Pr

P z

r y

z kł

k ad 1

Ułożyć równanie ruchu u =(u ,t) dla czwórnika 2

1

elektrycznego dysypatywnego o sygnale wejściowym (wymuszeniu) G =u i sygnale wyjściowym (odpowiedzi) u .

k

1

2

1

Zmi

m e

i nn

n a uogóln

l i

n ona

n

Uk

U ł

k ad

d el

e e

l kt

k ry

r czn

z y

n (k=1

= )

Ws

W p

s ółr

ł zęd

ę na

n

a uogó

g ln

l io

i na

n

a qk

Q

Q (ła

ł d

a unek

e kond

n en

e sa

s t

a ora)

•

•

Pręd

ę kość

ś uo

u gó

g ln

l i

n o

i na

n

a q

Q = i (pr d ładowania)

k

= i (pr

k

ąd ładowania)

•

2

Ene

n r

e gia

i kin

i et

e yc

y z

c na

n

a T

M Q

(dła

ł wik

i a)

2

Ene

n r

e gia

i potenc

n ja

j łu

ł V

Q2

V

Q

(ko

k nd

n en

e s

n a

s t

a ora)

C

2

•

2

2

Fu

F nk

n cja

j La

L ng

n rang

n e’a

’

a L=

L T

= -V

M Q

Q

V

L =

−

2

2C

•

2

Fu

F nk

n cja

j st

s rat Rayl

y e

l ig

i ha

h

a F

R Q

F

2

Wy

W mu

m sz

s e

z nie

i Gk

G

u1(t

( )

) (na

n p

a ię

i c

ę ie

i

e doprowa

w d

a zo

z ne

n )

L

∂

L

∂

Q

= −

q

∂

q

∂

Q

∂

C

k

Q

∂

k









d  ∂L

∂ 

2

•

−



d  L

∂ 

d 



d Q

−

−

= − 

 = −

•

−

= −  M Q = M

dt 

•







• 

2



dt

dt 



 ∂ q

dt

dt

dt

q

 ∂ Q 

k 

 ∂ Q

k 

F

∂

•

− F

∂

F

∂

dQ

−

−

= −

= −

•

−

= −R Q =

•

R Q

R

•

•

∂q

dt

q

∂ Q

k

∂

k

2

1

Obliczamy

Q

d 2 Q

dQ

−

− M

− R

= − u ( t )

C

2

1

dt

dt

Uwzględniając Q=C u otrzymamy ostatecznie 2

2

d u

du

2

2

MC

+ RC

+ u = u ( t) 2

2

1

dt

dt

3

Pr

P z

r y

z kł

k ad 2 - ukł

k ad liniowy

• Ułożyć równanie ruchu dla przetwornika konserwatywnego o stałej sprężyny K i masie rdzenia stalowego m (drgania własne przekaźnika).

4

2

Zmie

m nna uogólnio

l

na

Ukła

k d ele

l kt

k ry

r czny

z

(k=1

= )

Układ me

m chaniczny

z

(k=

k 2

= )

Współr

ł zędna

n

a uogó

g ln

l io

i na

n

a

Q (ła

ł dunek kond

n en

e satora)

x

x

qk

•

•

•

Pr

Prędkość

ś uo

u gó

g ln

l io

i na

n q

Q = i (pr

x = v

k

= i (pr

x

ąd ładowania)

=

k

ąd ładowania)

2

•

2

•

•

Ene

n r

e gia

i kin

i etyc

y z

c na

n T

M ( x) Q

m x

(dła

ł wik

i a)

2

2

x

x

2

x

Ene

n r

e gia

i potenc

n ja

j ln

l a V

Q2

Q

∫f dx Kxdx K

spr

=∫ Kxdx =

spr

=∫

(ko

k nd

n ens

n a

s tora)

2

C

2

0

0

C

2



• 2

•

• 2

•  

2

2







 



Fu

F nk

n cja

j Lang

n rang

n e’a

Q

m x

Q

x

a

 M ( x)

+

 − 

+ K



L=T

= -V



2

2   2 C

2

2 



 



Fu

F nk

n cja

j strat Rayl

y e

l ig

i ha

h

a F

0

0

Wymu

m sze

z nie

i Gk

0

0

L

∂

∂L

∂

Q

1

• 2

1

•

= − = − ∫idt

L

∂

Q

dM ( x)

q

∂

∂

=

− Kx

k

∂Q

C

C

=

− Kx

k

Q

C

C

∂ x

2

dx













d  ∂L

∂ 

•

2



d  ∂ L 

d  •



d  ∂

−

d  ∂ L 

d 



d

L

d x





−

−

= −  Q M ( x)

−

= − m

•

•

2

dt 

•







• 

2









dt

dt 



dt

dt

 ∂ q

 ∂ Q 

 ∂ x 

k 

 ∂ Q 

 ∂ x

k 





1

d

L

∂

d 

L

∂ 

∫ idt + ( i M ( x)) 2

2

)

−

= 0

d x

i

dM ( x)

− 

 = 0

C

dt

m

+ Kx =

2

dt 



2

∂



dt

2

dt

∂ q

 ∂



k

 ∂ q k

k

Prawa strona równania mechanicznego przedstawia siłę wciągania rdzenia.

