OD ELIPTOIDY DO ELIPSY

Page 1 of 5

OD ELIPTOIDY DO ELIPSY

W latach siedemdziesiątych Newton niemal wcale nie zajmował się mechaniką, wracał do niej tylko

pod wpływem jakiegoś bodźca z zewnątrz. Tak było, gdy otrzymał traktat Huygensa i udowodnił

niektóre jego twierdzenia swoimi metodami. Stosowane przez Huygensa podejście, wykorzystujące

symetrie i unikające sformułowań dynamicznych, było jednak Newtonowi obce.

Pod koniec 1679 roku Newton otrzymał list od Hooke'a, który po śmierci Oldenburga został

sekretarzem Towarzystwa Królewskiego. List zaczynał się niezbyt fortunnym zwrotem:

„stwierdziwszy w naszych Rejestrach, że podobał Pan sobie w korespondencji z Oldenburgiem”, i

zawierał propozycję nawiązania korespondencji „filozoficznej”. Hooke chciał poznać opinię

Newtona na temat swojej teorii ruchu planet oraz teorii sprężystości powietrza.

W odpowiedzi Newton zapewnił Hooke'a, że pożegnał się z filozofią, na którą szkoda mu czasu, i że

nie zna jego hipotezy (co nie było prawdą). Zaproponował również, jakby od niechcenia,

doświadczenie, które mogłoby wykazać ruch wirowy Ziemi.

Chodziło o znany problem kamienia swobodnie spadającego z wysokiej wieży. Newton zwrócił

uwagę, że szybkość obracania się wierzchołka wieży jest większa niż jej podnóża i dlatego upusz-

czony kamień będzie miał większą prędkość w kierunku wschodnim niż punkt u podnóża wieży.

Kamień wyprzedzi więc punkt podnóża wieży i odchyli się nieco, ale w kierunku wschodnim –

odwrotnie, niż przewidywali przeciwnicy ruchu Ziemi. Zdając sobie sprawę z małości tego efektu

obmyślił specjalne środki ostrożności, aby wykryć zjawisko.

Przy okazji stwierdził, że gdyby spadające ciało mogło po osiągnięciu powierzchni Ziemi nadal

spadać swobodnie, to po zatoczeniu spirali spadłoby na centrum Ziemi. Spadanie do centrum Ziemi

było jeszcze jednym klasycznym tematem akademickich rozważań już w średniowieczu. Wielu

autorów spierało się, czy ciało takie zatrzymałoby się w środku Ziemi, czy też powracałoby po

pewnym czasie do jej powierzchni.

Łamiąc daną w swym liście obietnicę dyskrecji Hooke odczytał odpowiedź Newtona na posiedzeniu

Towarzystwa i nie omieszkał publicznie wytknąć mu błędu: ciało spadające swobodnie będzie na

przemian zbliżać się do centrum i wznosić do powierzchni Ziemi, zakreślając całkiem inną krzywą

niż spirala, „rodzaj eliptoidy” – jak ją określił.

Nie trzeba dodawać, że przyłapanie na błędzie zirytowało mocno Newtona. W miarę upływu lat

starał się zminimalizować przyczynę zajścia i trzydzieści lat później w jego opowiadaniach spirala

stała się niedbałym pociągnięciem pióra, które Hooke wziął za spiralę. W odpowiedzi teraz z kolei

Newton poprawił Hooke'a: tor nie będzie zamkniętym owalem, lecz bardziej skomplikowaną figurą

o kształcie rozety, czymś w rodzaju obracającej się elipsy. Jeśli bowiem przyjąć, że grawitacja

pozostaje stała pod powierzchnią Ziemi, to ciało będzie „krążyć kolejno wznosząc się i spadając za

przyczyną swej siły odśrodkowej oraz ciężkości na przemian przeważających jedna nad drugą”.

