Opracował: Lesław Dereń

Zakład Teorii Obwodów

Instytut Telekomunikacji, Teleinformatyki i Akustyki Politechnika Wrocławska

Prawa autorskie zastrzeżone

Temat 4

Funkcje układów SLS

Zad. 1.

Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rys. 1.1., jeżeli pobudzeniem jest napięcie u t , a reakcją — napięcie u t . Określić położenie zer i biegu-2 ( )

1 ( )

nów tej funkcji oraz wyznaczyć charakterystykę impulsową.

R

3

Dane:

C

C

1

2

1

R = Ω, R = 2 Ω, R = 1 Ω,

1

4

2

3

C = 1F, C = 1F.

1

2

u ( t)

R

R

u ( t)

1

1

2

2

U

s

2

H ( s)

( )

=

= ?

U

s

1 ( )

Rys. 1.1

Rozwiązanie:

Dołączmy do zacisków wejściowych źródło prądowe i utwórzmy operatorowy schemat zastępczy powstałego układu. Pamiętamy, że zgodnie z definicją funkcji transmitancji, warunki początkowe mają być zerowe.

R 3

Schemat ten pokazano na rys. 1.2. Jeżeli

wybierzemy węzeł odniesienia i ponu-

C

C

1

2

1

3

2

merujemy pozostałe węzły tak, jak to

zaznaczono na schemacie, to obwód ten I ( s) U ( s)

U ( s)

U ( s)

można

opisać

następującym

układem

R

R

z0

1

3

1

2

2

równań na napięcia węzłowe:

Rys. 1.2.



1

1



sC



+

−

− sC

1

1

R

R



3

3

 U s   I

s 





1 ( )

z0 ( )

1

1

1













−

sC +

+

− sC

U

s

=

0

.

2

2

 2 ( )

R

R

R











3

2

3

U



s 



0





  3 ( ) 



1



sC

sC

sC

sC



−

−

+

+

1

2

1

2



R 

1

W celu znalezienia poszukiwanej funkcji transmitancji należy z powyższego układu równań wyznaczyć napięcia U s i U

s . Na podstawie wzorów Cramera otrzymujemy: 1 ( )

2 ( )

∆ I s

∆ I s

U

s =

, U

s =

,

1 ( )

11 z 0 ( )

2 ( )

12 z 0 ( )

∆

∆

gdzie ∆ jest wyznacznikiem głównym układu równań (wyznacznikiem macierzy admitancji węzłowych), natomiast ∆

i ∆ — dopełnieniami algebraicznymi odpowiednich 11

12

elementów tej macierzy. Po uproszczeniu otrzymujemy:

ĆWICZENIA Z TECHNIKI ANALOGOWEJ 1 — TEMAT 4

2

∆

H ( s) U s

2 ( )

=

=

.

U s

∆

1 ( )

12

11

Kolejno obliczamy:

1 

1 

C

C

2

2

1

2

1

∆





+

= − −  sC + sC +  − s C C  = s C C + s

+

,

12

1

2

1

2

1

2

R





R 

R

R R

3

1



3

1

3

1

1

1

2

2

∆







=  sC +

+

 sC + sC +

 − s C =

11

2

1

2

2



R

R 

R 

2

3

1



C









2

2

1

1

1

1

1

= s C C + s 

+ C + C 

+

 +



+

 ,

1

2

( 1 2 )

R



 R

R 

R



 R

R 

1

2

3

1

2

3

i ostatecznie

C + C

2

1

2

1

s C C + s

+

+ +

H ( s)

1

2

2

R

R R

3

1

3

s

2 s

4

=

=

.

 C









+ +

s C C + s 

+ ( C + C )

2

s

7 s 6

2

2

1

1

1

1

1



+

 +



+



1

2

1

2

R



 R

R 

R



 R

R 

1

2

3

1

2

3

Otrzymana funkcja transmitancji jest funkcją wymierną zmiennej zespolonej s. Jej biegunami są pierwiastki wielomianu mianownika, czyli liczby s

= −1 i s = −6 ,

1

p

p 2

natomiast zerami — pierwiastki licznika, czyli liczby s = 1

− − j 3 i s = 1

− + j 3 .

z 1

z 2

Charakterystyką impulsową układu jest funkcja:

( )

1

−

= L { ( )} = ( ) 1

δ

+ ( − t

6

3e − 28e− t

h t

H s

t

)1( t).

5

Zad. 2.

Obliczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rys. 2.1., jeżeli pobudzeniem jest napięcie u t , a reakcją — napięcie u t . Wyznaczyć charakterystyki 2 ( )

1 ( )

widmowe — amplitudową i fazową. Sporządzić wykresy tych charakterystyk.

C

R

1

1

Dane:

u ( t)

U

s

C

R

u ( t)

H ( s)

2 ( )

=

=

=

=

1

2

?

