Wstęp
Równania Maxwella to inaczej połączone w spójną całość (przez Jamesa Clerka Maxwella) prawa rządzące zjawiskami elektromagnetycznymi. Prawa te stanowią układ czterech równań i opisują ogół zjawisk elektromagnetycznych. Równania Maxwella odgrywają w elektromagnetyzmie podobną rolę jak prawa Newtona w dynamice.
Równania
Pierwsze równanie Maxwella (prawo Faradaya dla indukcji elektromagnetycznej) mówi, że zmienne pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne, które może wywoływać prąd elektryczny. Z pierwszego równania Maxwella wynika też, że gdy brak jest pola magnetycznego, bądź pole magnetyczne jest słabe, to istniejące pole elektryczne jest bezwirowe. Takie pole to pole elektrostatyczne wywoływane przez stacjonarne ładunki elektryczne.
d
Postać całkowa: ∮ E d l=−
B
, gdzie: = B d S
B
∫
dt
S
Postać różniczkowa: rot E=− ∂ B
∂ t
Przejście z postaci całkowej do różniczkowej:
Z twierdzenia Stokesa (o zamianie całki wzdłuż konturu na całkę powierzchniową po dowolnej
powierzchni S rozpiętej na tym konturze) mamy: ∮ E d l=∫ rot E d S .
S
d
∂ B
Z drugiej strony: −
B =− d ∫ Bd S=−∫
d S
dt
dt
∂ t
S
S
Ponieważ powierzchnia S nie zmienia się w czasie, to różniczkowanie po czasie w powyższej równości dotyczy jedynie pola magnetycznego i można zamienić kolejność różniczkowania i całkowania. Zamiana pochodnej zwykłej na cząstkową wynika z tego, że B może być nie tylko funkcją czasu, ale również i współrzędnych przestrzennych x , y , z . A zatem:
∂ B
∫ rot E d S=−∫
d S
∂ t
S
S
Ponieważ powierzchnia S jest dowolną powierzchnią rozpiętą na konturze , to funkcje podcałkowe po obu stronach równania muszą być równe, a stąd otrzymujemy prawo indukcji Faradaya w postaci całkowej: rot E=− ∂ B .
∂ t
Drugie równanie Maxwella (uogólnione prawo Ampere'a) mówi, że prąd elektryczny lub zmienne pole elektryczne wytwarza wirowe pole magnetyczne.
d
Postać całkowa: ∮ H d l= I I
j d S
D
D d S
p
, gdzie: I =∫
, I =
, =
D
∫
p
S
dt
S
Postać różniczkowa: rot
H = j ∂ D
∂ t
1
I p jest to hipotetyczny prąd przesunięcia. Jest on wprowadzany w celu usunięcia nieciągłości jaka się pojawia w przypadku linii prądu przewodzenia. (Prąd wpływając do jednej z płytek kondensatora ładuje ją dodatnio. Wypływając z płytki drugiej ładuje ją ujemnie. Prąd przewodzenia nie płynie między płytkami kondensatora, gdyż w przestrzeni między nimi nie jest przenoszony żadem ładunek. Z tego powodu linie prądu przewodzenia są nieciągłe między płytkami kondensatora).
Przejście z postaci całkowej do różniczkowej:
Z twierdzenia Stokesa mamy: ∮ H d l=∫ rot
H d S .
S
∂ D
Z drugiej strony: I I =∫ j d S∫
d S=∫ j∂ D d S
p
∂ t
∂ t
S
S
S
Ponieważ powierzchnia S jest dowolną powierzchnią rozpiętą na konturze , to wyrażenia podcałkowe z prawych stron powyższych równości muszą być sobie równe, czyli: rot
H = j ∂ D
∂ t
Trzecie równanie Maxwella (prawo Gaussa dla pola elektrycznego) mówi, że źródłami pola elektrycznego są ładunki. Jeżeli brak jest ładunków elektrycznych to linie pola elektrycznego są liniami zamkniętymi.
Postać całkowa: ∮ D d S= Q
S
Postać różniczkowa: div
D=
Przejście z postaci całkowej do różniczkowej:
Jeśli wewnątrz powierzchni zamkniętej znajduje się ładunek o gęstości przestrzennej x , y , z
to ładunek całkowity jest równy Q=∫ dV i prawo Gaussa ma postać: ∮ D d S=∫ dV .
V
S
V
Stosując następnie dla
D twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego: ∮ D d S=∫ div
D d
V ,
S
V
otrzymujemy równanie: ∫div D d
V =∫ dV , które będzie prawdziwe dla dowolnej objętości V
V
V wtedy i tylko wtedy, gdy: div
D= . Widać zatem, że pole elektrostatyczne posiada źródła (dodatnie i ujemne) i tymi źródłami są ładunki (dodatnie i ujemne) rozmieszczone z pewną gęstością x , y , z .
Czwarte równanie Maxwella (prawo Gaussa dla pola magnetycznego) mówi, że nie istnieją w przyrodzie ładunki magnetyczne. Linie indukcji pola magnetycznego są liniami zamkniętymi.
Postać całkowa: ∮ B d S=0
S
Postać różniczkowa: div B=0
Przejście z postaci całkowej do różniczkowej:
Zamieniając (zgodnie z twierdzeniem Gaussa-Ostrogradskiego) całkę powierzchniową w prawie Gaussa na całkę objętościową otrzymujemy: ∮ B d S=∫ div B d
V =0 .
S
V
Tak otrzymany warunek powinien być spełniony dla dowolnie wybranej objętości V . Jest to możliwe tylko w takim przypadku, gdy funkcja podcałkowa jest w każdym punkcie równa zeru.
2
A więc pole magnetyczne ma tę własność, że jego dywergencja jest wszędzie równa zeru: div B=0 . Takie pole nazywamy polem bezźródłowym.
Pełny układ równań Maxwella zawiera także:
–
równania materiałowe czyli związki między wektorami indukcji i natężenia pola, odpowiednio dla pola elektrycznego i magnetycznego:
D= E
0
B= H
0
–
wzór na siłę działającą na ładunek w polu elektromagnetycznym
F = q E v× B
–
prawo Ohma w postaci różniczkowej
j= E
Równania Maxwella dla próżni
Równania Maxwella dla próżni otrzymujemy przy następujących założeniach:
–
względna przenikalność elektryczna =1 i magnetyczna =1
–
przewodnictwo elektryczne =0 i w związku z tym j=0
–
nie istnieją ładunki elektryczne w związku z czym =0
Postać całkowa:
∮
d
E d l=−
B
dt
∮
d
H d l=
D
dt
∮ Ed S=0
S
∮ Bd S=0
S
Postać różniczkowa:
rot E=− ∂ B
∂ t
rot
H = ∂ E
0 ∂ t
div E=0
div B=0
3