W odpowiedzi Hooke stwierdza, że nie zakładał, aby grawitacja była stała. Przypuszcza raczej, że

przyciąganie jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od centrum. Nie chodzi mu też o

hipotetyczne ciało pod powierzchnią Ziemi – tam przyciąganie musiałoby maleć – lecz o ruch

planet.

http://www.toya.net.pl/~jerzykierul/Newton/22.htm

2008-03-28

OD ELIPTOIDY DO ELIPSY

Page 2 of 5

Ryc. 20 Wyprowadzenie prawa pól

Hooke znał tylko elementarną matematykę i nie potrafił zweryfikować swojej hipotezy. Próbował

eksperymentować na modelach, ale ostatecznie niczego pewnego nie ustalił. Dla Newtona cenna

okazała się nie tyle sama hipoteza o przyciąganiu i prawie odwrotnych kwadratów (które wiele lat

wcześniej wyprowadził z III prawa Keplera), ile sformułowanie problemu ruchu planet. Dotąd

wyobrażano sobie ruch krzywoliniowy jako rodzaj równowagi: idealnej przy ruchu kołowym,

naruszonej przy ruchu eliptycznym. Hooke zaproponował znaczne uproszczenie pojęciowe: ruch

krzywoliniowy miał być rezultatem działania jednej tylko siły przyciągania. Pod jej działaniem tor

planety byłby stale zakrzywiany do wewnątrz.

Newton nie odpowiedział Hooke'owi, zaczął jednak zastanawiać się nad nową koncepcją ruchu. Jak

zwykle u Newtona oznaczało to budowanie matematycznej teorii. Tak jak kiedyś starał się zmatema-

tyzować zagadnienia zderzeń i siły odśrodkowej kluczowe dla mechaniki kartezjańskiej, tak teraz

nadał matematyczny kształt jakościowym rozważaniom Hooke'a. Sformułował trzy „hipotezy” –

założenia dotyczące zasad ruchu. Pierwsza była prawem bezwładności, druga mówiła, że „zmiana

ruchu jest zawsze proporcjonalna do siły, przez którą [ruch] jest zmieniany”, trzecia wreszcie była

zasadą równoległoboku w odniesieniu do składania ruchów.

Opierając się na tych zasadach udowodnił kilka twierdzeń. Pierwsze z nich głosiło, że jeśli siła

działa stale w kierunku pewnego centrum, to w ruchu ciała obowiązuje prawo pól, tzn. II prawo

Keplera. Aby to wykazać, Newton traktował działanie siły przyciagającej jako ciąg impulsów w

równych odstępach czasu popychających ciało ku centrum. Tor ABC takiego ciała byłby wtedy linią

łamaną (ryc. 20). Pola zakreślane między kolejnymi impulsami są jednakowe, co łatwo udowodnić

za pomocą elementarnej geometrii. Jeśli wyobrazimy sobie następnie, że impulsy stają się coraz

częstsze, tor będzie przybliżał się do ciągłej krzywej, a prawo pól nadal pozostanie słuszne.

Następne twierdzenie dotyczyło ruchu po elipsie. Załóżmy, że ciało porusza się po elipsie zgodnie z

prawami Keplera. Jak siła, która wywołuje ten ruch, zależy od odległości od centrum? Najprostszą

sytuację mamy dla dwóch skrajnych punktów elipsy: najbliższego i najdalszego od centrum siły. W

obu punktach, gdyby nie przyciąganie, ciało poruszałoby się po linii prostej stycznej do elipsy. Pod

wpływem przyciągania ciało odchyla się od stycznej. Aby porównać siły przyciągania w obu

punktach, należy porównać odchylenia od stycznej dla jednakowego, krótkiego czasu (ryc. 21).

Geometria problemu jest taka sama jak w rozważaniach Huygensa (por. ryc. 18) i łatwo stwierdzić,

że odchylenia te są proporcjonalne do kwadratów prędkości ciała w obu punktach. Prędkości te są

zaś, zgodnie z II prawem Keplera, odwrotnie proporcjonalne do odległości obu punktów od centrum

siły. Wobec tego siły przyciągające są w odwrotnym stosunku kwadratów odległości.

