Całka potrójna

DEFINICJA (podziału prostopadło cianu)

Podziałem prostopadło cianu

= {

3

R : ( x, y,z )∈

: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , p ≤ z ≤ q}

nazywa si zbiór P zło ony z prostopadło cianów R ,. .,R , n ∈ , które całkowicie 1

n

wypełniaj prostopadło cian R i maj parami rozł czne wn trza.

Przyjmujemy nast puj ce oznaczenia:

x

∆ , y

∆ , ∆ z , k =1 ,. .,n - wymiary prostopadło cianu R

k

k

k

k

d := (∆ x )2 + ( y

∆ )2 + ( z

∆ )2 , k =1 ,. .,n - długo przek tnej prostopadło cianu

k

k

k

k

δ( P) := max{ d : k =1 ,. .,n - rednica podziału P

k

}

Θ := {( x∗ , y∗ ,z∗

=

)∈ R :k =1 ,. .,n - zbiór punktów po rednich podziału P

k

k

k

k

}

DEFINICJA (całki potrójnej po prostopadło cianie)

CAŁK POTRÓJN PO PROSTOPADŁO CIANIE R Z FUNKCJI f ograniczonej na prostopadło cianie R definiuje si wzorem

f ( x, y,z)

n

dxdydz := lim

f ( x∗ , y∗ ,z∗

x

∆

y

∆

z

∆

k

k

k ) (

k ) (

k ) (

k )

δ( P )→0

R

k 1

=

o ile granica jest wła ciwa i nie zale y od wyboru podziału P prostopadło cianu R i punktów po rednich Θ . Mówimy wtedy, e FUNKCJA f JEST CAŁKOWALNA NA PROSTOPADŁO CIANIE R.

UWAGA

Podobnie, jak dla całki podwójnej, zachodz twierdzenia o liniowo ci, addytywno ci wzgl dem obszaru całkowania oraz warunek wystarczaj cy istnienia całki.

TWIERDZENIE (Fubiniego dla całki potrójnej )

(o zamianie całki potrójnej na całki iterowane)

Je eli funkcja f : R → jest całkowalna na prostopadło cianie

R := [ a,b]×[ c,d ]×[ p,q] = D×[ p,q]

q

oraz dla ka dego ( x, y )∈ D istnieje całka f ( x, y,z) dz, to istnieje całka iterowana

p

q

f ( x, y,z) dz dxdy

D

p

i zachodzi równo

q

f ( x, y,z) dxdydz =

f ( x, y,z) dz dxdy

R

D

p

TWIERDZENIE

Je eli funkcja f : R → jest całkowalna na prostopadło cianie

= {

3

R : ( x, y,z )∈

: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , p ≤ z ≤ q}

to

b

d

q

d

b

q

f ( x, y,z) dxdydz =

f ( x, y,z) dz dy dx =

f ( x, y,z) dz dx dy = . .

R

a

c

p

c

a

p

DEFINICJA (całki potrójnej po obszarze ograniczonym)

Niech

3

V ⊂

b dzie obszarem ograniczonym. Niech f :V → b dzie ograniczona na V

oraz niech R ⊃ V b dzie prostopadło cianem zawieraj cym obszar V. Ponadto niech funkcja

∈

∗ (

)

f ( x, y,z) ,

( x, y,z) V

f x, y,z :=

0

,

( x, y,z)∈ R\V

CAŁK POTRÓJN Z FUNKCJI f PO OBSZARZE V definiuje si wzorem

f ( x, y,z) dxdydz :

f ∗

=

( x, y,z) dxdydz

V

R

o ile całka po prawej stronie istnieje. Mówimy wtedy, e FUNKCJA f JEST

CAŁKOWALNA NA OBSZARZE V.

DEFINICJA (obszaru normalnego wzgl dem płaszczyzny)

Obszar domkni ty

3

V ⊂

nazywa si OBSZAREM NORMALNYM WZGL DEM

PŁASZCZYZNY XOY, gdy

V = {( x, y,z)

3

∈

: ( x, y)∈ D , g( x, y ) ≤ z ≤ h( x, y ) ,

XY

}

gdzie D jest obszarem normalnym na płaszczy nie XOY, g, h s funkcjami okre lonymi

XY

i ci głymi na D takimi, e

XY

g( x, y ) < h( x, y ), ( x, y )∈ int D

XY

Obszary normalne wzgl dem płaszczyzn XOZ, YOZ definiuje si analogicznie.

TWIERDZENIE (Fubiniego dla całki potrójnej po obszarze normalnym wzgl dem XOY) Je eli funkcja f :V → jest całkowalna w obszarze

3

V ⊂

normalnym wzgl dem

płaszczyzny XOY, to

h( x ,y )

f ( x, y,z) dxdydz =

f ( x, y,z) dz dxdy

V

DXY g( x,y )

UWAGA

(i) Twierdzenia po pozostałych obszarach normalnych s analogiczne.

(ii) Całka potrójna po OBSZARZE REGULARNYM (jest sko czon sum obszarów normalnych wzgl dem płaszczyzn układu współrz dnych o rozł cznych wn trzach) wyra a si podobnym wzorem jak dla całki podwójnej.