5

Pr

P z

r y

z kł

k ad 3 - prz

r e

z t

e w

t orn

r ik

k liniowy

Sformułować

model

matematyczny

elementu

elektromaszynowego

stycznika

o

ruchu

posuwisto

zwrotnym.

Rdzeń ruchomy o masie m i przekroju A ślizga się w rdzeniu nieruchomym w łożyskach niemagnetycznych o grubości ścianek d (razem ze szczeliną).

Na rdzeń nieruchomy działają siły mechaniczne:

siła sprężyny f =Kx, równa zeru dla x=x .

sp

0

zewnętrzna siła wymuszająca f (np. obciążenie),

własna siła elektrodynamiczna f przyci e

ągania,

siła tarcia f =Dv (tarcie statyczne pomin t

ąć).

6

3

Przykład 3

Element elektromechaniczny

stycznika (przetwornik liniowy)

7

Rozwiązanie

• Pomijając reluktancję rdzeni

wobec reluktancji szczeliny

powietrznej otrzymamy

2

z2A

ψ = M i, gdzie M = Λz = µ

• dla x=0,

0

0

0

0

d

• dla x>0,

d

d

ψ ( x) =

ψ =

M i = M ( x i

)

d + x

0

d + x

0

• gdzie

B

M(x) =

,

B = M d = µ z2 .

A

d + x

0

0

8

4

Rozwiązanie

2

•

1

2

•

m x

Energia kinetyczna

T =

(

M x) Q +

2

2

( x − x )2

0

=

Energia potencjalna

V

K

2

2

2

1

•

1

•

F =

R Q + D x

Funkcja strat Rayleigha

2

2

9

Rozwiązanie

Siły więzów

Q =u(t), Q =f(t)

1

2

Funkcja stanu

2

2

•

•

B Q

m x

( x − x )

L = T - V

0

=

+

− K

=

2( d + x)

2

2

2

2

•

•

2

µ z AQ

m x

( x − x )2

0

0

=

+

− K

2( d + x)

2

2

10

5

Zm

Z i

m e

i nna uogó

g l

ó n

l io

i na

a

Uk

U ł

k ad

a el

e e

l kt

k ry

r c

y zn

z y

y (k

( =1

= )

1

Uk

U ł

k a

ł d me

m c

e han

a iczn

z y

y (k

( =

k 2)

2

Wsp

s ó

p łr

ł zę

z dna

n uo

u gó

g ln

l i

n o

i na

n

a qk

q

Q

x

x

L

∂

2

2

L

∂

z A

•

µ

A

µ0

0

−

Q − K ( x −

∂

0

Q

K ( x

x )

2

0

∂q

2

q

+

k

2( d

k

2(

x)



•





2

d  µ z AQ 





0

−

=



d  ∂ L

∂ 

dt  ( d + x) 

2



d 

dx 

d x

-





−  m

 = − m

•

2

dt 

•





2



dt 

dt 

dt

 ∂ q

2

2

q

µ

µ

k 

µ z A di

0

k 

z A d

z Ai dx

0

0

−

+

( d + x) dt

( d + x 2

x) dt

F

∂

•

− F

∂

dx

•

−

- D x

= −D

•

•

∂

− RQ = − Ri

R

dt

∂ qk

Gk

u(

u t)

t

f(

f t)

11

• Po zsumowaniu otrzymujemy dla przebiegów elektrycznych (k=1)

2

2

µ z A di µ z A

dx

0

0

Ri +

−

i( t)

= u( t)

( d + x) dt

( d + x)2

dt

• a dla przebiegów mechanicznych 2

2

d x

dx

µ z A

m

+ D

+ K( x − x ) 0

2

+

i = f ( t)

2

0

dt

dt

(

2 d + x)2

• Jak

widać

istnieje

ścisła

współzależność

pomiędzy

przebiegami elektrycznymi i mechanicznymi, co objawia się nieliniowością otrzymanego równania. Składniki w ramce przedstawiają jednocześnie wyrażenie na chwilowe siły elektrodynamiczne.

