej macierzy? Wylicz macierz odwrotna





‘

2

1 − 1

A − 1 do macierzy A =  − 1 0

0  .

0

1 − 2

ROZWIAZANIE. Macierza odwrotna do macierzy kwadratowej A nazywa sie taka macierz

‘

‘

‘

‘

‘

oznaczana A− 1 , że AA− 1 = A− 1 A = E, gdzie E jest macierza jednostkowa, majaca na przekatnej

‘

‘

‘

‘ ‘

‘

jedynki i zera poza przekatna. Macierz odwrotna do macierzy A istnieje wtedy i tylko wtedy,

‘

‘


Pobierz cały dokument
algebra.alglin1.egz1.11.rozw.pdf
rozmiar 79 KB

wyszukiwarka

podobne podstrony:
algebra alglin1 egz1 11 rozw
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIA ANALITYCZNA ‘ ‘ EGZAMIN 31.01.2012 ROZWIAZANIA ZADA Ń ‘ Zad.1 (5 pt.) Wyznacz pierwiastki zespolone z 0 , z 1 równania z 2 + 2 z + 2 = 0 . Przedstaw je w postaci trygonometrycznej. Oblicz liczbe z 9 ‘ 0 + z 91 . √ ROZWIAZANIE. ZwykÃle wzory −b± ∆ na pierwiastki równania kwadratowego daja z ‘ 2 a......

więcej podobnych podstron
kontakt | polityka prywatności