1. Pokazać , że nast¸epuj¸
ace podzbiory R∞ s¸
a liniowymi pod-
przestrzeniami wektorowymi przestrzeni wektorowej R∞: c - zbiór ci¸
agów rzeczywistych zbieżnych, l1 - zbiór ci¸agów rzeczywistych absolutnie sumowalnych, l2 - zbiór ci¸agów rzeczywistych sumowalnych z kwadratem.
2. Pokazać, że nast¸epuj¸
ace zbiory funkcji s¸
a liniowymi pod-
przestrzeniami wektorowymi przestrzeni wektorowej F(a,b),R
funkcji rzeczywistych f : (a, b) → R: C([a, b]) - zbiór funkcji rzeczywistych, ci¸
ag lych na domkni¸etym
przedziale [a,b].
L1((a, b)) - zbiór funkcji rzeczywistych bezwzgl¸ednie ca lkowalnych.
L2((a, b)) - zbiór funkcji rzeczywistych ca lkowalnych z kwadratem
.
3. Niech V = C(R). Sprawdzić czy zbiór funkcji różniczkowalnych, 0
takich że f (0) = 0 tworzy liniow¸
a podprzestrzeń wek-
torow¸
a przestrzeni V.
4. Sprawdzić z definicji liniow¸
a niezależność podanych wektorów:
ex, e2x, e3x w przestrzeni C(R).
5. Sprawdzić z definicji liniow¸
a niezależność podanych wektorów:
sin(t), cos(t), sin(2t) w przestrzeni C(R).
6. Wyznaczyć baz¸e i określić wymiar nast¸epuj¸
acej przestrzeni:
n
o
~
x ∈ R4 : x1 + x2 − x3 = 0 x1 + 2x4 − x3 = 0 x1 = 0 .
7. W bazie ~b1,~b2,~b3 wektor ~a1 ma wspó lrz¸edne (1,0,1) , wektor
~a2 ma wspó lrz¸edne (0,1,-1) , wektor ~a3 ma wspó lrz¸edne (1,-
1,1). Czy wektory ~a1, ~a2, ~a3 s¸a liniowo niezale ˙ne?
8. Czy wektory ~b1 = (1, 0, 1), ~b2 = (1, 1, 0), ~b3 = (0, 1, 1) tworz¸
a baz¸e w R3? Jeśli tak to wyznaczyć wspó lrz¸edne wektora ~
x = (2, 3, 4) w tej bazie.
9. Pokazać, że zbiór M wszystkich rozwi¸
azań nast¸epuj¸
acego
liniowego, jednorodnego równania różniczkowego 2y00 − 4y0 − 3y = 0
jest liniow¸
a podprzestrzeni¸
a wektorow¸
a. Wyznaczyć baz¸e
tej przestrzeni M.
Roman Różański