Twierdzenie to Newton uogólnił dalej na dowolny punkt keplerowskiej elipsy. W ten sposób

udowodnił, że ruch keplerowski zachodzi pod działaniem przyciągania odwrotnie proporcjonalnego

do odległości. Rozważania te miały stanowić przełom w wyjaśnianiu mechaniki układu planet i

później znalazły się w Principiach. Na razie jednak Newton nie stosował ich do planet, lecz

traktował raczej jako ćwiczenie matematyczne i na kilka lat znowu przestał zajmować się

mechaniką.

http://www.toya.net.pl/~jerzykierul/Newton/22.htm

2008-03-28

OD ELIPTOIDY DO ELIPSY

Page 3 of 5

W kolejnym liście Hooke doniósł o doświadczalnym potwierdzeniu efektu przewidzianego przez

Newtona. Sukces doświadczenia był pozorny – przy spadku z wysokości 9 m w eksperymencie

Hooke'a odchylenie wynosi tylko około 0,3 mm – mniej, niż można było wykryć ówczesnymi

technikami. Newton nie odpowiedział na ten list. Nie pokazał również nikomu swoich twierdzeń o

ruchu eliptycznym.

Pod koniec roku 1680 w całej Europie obserwowano wyjątkowo jasną kometę, która stała się

powodem całej fali publikacji i dyskusji. 1 stycznia 1681 r. „Journal des Sçavants” pisa³:

Ryc. 21 Zależność siły od odległości w ruchu keplerowskim

Wszyscy mówią o komecie. Stanowi ona niewątpliwie najbardziej godne uwagi

wydarzenie początku tego roku. Astronomowie śledzą jej tor, a lud uważa ją za

przepowiednię tysięcy nieszczęść; cyt. w [24].

Uczeni nie podzielali opinii tłumu. W wydanych z okazji komety Pensées diverses

Bayle potraktował lęk przed kometami jako zjawisko społeczne i historyczne. Dlaczego z powodu

śmierci jakiegoś króla miałaby się ukazywać na niebie kometa? Bayle uważa, iż tylko ludzka

próżność mogła podsunąć myśl tak absurdalną – to jakby uznać kobietę wyglądająca przez okno na

ulicy Saint-Honoré za przyczynę przejeżdżania tamtędy powozów. Sceptyk Bayle i pobożny Newton

zgodziliby się obaj, że powszechna opinia znaczy niewiele i kształtowana jest przez pełną przesądów

większość.

W obaleniu wiary w prognostyczną funkcję komet miały swój udział osiągnięcia astronomii. Aż do

XVI w. sądzono, że komety, podobnie jak chmury, tęcza i meteory, należy zaliczyć do zjawisk

„meteorologicznych” zachodzących w sferze podksiężycowej. Dopiero Tycho de Brahe wykazał

pomiarami, że kometa z 1577 r. znajduje się dalej niż Księżyc. Mimo tak wielkiej odległości warko-

cze komet mogą rozciągać się na niebie na wiele stopni. Oznaczało to, że są one dużo większe niż

cała Ziemia, nie mówiąc o królestwach czy miastach na jej powierzchni.

Pojawiła się kwestia określenia toru zakreślanego przez komety i Tycho de Brahe oraz Maestlin,

nauczyciel Keplera, próbowali go obliczyć dla komety z 1577 r. Obaj zakładali orbitę kołową.

Nieudane próby wyjaśnienia ruchu komety na podstawie układu Ptolemeusza spowodowały, że

Maestlin przekonał się do kopernikanizmu, który zaszczepił Keplerowi. Sam Kepler sądził, że ruch

komet powinien odbywać się po liniach prostych, ponieważ nie obserwuje się, aby był on okresowy.

Heweliusz przypuszczał, że komety poruszają się po parabolach – jak rzucone ciała w teorii

Galileusza. Większość astronomów, jak Wren, Auzout i Cassini, uważała ruch komet za

prostoliniowy, choć Cassini szukał danych na temat ewentualnych powrotów tych samych komet w

pobliże Słońca.

Jeśli nawet uczeni nie wierzyli w związek komet z lilipucimi wydarzeniami na Ziemi, to mimo

wszystko narzucało się pytanie o rolę, jaką spełniają w świecie te gigantyczne i efemeryczne ciała.