12

6

Przykład 4 - przetwornik obrotowy

• Napisać wzór na moment elektrodynamiczny chwilowy i ułożyć równania ruchu dla przetwornika obrotowego o momencie bezwładności J.

13

Na wirnik działają następujące momenty:

zależny od prądu i moment reluktancyjny m , k

e

moment

sprężyny

zwracającej

o

stałej

K

•

(współczynnik kątowy sprężystości mechanicznej ϕ

równy momentowi jednostkowemu): moment ten równa się zeru przy położeniu początkowym ϕ , 0

moment

tarcia,

proporcjonalny

do

prędkości

kątowej dϕ/dt, ze współczynnikiem kątowym tarcia D, równym momentowi jednostkowemu; tarcie statyczne pomijamy.

14

7

Stojan posiada dwa uzwojenia o indukcyjnościach własnych równych:

∞

∧

M ( ϕ ) = ∑ M

cos( νϕ + ψ )

1

1 ν

ν

ν =1

•

ϕ

M

( ϕ ) = a + bM ( ϕ )

2

1

i wzajemnej M

(ϕ) = const (małe wychylenia): 12

Uzwojenia

są

zasilane

ze

źródeł

o

napięciu

wymuszającym u (t) i u (t).

1

2

15

Zmienne

Układ ele

l ktry

r czn

z y

uogóln

l ione

Układ mechaniczn

z y (k=2)

k=1

k=2

qk

Q1

Q2

φ

•

•

•

•

q

Q = i

Q = i

ϕ = Ω

k

1 = i

Q

1

2 = i

2

ϕ = Ω

k

1

1

2

2

• 2

•

• 2

2

•

•

•

•

T

Q

Q

ϕ

1

2

1

M (ϕ )

M (ϕ )

M (ϕ ) Q Q

J

1 ϕ )

+ M (

2 ϕ )

+ M (

12 ϕ ) Q Q

J

1

+

2

2

+ 12

1

2

2

2

2

2

ϕ

V

0

Q 2

Q 2

K

2

2C



• 2

•

• 2

•

• 2

•





•

•

 

2

2





Q

Q

ϕ

Q

ϕ

1

2

ϕ

Q 2

L=T-V

1

2





 M (ϕ

M

ϕ

M

ϕ Q Q J

K

1 ϕ

( )

+ M 2 ϕ

( )

+ M 12 ϕ

( ) Q Q

1

2 + J

 −

+ K



1

+

( )

2

+

( )

12

1

2 +

 − 

+







2

2

2   2 C

2









1

•

2

1

• 2

1

•

1

F

R Q

ϕ

1

0

D

1

0

2

2

Gk

u1(t)

u2(t

( )

0

∂

2

2

∂

i

i

[ M ϕ i

M (ϕ

( ) 1

)

1

+ M 2 ϕ

( ) 2 ]

1

+ M 2 ϕ i 2

∂

( )

∂ L

Q

1

∂ϕ

2

2

0

− 2

−

= −

∂

0

∫ i dt

∫ d

∂ q

2

q

∂

k

C

C

k

C

+

[ M 12 ϕ

(

i

) i ]

1 2

− Kϕ

12 ϕ

(

i

) i ]

1 2

− K

∂ϕ





d

d

d  ∂ L 

[M (ϕ

+

[M i + M (ϕ i

) ]

2

d  • 

d ϕ

1 ϕ)i1 + M

i ]

[M i

12 2

12 1 + M

(

2

ϕ i) ]

2

2

d  • 

d

dt

1

1

12 2

dt

dt

12 1

2

2

dt

 J ϕ = J

dt

d 

•





2



dt 



dt

 ∂ q k 

k

∂F

dϕ

•

•

Ri

D

i1

0

∂

1

0

∂ q

dt

q

d

k

16

8

Równania elektryczne mają postać: d [M (ϕ i) +M i ]+Ri = u (t)

dla k=1

dt

1

1

12 2

1

1

1 t

d

dla k=2

∫ i dt'+ [ M (ϕ) i + M i ] = u ( t) 2

2

2

12 1

2

C

dt

0

lub

1

d 2

du t

( )

i +

[ M (ϕ) i + M i ]

2

=

C 2

dt 2

2

2

12 1

dt

17

i równanie mechaniczne (k=3)

d ϕ

2

ϕ

2

d

i

M

i

M

M

1

∂ 1 ϕ

( )

2

2

∂ 2 ϕ

( )

∂ 12 ϕ

J

+ D

+ Kϕ =

+

+

( )

i i

2

dt

dt

2

ϕ

∂

2

ϕ

∂

1 2

ϕ

∂

Prawa strona tego równania przedstawia moment elektromagnetyczny chwilowy.

18

9