R

R

1 Ω,

2

2

U s

1

2

1 ( )

C = C =

1 F.

1

2

Rys. 2.1.

Rozwiązanie:

Z dzielnika napięcia otrzymujemy

1

1

sC +

U ( s)

2

R 2

=

U

s ,

2

1 ( )

1

1

R +

+

1

sC

1

1

sC +

2

R 2

czyli

ĆWICZENIA Z TECHNIKI ANALOGOWEJ 1 — TEMAT 4

3

1

1

s

sC +

H ( s) U ( s)

2

R

C R

2

=

=

=

,

U

s

1

1





1 ( )

2

2

1

2

1

1

1

1

R +

+

1

+ 

+

+

 +

1

s

s

sC 1

C R

C R

C R

C C R R

sC +





2

1

2

2

1

1

1

2

1

2

2

R 2

a po podstawieniu danych liczbowych

( )

s

H s = 2

s + 3 s + .

1

Charakterystykę widmową otrzymamy po podstawieniu s = jω (układ jest oczywiście układem stabilnym w sensie BIBO). Otrzymujemy

ω

θ ω

H ( ω )

j

j

=

= A ω e

2

( ) j ( )

1− ω +

,

3jω

gdzie:

ω

A(ω ) = H ( jω ) =

— charakterystyka amplitudowa,

(1−ω )2

2

2

+ 9ω

( )

−ω

θ ω =

H ( ω )

2

1

arg

j

= arc tg

— charakterystyka fazowa.

3ω

Wykresy wyznaczonych charakterystyk zostały przedstawione na rys. 2.2. Ze względu na parzystość funkcji A(ω) i nieparzystość θ (ω ) charakterystyki te zwykle rysuje się tylko dla dodatnich ω. Wykresy wykonane zostały w programie MAPLE.

Charakterystyka amplitudowa

Charakterystyka fazowa

Rys. 2.2.

ĆWICZENIA Z TECHNIKI ANALOGOWEJ 1 — TEMAT 4

4

Zad. 3.

Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rys. 3.1. Pobudzeniem jest napięcie u t , a reakcją — napięcie u t . Określić, dla jakich wartości α układ ten 2 ( )

1 ( )

będzie stabilny w sensie BIBO.

Dane:

α

U

s

R = 4 Ω, R = 1 Ω,

i ( t )

H ( s)

2 ( )

=

=

1

2

?

U

s

1

L = 4 H, C =

F.

1 ( )

4

Rys. 3.1.

Rozwiązanie:

Operatorowy

schemat

zastępczy

układu (z dołączonym do zacisków

wejściowych

źródłem

napięciowym)

przedstawiono na rys. 3.2. Układ ten

α I ( s)

można opisać następującym układem

równań na napięcia węzłowe (węzeł

odniesienia i numerację pozostałych

Rys. 3.2

węzłów zaznaczono na rysunku):





1

0

0



  U s   E s 





1 ( )

( )

α

1

α













sC +

− sC −

U

s

=

0



.

2 ( )

R

R

R











1

2

1

U



s 

 0 



  3 ( ) 



1

1

1



sC

sC



−

−

+

+

 R

R

sL 

1

1

Zwracamy uwagę, że pierwsze równanie nie jest równaniem wynikającym z I prawa Kirchhoffa. Dla pierwszego węzła nie można takiego równania ułożyć, ponieważ prąd płynący przez źródło napięciowe jest nieznany. Równanie to zostało zastąpione dosyć oczywistym równaniem U s = E s .

1 ( )

( )

Poszukiwana funkcja transmitancji ma postać:

2

∆

α − +α

α −

+α

H ( s)

2

R

s LC(

1)

1 s

12

2

(

)

= ∆ = −

= −

,

R



R







−α

+ +

11

1

L

5

s

5 s

4

2

s LC 1+



(1−α )

(

) 2

2

+ s



 CR +

 s +1

2



R





R 

1

1

gdzie ∆

i ∆ są odpowiednimi dopełnieniami algebraicznymi macierzy admitancji 12

11

węzłowych.

Układ będzie BIBO stabilny gdy mianownik funkcji transmitancji będzie wielomianem Hurwitza. Wielomian ten jest stopnia 2, więc będzie on wielomianem Hurwitza wtedy i tylko wtedy, gdy jego współczynniki będą tego samego znaku, co sprowadza się do warunku: R

R

2

1+

(1−α )

1

> 0, czyli α <1+

, czyli dla zadanych wartości liczbowych α < 5 .

R

R

1

2

ĆWICZENIA Z TECHNIKI ANALOGOWEJ 1 — TEMAT 4

5

Zad. 4.

Wyznaczyć operatorową transmitancję napięciową układu przedstawionego na rys. 4.1.

