Zad. 1. W województwie X 10% ludności korzystała z ulgi podatkowej nieuczciwie. Po wprowadzeniu nowych przepisów, istnieje obawa, że nastąpi wzrost nieuczciwych obywateli korzystających z tej ulgi.
Po przeprowadzeniu badania na 150 podatnikach, 21 korzystało niesłusznie z tej ulgi. Zweryfikuj tę hipotezę na poziomie ufności 2%
Rozwiązanie:
Hipoteza zerowa H0: ≥
Hipoteza alternatywna HA: <
Do weryfikacji hipotezy H0 stosujemy test dla wskaźnika struktury oparty na statystyce:
−
ݐ =
ට(1 − )
݊
Statystyka ta przyjmuje postać standardowego rozkładu normalnego N(0,1).
Zbiór krytyczny wynosi ܹ = (−∞, −ݐଵିఈሿ, gdzie t1-α jest kwantylem rzędu 1-α standardowego rozkładu normalnego.
, gdzie:
α = 2%=0,02 <- poziom istotności m=21 <- liczba elementów wyróżnionych n=150 <- rozmiar próby p=m/n=21/150=0,14 <- frakcja otrzymana z próby p0=10%=0,1 <- hipotetyczna frakcja t1-α=t0,98=2,05 <- kwantyl rzędu 0,98 rozkładu standardowego rozkładu normalnego Zbiór krytyczny wynosi zatem: ܹ = (−∞; −2,05ሿ
Natomiast wartość statystyki jest równa:
−
0,14 − 0,1
ݐ =
=
= 1,63
ට(1 − )
݊
ට0,1(1 − 0,1)
150
Wniosek: Wartość statystyki t=1,63 nie należy do zbioru krytycznego, zatem na poziomie istotności 0,02 nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Przyjmujemy zatem, że nastąpił wzrost liczby nieuczciwych obywateli.