Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2
dr Jolanta Dymkowska
Całka podwójna - zastosowania - ciąg dalszy
Zad.1 Za pomocą całki podwójnej oblicz pole płata powierzchniowego:
1.1 części sfery x2 + y2 + z2 = 2 zawartej wewnątrz stożka x2 + y2 = z2
1.2 części sfery x2 + y2 + z2 = 4 zawartej wewnątrz walca x2 + 4y2 = 4
1.3 części paraboloidy z = 1 − x2 − y2 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 1
1.4 części walca x2 + z2 = 9 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 9
p
1.5 części stożka z =
x2 + y2 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 4
1.6 części sfery x2 + y2 + z2 = 4 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 2x
1.7 części paraboloidy z = x2 + y2 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 1
9
4
9
4
Zad.2 Oblicz pole powierzchni 2x + 2y + z = 8 odciętej płaszczyznami układu współrzędnych.
√
Zad.3 Oblicz pole powierzchni walcowej z = x2 odciętej płaszczyznami y = 2x, y = 3x, x =
2.
Zad.4 Oblicz pole powierzchni z = 3x + 4y + 5 odciętej płaszczyznami x = 0, = 1, y = 0, y = 1.
Zad.5 Oblicz masy obszarów o podanych gęstościach:
5.1 D = (x, y) ∈
2
R
: 0 6 x 6 π, 0 6 y 6 sin x ,
%(x, y) = x
5.2 D = (x, y) ∈
2
R
: x > 0, y > 0, x + y 6 2 ,
%(x, y) = xy
5.3 D = (x, y) ∈
2
R
: 1 6 x2 + y2 6 4, y > 0 ,
%(x, y) = |x|
n
o
5.4 D =
(x, y) ∈
2
R
: 1 6 x2 + y2 6 3, x > 0, y > x
,
%(x, y) = x
16
4
y5
Zad.6 Oblicz współrzędne środka ciężkości obszarów jednorodnych ograniczonych krzywymi: 6.1 x + y = 5, x = 0, y = 0
6.2 y = ln x, y = 0, x = e
√
6.3 y =
1 − x2, x = 0, y = 0, dla x > 0
6.4
x2 + y2 2 = 2xy dla x, y > 0
6.5 r = 1 + cos ϕ dla ϕ ∈ [0, π]
6.6 r = 2 sin 2ϕ dla 0 6 ϕ 6 π2
Zad.7 Oblicz momenty bezwładności jednorodnego kwadratu o boku 1 względem jego przekątnych.
Zad.8 Oblicz moment bezwładności względem początku układu współrzędnych jednorodnego koła x2 + y2 = 2x.