Elementem aktywnym jest źródło napięciowe sterowane napięciem, o współczynniku sterowania k. Zbadać dla jakich wartości k układ ten będzie BIBO stabilny.

C 2

R

R

1

2

k

U

s

2

u ( t)

C

u ( t)

H ( s)

( )

=

= ?

1

1

2

U

s

1 ( )

Rys. 4.1.

Rozwiązanie:

Obwodowy schemat zastępczy źródła sterowanego przedstawiono na rys. 4.2. Po jego uwzględnieniu, operatorowy schemat zastępczy analizowanego układu ma postać pokazaną na rys. 4.3. Zwracamy uwagę, że w powstałym obwodzie nie moż na napisać równań wynikających z I prawa Kirchhoffa dla

węzłów 1 i 2. Równaniami dla tych węzłów

k

będą odpowiednio:

U

kU

U

U

U

1

1

2

1

2

U

s = E s ,

1 ( )

( )

U = kU

U

s = kU

s .

Rys. 4.2.

2

1

2 ( )

4 (

)

C

R

2

1

1

3

2

R

U ( s)

2

3

E( s)

kU ( s)

4

U ( s)

4

1

U ( s)

4

C

U ( s)

2

1

Rys. 4.3.

Układ równań na napięcia węzłowe ma postać:

 1

0

0

0







0

1

0

 U s

k



 E s 

−

1 ( )

( )



 









1

1

1

1

 U

s

0

 2 ( )

sC

sC





−

−

+

+

−



=

.

(•)

2

2

R

R

R

R









1

1

2

2

U

s

0

3





( )











1

1  U



−

+



s   0 

4

0

0

sC

( )

1



R

R 



2

2 

Z równań tych, po obliczeniu odpowiednich dopełnień algebraicznych macierzy współczynników, otrzymujemy:

ĆWICZENIA Z TECHNIKI ANALOGOWEJ 1 — TEMAT 4

6

( ) U s ∆

2 ( )

12

k

H s =

=

=

.

U

s

∆

s C C R R + s  C R + R + 1− k C R 



 +1

1 ( )

2

11

1

2

1

2

1 (

1

2 )

(

) 2 1

Układ będzie BIBO stabilny gdy mianownik funkcji transmitancji będzie wielomianem Hurwitza. Wielomian ten jest stopnia 2, więc będzie on wielomianem Hurwitza wtedy i tylko wtedy, gdy jego współczynniki będą tego samego znaku, co sprowadza się do warunku: ( + )+ (

C 

R 

C

R

R

1 − k )

1

2

C R > 0, czyli

k <

1+

 + 1.

1

1

2

2

1

C 

R 

2

1

Układ równań (•) można ułożyć bezpośrednio na podstawie schematu z rys. 4.1, bez potrzeby rysowania obwodowego schematu zastę pczego. Zachęcamy do treningu!

Przyjmijmy następujące wartości elementów w układzie 1

2

R = R = 1Ω, C = F, C = F oraz k = 1.

1

2

1

2

2

3

Wówczas

H ( s)

1

=

.

2

1 s + s +1

3

Jest to transmitancja filtru Bessela II rzędu. Filtr taki charakteryzuje się maksymalną liniowością charakterystyki fazowej, przy niezbyt dobrych, niestety, własnościach tłumieniowych. Charakterystykę amplitudową i fazową takiego filtru (wykreślone w programie MAPLE) przedstawiono na rys. 4.4.

Charakterystyka amplitudowa

Charakterystyka fazowa

Rys. 4.4.

Zad. 5.

Obliczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rys. 5.1., jeżeli pobudzeniem jest napięcie u ( t , a reakcją — napięcie u t . Wyznaczyć charakterystykę 2( )

1

)

impulsową i charakterystyki widmowe — amplitudową i fazową. Sporządzić wykresy tych charakterystyk.

R 1

L

Dane:

u ( t)

u ( t)

=

=

U

s

R

1Ω,

R

1 Ω,

1

2

1

C

R 2

2

H ( s)

2 ( )

=

= ?

U

s

=

=

1 ( )

L

2 H,

C

2 F.

Rys. 5.1.

ĆWICZENIA Z TECHNIKI ANALOGOWEJ 1 — TEMAT 4

7

Wynik:

H ( s)

0,5

=

,

2

s + 2 s +1

−

h ( t )

2

2

t

2

2

=

e

sin

t ⋅1( t),

2

2

A(ω )

0, 5

=

,

4

1+ ω

( )

2

2ω

1− ω

θ ω = −arc tg

− arccos

.

2

2

1− ω

1− ω

Zad. 6.

Obliczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rys. 6.1., jeżeli pobudzeniem jest napięcie u ( t , a reakcją — napięcie u t .

