Nakładanie się i interferencja fal
15-1
15. Nakładanie się i interferencja fal Weźmy pod uwagę falę jednowymiarową biegnącą w kierunku osi x ψ ( x, t) = A⋅sin( kx − t ω )
1
oraz taką samą falę biegnącą w kierunku przeciwnym ψ ( x, t) = A⋅sin( kx + t ω ).
2
W wyniku superpozycji (nałożenia się) fal otrzymujemy falę wypadkową ψ =ψ +ψ = A⋅ (sin( kx − ω t) + sin( kx + ω t)).
1
2
Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów
α + β
α β
sinα
−
+ sin β = 2sin
cos
2
2
i ostatecznie
ψ ( x, t) = 2 A sin( kx) ⋅
ω
$
#
$
" ! cos( !
"
#
t)
amplituda
z
drgan
ω
czestoscia
Nakładanie się i interferencja fal
15-2
Amplituda drgań wypadkowych zależy od położenia x – inaczej niż dla fali biegnącej – zmieniając się od zera do 2 A.
Drgania odbywające się w różnych miejscach różnią się fazą o π lub wcale.
Tego rodzaju ruch w ośrodku nazywa się falą stojącą.
Kwadrat amplitudy fali stojącej jest proporcjonalny do energii drgań elementów ośrodka.
Miejsca zerowe sin( kx) = 0, o zerowej amplitudzie drgań, nazywają się węzłami fali stojącej.
Miejsca ekstremów sin( kx) = ±1, o maksymalnej amplitudzie drgań, nazywają się strzałkami fali stojącej.
Nakładanie się i interferencja fal 15-3
Sąsiednie strzałki (lub węzły) fali stojącej dzieli odległość λ
∆ x = .
2
Dudnienia
Jeżeli nakładające się fale różnią się nieco długością sin( k x + ω t) + sin( k x + ω t) , 1
1
2
2
to w yniku nałożenia otrzymujemy:
k
ω ω
ω ω
1 + k 2
1 −
2
k 1 − k 2
1 +
2
2sin
x +
t ⋅
cos
x +
t
2
2
2
2
2sin( k ⋅ x + ω
∆ ⋅ t) ⋅ cos( k
∆ ⋅ x + ω ⋅
#
$
$
$ "
$
$
$ ! # $
$ " $
$ !
t)
amplituda
na
wolnozmien
ω
czestosci
o
drgan
Kiedy ∆ k = ∆ω = 0 to mamy do czynienia z interferencją.
Nakładanie się i interferencja fal
15-4
Interferencja fal na płaszczyźnie
Fala kolista ze źródła punktowego ma postać: r
A ⋅ sin( kr − ω t) = A ⋅ sin 2π ( −ν t) .
λ
W punktach ( a,0) i ( –a,0) są źródła punktowe fal kolistych z i : 1
z 2
r
r
z = A ⋅ sin 2π ( 1 −ν t
)
z = A ⋅ sin 2π ( 2 −ν t) .
1
2
λ
λ
Wypadkowy ruch w ośrodku jest sumą drgań wywołanych przez każdą z fal z osobna
z = z + z
1
2
r − r
r + r
z = 2 A ⋅ cos π 1
2
2 (
) ⋅ sin π 1
2
2 (
−ν t)
#
$
$
$ " 2 $
$
$ !
λ
#
$
$
$ "
2λ
$
$
$ !
wypadkowa
amplituda
ν
osci
czestotliw
o
drgan
Jeżeli r − r = (
1
n + ) , to amplituda drgań wypadkowych jest równa 1
2
λ
2
zero.
Jeżeli r
, to amplituda drgań wypadkowych jest maksymalna.
1 − r 2 = nλ
Nakładanie się i interferencja fal
15-5
Równanie r
jest równaniem hiperboli o ogniskach w ( a,0) 1 − r 2 = const
i ( –a,0).
Równania hiperbol, wzdłuż których występują maksima amplitudy drgań wypadkowych wyglądają następująco:
r − r = nλ n = , 0 ± ,
1 ± ,
2 ± ,...
3
1
2
( x + a 2
) + y 2 − ( x − a 2
) + y 2 = nλ
1
2 2
16 2 2
a x
y = ±
n λ +
− 4( 2
2
a + x )
2
2 2
n λ
Dla n = 0 otrzymujemy równanie osi y.
Nakładanie się i interferencja fal
15-6
W dużych odległościach od źródeł, tzn. dla r r
,
, mamy
1
2 >> l
nλ
r
∆ = λ
n ≈ l cosα albo lim cosα =
r →∞
l
π
α = kierunek
głównego maksimum
0
2
λ
cosα1 =
l
2λ
cosα
maksima interferencyjne rzędu
2 =
n
l
λ
3
cosα3 =
l
Kąty α określają zarazem kierunki asymptot hiperbol.
n
W tych kierunkach, w wyniku interferencji, rozchodzi się fala o maksymalnej amplitudzie.
Wprowadźmy różnicę faz między źródłami fal. Wtedy r − r
ϕ
r + r
ϕ
z = z + z = 2 A ⋅ cos2π ( 1
2
0
−
) ⋅ sin( 1
2
0
−ν t +
)
1
2
2λ
2
2λ
2
r 1 − r
Warunkim na maksimum amplitudy jest
2 − ϕ
, i dla n = 0
0 = n
λ
λ
cosα =
ϕ , czyli zmienia się kierunek, w którym występuje 0
0
l
maksimum interferencyjne amplitudy fali.