Zawsze prozaiczny Kartezjusz chciał w nich widzieć zabłąkane planety, rodzaj kosmicznych

odpadków. Newton miał im przypisać znacznie szlachetniejszą funkcję w Bożym planie.

http://www.toya.net.pl/~jerzykierul/Newton/22.htm

2008-03-28

OD ELIPTOIDY DO ELIPSY

Page 4 of 5

Zainteresowanie Newtona kometą 1680 r. było wyjątkowo żywe. Pomimo swej krótkowzroczności

sam prowadził obserwacje komety przez wklęsłą soczewkę używaną jako monokl, a potem przez lu-

netę. Zbierał informacje od innych obserwatorów. Mierzył również położenia komety mikrometrem

„zbudowanym dość prymitywnie”, lecz pozwalającym na pomiar z błędem nie przekraczającym

jednej minuty kątowej. Kometę widziano najpierw do przejścia przez perihelium i później po kilku

tygodniach ponownie. Powszechnie sądzono, że są to dwie różne komety. Odmienną opinię wypo-

wiadał Królewski Astronom John Flamsteed, który miał własną teorię jej ruchu. Kometa miała być

unoszona w słonecznym wirze i jednocześnie przyciągana do Słońca, a następnie od niego odpycha-

na siłą magnetyczną. W rezultacie miała zakreślać tor zwrócony wypukłością ku Słońcu (ryc. 22).

W nie wysłanym liście do Flamsteeda Newton argumentował, że w żadnej chwili prędkość komety

nie może być skierowana do Słońca, ponieważ przyciągana przez Słońce musiałaby na nie spaść po

linii prostej. Z tego powodu krzywa Flamsteeda jest nie do przyjęcia. Jedyny możliwy tor zbliżania

się i oddalania od Słońca to linia krzywa obejmująca Słońce (ryc. 23). Ponadto

choć mogę łatwo dopuścić moc przyciągającą w Słońcu, dzięki której planety

powstrzymywane są w swym biegu od oddalenia się od niego wzdłuż linii stycznych, to

jednak mniej skłonny jestem przypuścić, że owo przyciąganie jest natury magnetycznej,

ponieważ Słońce jest ogromnie gorącym ciałem, a ciała magnetyczne rozgrzane do

czerwoności tracą swe zdolności [43].

W odróżnieniu od swych uczonych kolegów Newton nieskłonny był przypisywać Słońcu jakiegoś

innego, odmiennego rodzaju magnetyzmu niż ten znany na Ziemi, a ziemskie magnesy istotnie tracą

swe właściwości po ogrzaniu.

Ryc. 22 Ruch komety wg Flamsteeda

Ryc. 23 Ruch komety wg Newtona

W liście tym zarówno opis ruchu jako odchylania od linii prostej, jak i opis ruchu przez siłę

odśrodkową równoważącą się z siłą przyciągania występują razem – świadcząc o pojęciowym

zamieszaniu, z którego sam Newton nie zdawał sobie chyba jasno sprawy. Choć gotów był rozważać

przyciągającą zdolność Słońca, to nie łączył jej z ruchem planet, tak jak nie odnosił do ruchu planet

i komet swoich niedawno udowodnionych twierdzeń. Newton bronił też w wysłanej ostatecznie

wersji listu poglądu, że komety były dwie, co dodatkowo świadczy o jego wahaniach w tym okresie.

Rękopisy wskazują, że próbował dla komety lat 1680–1681 znaleźć prostoliniowy tor na podstawie

czterech obserwacji, korzystając z wymyślonej przez siebie metody. Być może niepowodzenie tych

obliczeń wpłynęło na późniejszą zmianę poglądu i przyjęcie orbity zakrzywiającej się wokół Słońca.

Kilka następnych lat nie przyniosło żadnych niemal wyników dotyczących ruchu. Sytuacja wydaje

się z perspektywy czasu paradoksalna: Newton dysponował wszystkimi elementami potrzebnymi do

stworzenia matematycznej teorii ruchu planet i komet, a jednak wszystkie te elementy wciąż istniały

oddzielnie, nie łącząc się w żadną całość.

http://www.toya.net.pl/~jerzykierul/Newton/22.htm

2008-03-28

OD ELIPTOIDY DO ELIPSY

Page 5 of 5

powrót do strony głównej

http://www.toya.net.pl/~jerzykierul/Newton/22.htm

2008-03-28