2( )

1

)

R

C 1

1

U

s

2

u ( t

u t

H ( s)

( )

=

= ?

2( )

1

)

C

R 2

2

U

s

1 (

)

Rys. 6.1.

s

R C

Wynik:

H ( s)

1

2

=

.

 1

1  1

1 

1

2

s + s 

+



+

 +

R C

C



 R

R 

R R C C

2

1

2

1

2



1

2

1

2

Zad. 7.

Obliczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rys. 7.1., jeżeli pobudzeniem jest napięcie u ( t , a reakcją — napięcie u t .

2( )

1

)

C 1

R 1

U

s

u t

u t

(

H ( s)

2 (

)

=

= ?

2( )

1

)

R

C

2

2

U

s

1 (

)

Rys. 7.1.

s

R C

Wynik:

H ( s)

1

2

=

.

 1

1  1

1 

1

2

s + s 

+



+

 +

R C

R



 C

C 

R R C C

1

1

2

1

2



1

2

1

2

ĆWICZENIA Z TECHNIKI ANALOGOWEJ 1 — TEMAT 4

8

Zad. 8.

Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rys. 8.1., jeżeli pobudzeniem jest napięcie u ( t , a reakcją — prąd i t . Określić warunki BIBO stabilności 2( )

1

)

tego układu.

γ u( t)

Dane :

R 1

= Ω

= Ω

R

1 ,

R

1 ,

1

2

R

i t

L = 1H, C = 1F, γ = 3S.

2( )

2

u ( t

u ( t )

I

s

2

1

)

C

L

H ( s)

( )

=

U

s

1 ( )

Rys. 8.1.

4

Wynik:

H ( s) =

.

2

s + 2 s + 5

Zad. 9.

Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rys. 9.1., jeżeli pobudzeniem jest napięcie u ( t , a reakcją — prąd i t . Określić warunki BIBO stabilności 2( )

1

)

tego układu.

R

i t

1

L

( )

Dane :

i t

2( )

R = 1Ω, R = 1 ,

Ω

R

1

2

2

L = 1H, C = 1F, ρ = 3 .

Ω

u ( t

1

)

C

ρ

I

s

i ( t )

H ( s)

2 ( )

= U s

1 ( )

Rys. 9.1

4 s

Wynik:

H ( s) =

.

2

s + 2 s + 5

Zad. 10.

Wyznaczyć operatorową transmitancję układu przedstawionego na rys. 10.1.

Pobudzeniem jest napięcie u t , a reakcją — napięcie u t . Określić, dla jakich wartości α

2 ( )

1 ( )

układ ten będzie BIBO stabilny.

Dane:

U

s

1

2

R = Ω, R = 1Ω,

H s =

= ?

1

2

( )

( )

2

U

s

1 ( )

α i( t)

C = 1F, C = 2 Ω.

1

2

Rys. 10.1.

ĆWICZENIA Z TECHNIKI ANALOGOWEJ 1 — TEMAT 4

9

Wynik:

−α

+ −α

− α + −α

H ( s)

sC

R

R

1

1 2

s 1

2 (

1

2 )

(

)

= C

=

.

1 sC C R + C + 1−α C

s + 3 −α

1

2

1

2

(

) 1

C

Układ będzie BIBO stabilny gdy

2

α <1+

= 3.

C 1

Zad. 11.

Wyznaczyć operatorowe transmitancje napięciowe układów przedstawionych na rys. 11.1. W obu układach elementem aktywnym jest źródło napięciowe sterowane napięciem, o współczynniku sterowania k (schemat zastępczy jak na rys. 4.2.). Zbadać dla jakich wartości k układy te będą BIBO stabilne.

R 1

C

C

1

2

k

U

s

u ( t)

2

R

u ( t)

H ( s)

( )

=

= ?

1

2

2

U

s

1 (

)

(a)

R

2

C

R

2

1

k

U

s

u ( t)

C

2

R

u ( t)

H ( s)

( )

=

= ?

1

1

2

3

U

s

1 ( )

(b)

Rys. 11.1

Wynik:

2

s C C R R

a)

H ( s)

1

2

1

2

= k

.

2

s C C R R + s  R C + C + 1− k C R 



 +1

1

2

1

2

1 (

1

2 )

(

) 2 2

C R

R

Układ BIBO stabilny gdy

1

1

1

k <

+

+1.

C R

R

2

2

2

sC R R

b)

H ( s)

2

2

3

= k

.

2

s C C R R R + s C

 R R + C R R + C R R + 1− k C R R 



 + R + R

1

2

1

2

3

1

1

2

2

1

2

2

2

3

(

) 2 1 3

1

2

C R

R

R

Układ BIBO stabilny gdy

1

2

2

2

k <

+

+

+1.

C R

R

R

2

3

1

3