TWIERDZENIE (o zamianie zmiennych w całce potrójnej) Niech

x = ϕ( u,v,w)

(i) przekształcenie ℑ : y = ψ ( u,v,w) , ( u,v,w)∈Ω odwzorowuje ró nowarto ciowo

z = θ( u,v,w)

wn trze obszaru regularnego Ω na wn trze obszaru regularnego V ∋ ( x, y,z)

(ii) funkcje ϕ , ψ , θ maj ci głe pochodne cz stkowe rz du pierwszego na pewnym zbiorze otwartym zawieraj cym obszar Ω

(iii) funkcja f b dzie ci gła na obszarze V

(iv) jacobian

∂ϕ

∂ (

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

u,v,w)

( u,v,w)

( u,v,w)

∂ u

∂

∂ v

∂

∂ w

∂

∂ ϕ ψ θ

∂ψ

∂

∂ψ

∂

∂ψ

∂

J

=

=

ℑ ( u,v , w )

( , , )

∂ ( u,v,w) : det

( u,v,w)

( u,v,w)

( u,v,w)

u

∂

∂ v

∂

∂ w

∂

∂θ

∂ (

∂θ

∂

∂θ

∂

u,v,w )

( u,v,w)

( u,v,w)

∂ u

∂

∂ v

∂

∂ w

∂

jest ró ny od zera wewn trz Ω .

Wtedy

f ( x, y,z )dxdydz =

f (ϕ( u,v,w) , ψ( u,v,w) , θ( u,v,w)) J

ℑ ( u,v , w ) dudvdw

V

Ω

DEFINICJA (współrz dnych walcowych)

Poło enie punktu P w przestrzeni XYZ mo na opisa przy pomocy trójki liczb (ϕ , ρ ,h) ,

gdzie ϕ oznacza miar k ta mi dzy dodatni cz ci osi OX a rzutem promienia wodz cego punktu P na płaszczyzn XOY (ϕ∈[0 , 2π]∨ ϕ∈[−π , π]) ;

Natomiast ρ oznacza odległo rzutu punktu P na płaszczyzn XOY od pocz tku układu współrz dnych (ρ ≥ 0) .

h oznacza odległo , dodatni dla z > 0, ujemn dla z < 0 , punktu P od płaszczyzny XOY

( h∈ ) .

Trójk liczb (

ϕ , ρ , h ) nazywa si WSPÓŁRZ DNYMI WALCOWYMI PUNKTU PRZESTRENI.

z

• P ( x, y,z)

• P

h

h

0

x

ρ

y

ϕ

ρ

ϕ

• P′( x, y, 0)

• P′

x

y

UWAGA (o przekształceniu walcowym)

(i) Współrz dne ( x, y,z) punktu przestrzeni XYZ danego we współrz dnych walcowych (ϕ , ρ ,h) okre lone s wzorami

x = ρ cos ϕ

W : y = ρ sinϕ

z = h

(ii) Przekształcenie W , które ka demu punktowi (ϕ , ρ ,h) przyporz dkowuje punkt ( x, y,z) okre lony powy szymi wzorami nazywa si PRZEKSZTAŁCENIEM WALCOWYM

−ρ sinϕ cosϕ 0

(iii) J

ϕ , ρ ,h = det ρ cos ϕ sinϕ

= ρ > wewn trz prostopadło cianu

W (

)

0

0

0

0

1

Ω = (

{ ϕ , ρ ,h) : 0 ≤ α < ϕ <β ≤ 2π , 0 ≤ ρ ≤ r, h ≤ h ≤ h

1

2 }

(iv)

f ( x, y,z) dxdydz =

f (ρ cos ϕ , ρ sinϕ ,h) d

ρ d

ϕ d

ρ h, V = W (Ω)

V

Ω

DEFINICJA (współrz dnych sferycznych)

Poło enie punktu P w przestrzeni XYZ mo na opisa przy pomocy trójki liczb (ϕ , ψ , ρ) ,

gdzie ϕ oznacza miar k ta mi dzy dodatni cz ci osi OX a rzutem promienia wodz cego punktu P na płaszczyzn XOY (ϕ∈[0 , 2π]∨ ϕ∈[−π , π]) ;

ψ oznacza miar k ta mi dzy płaszczyzn XOY a promieniem wodz cym punktu P

π π

ψ ∈ − ,

.

2 2

Natomiast ρ oznacza odległo punktu P od pocz tku układu współrz dnych (ρ ≥ 0) .

Trójk liczb ( ϕ , ψ , ρ )nazywa si WSPÓŁRZ DNYMI SFERYCZNYMI PUNKTU PRZESTRENI.

z

• P

ρ

• P ( x, y,z)

ρ

ψ

ϕ

•

0 ψ

P′

y

ϕ

• P′( x, y, 0)

ϕ − długo geograficzna

ψ − szeroko geograficzna

x

ρ − promie Ziemi

UWAGA (o przekształceniu sferycznym)

(i) Współrz dne ( x, y,z) punktu przestrzeni XYZ danego we współrz dnych sferycznych (ϕ , ψ , ρ) okre lone s wzorami

x = ρ cos ϕ cos ψ

S : y = ρ sinϕ cos ψ

z = ρ sinψ

(ii) Przekształcenie S , które ka demu punktowi (ϕ , ψ , ρ) przyporz dkowuje punkt ( x, y,z) okre lony powy szymi wzorami nazywa si PRZEKSZTAŁCENIEM

SFERYCZNYM

−ρ sinϕ cos ψ −ρ cosϕ sinψ cos ϕ cos ψ

(iii) J ϕ , ψ , ρ = det ρ cos ϕ cos ψ

−ρ sinϕ sinψ sinϕ cos ψ = ρ cos ψ

s (

)

2

0

ρ cos ψ

sinψ

jest wi kszy od zera wewn trz prostopadło cianu

= (

π

π

Ω

ϕ , ρ ,h) : 0 ≤ α < ϕ < β ≤ 2π , − ≤ γ < ψ < λ ≤ , 0 ≤ ρ ≤ r

2

2

(iv)

f ( x, y,z) dxdydz =

f (ρ cos ϕ cos ψ , ρ sinϕ cos ψ , ρ sinψ) 2

ρ cos ψ d d

ϕ ψ dρ , V = S (Ω)

V

Ω