 | Pobierz cały dokument algebra.alglin1.egz1.11.rozw.pdf Rozmiar 79 KB |
ALGEBRA LINIOWA Z GEOMETRIA ANALITYCZNA
‘
‘
EGZAMIN 31.01.2012
ROZWIAZANIA ZADA Ń
‘
Zad.1 (5 pt.) Wyznacz pierwiastki zespolone z 0 , z 1 równania z 2 + 2 z + 2 = 0 . Przedstaw je w postaci trygonometrycznej. Oblicz liczbe z 9
‘ 0 + z 91 .
√
ROZWIAZANIE. ZwykÃle wzory −b± ∆ na pierwiastki równania kwadratowego daja z
‘
2 a
√
‘ 0 =
− 1 + i, z 1 = − 1 − i, bo ∆ = − 4 . ModuÃly tych liczb sa równe 2 , argumenty wynosza 1350 =
‘
‘
3 π, 2250 = 5 π odpowiednio. Np. argument z
, sin φ = 1
√ ,
4
4
0 to takie φ ∈ [0 , 2 π) , że cos φ = − 1
√ 2
2
bo ogólnie dla z = a + bi mamy wzory z których można wyznaczyć argument φ : cos φ =
a
√
, sin φ =
b
√
.
a 2+ b 2
a 2+ b 2
Postać trygonometryczna:
√
z 0 = 2( cos 3 π + isin 3 π) ,
4
4
√
z 1 = 2( cos 5 π + isin 5 π) .
4
4
Ze wzoru de Moivre’a
√
√
z 90 = ( 2)9( cos 27 π + isin 27 π) = 16 2( cos 3 π + icos 3 π) = 16 z 4
4
4
4
0 ,
√
√
z 91 = ( 2)9( cos 45 π + isin 45 π) = 16 2( cos 5 π + isin 5 π) = 16 z 4
4
4
4
1 ,
bo
27 π = 6 π + 3 π, 45 π = 10 π + 5 π, 4
4
4
4
a cos ( α + 2 kπ) = cos α, sin ( α + 2 kπ) = sin α dla k ∈ Z .
Ale z 0 + z 1 = − 2 , dlatego z 90 + z 91 = 16( z 0 + z 1) = − 32 . Można tez zauważyć, że z 80 = 16 , z 81 =
16 i wyprowadzić z tego ostatnia równość.
‘
1
1
1
Zad.2 (6 pt.) Uzasadnij, że wektory 0 , 2 , − 1
1
0
2
1
tworza baze przestrzeni R3 . Wyznacz wspóÃlrzedne wektora 0 w tej bazie.
‘
‘
‘
− 1
ROZWIAZANIE. UkÃlad n wektorów w przestrzeni R n jest baza, jeśli macierz utworzona ze
‘
‘
wspóÃlrzednych tych wektorów (w naszym przypadku wektory sa dane we wspóÃlrzednych w bazie
‘
‘
‘
1 1
1
standardowej) ma wyznacznik różny od 0 . W danych z zadania ta macierz 0 2 − 1 i jej 1 0
2
x
wyznacznik jest równy 1, wiec jest to baza. WspóÃlrzedne y danego wektora w tej bazie sa,
‘
‘
‘
z
z definicji, liczbami speÃlniajacymi równość
‘
1
1
1
1
x 0 + y 2 + z − 1 = 0 .
1
0
2
− 1
Jest to ukÃlad równań x + y + z = 1 , 2 y + z = 0 , x + 2 z = − 1 , którego rozwiazaniem jest
‘
x = 5 , y = 2 , z = − 4 .
3
3
3
Zad.3 (5 pt.) Kiedy istnieje macierz odwrotna do danej macierzy? Wylicz macierz odwrotna
‘
2
1 − 1
A − 1 do macierzy A = − 1 0
0 .
0
1 − 2
ROZWIAZANIE. Macierza odwrotna do macierzy kwadratowej A nazywa sie taka macierz
‘
‘
‘
‘
‘
oznaczana A− 1 , że AA− 1 = A− 1 A = E, gdzie E jest macierza jednostkowa, majaca na przekatnej
‘
‘
‘
‘ ‘
‘
jedynki i zera poza przekatna. Macierz odwrotna do macierzy A istnieje wtedy i tylko wtedy,
‘
‘
 | Pobierz cały dokument algebra.alglin1.egz1.11.rozw.pdf rozmiar 79 KB |