ZESTAW 5
Całki wielokrotne
Całki krzywoliniowe-Wzór Greena
Pole wektorowe-operatory teorii pola
Równania różniczkowe zwyczajne
GEOLOGIA I rok- semestr zimowy 2008/2009
1. Całka wielokrotna
ZADANIE 1.
1. Obliczyć
ZZ
2 y dxdy,
D
gdzie D jest obszarem ograniczonym przez krzywe
√
y =
x, y = 0 , x + y = 2 .
2. Obliczyć obj¸etość bryły ograniczonej powierzchniami: z = 0 , y = 1 , z = x 2 + y 2 , y = x 2 .
3. Obliczyć obj¸etość bryły ograniczonej powierzchniami: 3 x − y = 2 , x + y = 6 , y = x, z = 2 x + y.
4. Wprowadzając współrzędne biegunowe obliczyć całkę podwójną: Z Z
q
x 2 x 2 + y 2 dσ
D
po obszarze
q
D = {( x, y) : 0 ¬ x ∧ 0 ¬ y ∧
x 2 + y 2 ¬ R}
5. ? Wprowadzając współrzędne sferyczne obliczyć całkę potrójną po wskazanym obszarze: Z Z Z
q
( x 2 + y 2 + z 2) dxdydz, gdzie
V : − 4 − x 2 − y 2 ¬ z ¬ 0 .
V
ZADANIE 2. * Znaleźć środek ciężkości półkuli o promieniu R, której gęstość w każdym punkcie równa się odległości tego punktu od środka podstawy półkuli.
Całki krzywoliniowe-Wzór Greena
Całka krzywoliniowa niezorientowana
ZADANIE 3. Obliczyć masę półokręgu x = 2 cos ϕ, y = 2 sin ϕ gdzie 0 ¬ ϕ ¬ π, którego gęstość w punkcie ( x, y) wynosi x 2 .
ZADANIE 4. Obliczyć masę odcinka łączącego punkty (0 , 0) oraz (3 , 3) , którego gęstość w dowolnym punkcie równa się odległości tego punktu od punktu (0 , 0) .
1
Całka krzywoliniowa zorientowana ZADANIE 5. Obliczyć pracę wykonaną siłą ~
F = [ x 2 , x + y] wzdłuż krzywej L o równaniu x = 3 cos t, y = 2 sin t, gdzie 0 ¬ t ¬ 1 π
2
ZADANIE 6. Obliczyć pracę wykonaną siłą jednostkowa skierowaną do środka układu współ-
rzędnych wzdłuż krzywej y = x 2 od punktu (0 , 0) do punktu ( 3 , 9 ) .
4
16
Wzór Greena
ZADANIE 7. Stosując Twierdzenie Greena obliczyć całkę krzywoliniową Z
xy 2 dx + ( x + y) dy, L
gdzie L jest krzywą o orientacji dodatniej ograniczającej prostokąt n
o
D = ( x, y) : 0 ¬ x ¬ 4 , 0 ¬ y ¬ 3 .
Równania różniczkowe zwyczajne
1. Równania o zmiennych rozdzielonych
• Rozwiąż równanie populacyjne:
y0 = y(1 − y) .
• Rozwiąż równanie:
√
y0 = 2 y.
• Rozwiąż równanie:
y0 = 2 xy 2 − x 2 y0.
• Rozwiąż równanie jednorodne:
dy
x 2 + xy + y 2
=
.
dx
x 2
2. Równania zupełne
• Rozwiąż równanie:
(4 x 3 + 6 xy 3) dx + (9 x 2 y 2 + 3) dy = 0 .
• * (Czynnik całkujący)
91 − x 2 y) dx + x 2( y − x) dy = 0 .
3. Metoda operatorowa rozwiązywania równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych-Transformata Laplace’a
n
o
(a) Wyznacz transformat¸
e Laplace’a L f
dla następujących funkcji f
a)
f ( t) = 1
b)
f ( t) = ect,
gdzie
c ∈
+
Z
c)
f ( t) = sin ωt,
gdzie
ω ∈ R .
n
o
Ponadto dla każdej z transformat F = L f określ dziedzin¸e.
2
(b) Korzystając z tablic oraz własności Transformacji Laplace’a oblicz trans-n
o
formaty L f
następujących funkcji f
i. f = te 2 t,
ii. f = t,
iii. f = cos t,
iv. f = t cos t.
(c) Stosuj¸
ac metod¸
e operatorow¸
a rozwi¸
aż nast¸
epuj¸
ace równania różniczkowe
zwyczajne:
1)
f 00( t) + 2f 0( t) + f ( t) = t 2
z warunkami pocz¸
atkowymi f (0+) = 0 , f 0(0+) = 1.
2)
f 0( t) − f ( t) = sin t z warunkami pocz¸
atkowymi f (0+) = 0 , .
3)
f 0( t) + 3f ( t) = 5 e 2 t z warunkami pocz¸
atkowymi f (0+) = 4.
4)
f 00( t) − 2f 0( t) = t 2 + t − 3 et z warunkami pocz¸
atkowymi f (0+) = 0 , f 0(0+) = 2.
(d) Stosuj¸
ac metod¸
e operatorow¸
a rozwi¸
aż nast¸
epuj¸
ace układy równań róż-
niczkowych zwyczajnych
1)
(
3 dx − 2 dy
= 2x( t) + 3y( t)
dt
dt
,
dx + 4 dy
= − 4x( t) + y( t) dt
dt
gdzie x(0+) = 0 , y(0+) = 1
2)
dx
= x( t) +y( t)
dt
dy
=
y( t)+ z( t) , dt
dz
=
z( t)
dt
gdzie x(0+) = 1 , y(0+) = 0 , z(0+) = 1
3)
(
d 2x + y = 0
dt 2
,
d 2y + x = 1
dtt
0
0
gdzie x(0+) = y(0+) = 1 oraz x (0+) = y (0+) = 0
3