1. Zaznacz na płaszczyźnie punkty: A = (2, − )
1 , B = (3,0) , C = ( 1
− ,3) , D = (−5,2) , E = (0,− )
1 .
2. Wyznacz długości odcinków: AB, BC, AD, DE itd.
3. Znajdź środki odcinków wymienionych w zadaniu 2.
4. Znajdź równanie symetralnych odcinków z zadania 2.
5. Czy trójkąt ABC jest: równoboczny? równoramienny? prostokątny? Odpowiedz na te same pytania
odnośnie trójkątów BCD , ADE .
25 3
6. Wyznacz pole trójkąta ABC , jeśli A = (2,5) , B = (6, 2) i trójkąt jest równoboczny. Odpowiedź:
.
4
7. Wyznacz pole i obwód trójkąta równobocznego ABC , jeśli A = (0, 2) a punkt D = (3, ) 1 jest końcem
wysokości poprowadzonej z wierzchołka C . Odpowiedź: P = 10 3 , L = 6 10 .
8. Punkty A = (2, )
1 oraz C = (6,5) są wierzchołkami kwadratu ABCD . Wyznacz pole i obwód kwadratu.
Wyznacz środek kwadratu oraz pozostałe wierzchołki. Odpowiedź: P = 32 , L = 16 2 .
9. Wyznacz równanie prostej zawierającej wysokość CD trójkąta równobocznego ABC , jeśli A = (−1, −3) i 3
5
B = (2, )
1 . Odpowiedź: y = −
x − .
4
8
10. Znajdź środek i promień okręgu opisanego równaniem:
2
2
a. ( x + )
1 + ( y − 3) = 25
b.
2
2
x − 6 x + y − 8 y = 0
c.
2
2
x − 2 x + 3 + y + 6 y = 9
d.
2
2
x + y −16 y + 36 = 0
11. Punkt A = (3, −7) jest końcem odcinka AB , którego środek ma współrzędne S = (−3,13) . Wyznacz współrzędne punktu B . Odpowiedź: (−9,33) .
12. Środek odcinka o końcach A = (5, − )
1 , B = (−7, −3) jest środkiem okręgu o promieniu 8. Napisz
2
2
równanie tego okręgu. Odpowiedź: ( x + )
1 + ( y + 2) = 64 .
13. Wyznacz liczbę m, tak aby proste o równaniach y = (2 m − )
1 x i y = (5 − m) x + 7 były równoległe.
Odpowiedź: m = 2 .
1
14. Wyznacz liczbę m, tak aby proste o równaniach y = ( 2
m − 3) x − 2 i y = − x +1 były prostopadłe.
6
Odpowiedź: m = 3 lub m = −3 .
15. Dany jest kwadrat o kolejnych wierzchołkach A = (−4, 2) , B = (6, −2) . Wyznacz promień okręgu opisanego na tym kwadracie. Odpowiedź: r = 58 .
16. Bok AB prostokąta ABCD jest dwa razy dłuższy od boku AD . Wyznacz obwód tego prostokąta, jeśli wiadomo, że A = (2, )
1 , B = (4,9) . Odpowiedź: L = 6 17 .
1
17. Wyznacz punkt przecięcia się prostych o równaniach y = 2 x + 8 i y =
x + 3 . Odpowiedź: P = (−3, 2) .
3
18. Wykaż, że proste o równaniach i 6 x − 4 y +15 = 0 nie mają punktów wspólnych.
19. Wykaż, że punkty A = (1, −3) , B = (−2, −9) , C = (4,3) są współliniowe (leżą na jednej prostej).
20. Napisz równanie okręgu o środku S = (−3,6) i promieniu równym długości odcinka o końcach
2
2
A = (2, −3) , B = (−5, − )
1 . Odpowiedź: ( x + 3) + ( y − 6) = 53.
21. Wykaż, że punkty A = (1,3) , B = (3, )
1 , C = (6, 4) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego. Oblicz pole
tego trójkąta. P = 6 .
22. Dane są punkty A = (−7, −3) , B = (−3,5) . Napisz równanie okręgu o średnicy AB . Wyznacz długość 2
2
boku kwadratu wpisanego w ten okrąg. Odpowiedź: ( x + 5) + ( y − )
1
= 20 , a = 2 10 .
23. Dany jest kwadrat o przeciwległych wierzchołkach A = (1,5) , C = (−3, −5) . Wyznacz współrzędne wierzchołków B , D tego kwadratu. Odpowiedź: B = (−6, 2) , D = (4, −2) .
24. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A = (−4, 2) , B = (0, 4) , C = (6, −4) . Wyznacz długość wysokości 11 34
poprowadzonej z wierzchołka B . Oblicz pole trójkąta. Odpowiedź: h =
, P = 22 .
17
25. Dany jest kwadrat o kolejnych wierzchołkach A = (4, 2) , B = (−4, −2) . Wyznacz współrzędne wierzchołka C tego kwadratu. Odpowiedź: C = (0, −10) lub C = (−8,6) .
26. Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu y = 2 x −1 z okręgiem o równaniu 2
2
x + 2 x + y − 4 y = 4 ?
Odpowiedź: Dwa punkty.
27. Dany jest okrąg o równaniu x + ( y − )2
2
4
= 25 i prosta o równaniu y = −7 x + 29 przecinająca ten okrąg w
punktach A , B . Wyznacz współrzędne punktów A , B . Oblicz długość cięciwy AB . Odpowiedź:
A = (3,8) , B = (4, )
1 , | AB |= 5 2 .
1
28. Dana jest prosta l o równaniu y =
x − 2 i punkt A = (4, 4
− ) . Wyznacz współrzędne punktu B
3
symetrycznego do punktu A względem prostej l. Odpowiedź: B = (2, 2) .
29. Dane są równania prostych, w których zawarte są dwa boki równoległoboku: y = 2 x − 2 i y = − x +1.
Wyznacz współrzędne wierzchołków tego równoległoboku, jeśli wiadomo, że punkt przecięcia przekątnych
ma współrzędne S = (3, )
1 . Odpowiedź: A = (1,0), B = (3, 4), C = (5, 2), D = (3, −2) .