Metody Numeryczne METODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewonski@polsl.pl Pok. 151 Wykład 2/1 Metody Numeryczne Aproksymacja funkcji jednej zmiennej Wykład 2/2 Aproksymacja funkcji jednej zmiennej Dana jest funkcja jednej zmiennej y = f (x) gdzie x [a,b] Funkcja ta podana jest w postaci wzoru analitycznego lub w postaci zbioru punktów f (x1) = y1, f (x2) = y2, ... , f (xn) = yn Celem aproksymacji jest dobór takiej funkcji F(x, p0, ... , pk ), x [a,b] aby w sensie przyjętego kryterium funkcja ta możliwie dokładnie odtwarzała przebieg funkcji f (x). Wykład 2/3 Aproksymacja funkcji jednej zmiennej Jeżeli funkcja dana jest w postaci dyskretnej (zbioru punktów) to aproksymację nazywamy punktową, a jeżeli w postaci wzoru analitycznego, to mówimy o aproksymacji integralnej. Wykład 2/4 Aproksymacja funkcji jednej zmiennej Kryteria aproksymacji punktowej dla funkcji jednej zmiennej konstruuje się tak, aby zminimalizować różnice pomiędzy wartościami danej funkcji f (x) w punktach (xi, yi), i = 1, 2 ,& , n a wartościami funkcji F (x, p0, & , pk ) w tych samych punktach. Wprowadzamy pojęcie odchyłki: ei = F(xi, p0, ... , pk ) - yi min, i =1,2,...,n Należy tak dobrać parametry p0, & , pk wzoru empirycznego, aby spełnione było kryterium minimalizacji odchyłki. Wykład 2/5 Aproksymacja funkcji jednej zmiennej Wykład 2/6 Aproksymacja funkcji jednej zmiennej W literaturze można spotkać następujące kryteria minimalizacji odchyłek " metoda wybranych punktów, " metoda średnich, " metoda sumowania bezwzględnych wartości, " metoda najmniejszych kwadratów. Wykład 2/7 Metoda najmniejszych kwadratów Kryterium tej metody polega na takim doborze współczynników funkcji F (x, p0, & , pk ), aby nn 2 2 S( p0, ... , pk ) = F(xi, p0, ... , pk ) - yi min [ ] e = i i=1 i=1 Wykład 2/8 Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej Rozpatrujemy zbiór punktów (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) którego aproksymacją ma być funkcja liniowa y = p0 + p1x Zgodnie z kryterium metody najmniejszych kwadratów n 2 S( p0, p1) = p0 + p1xi - yi = min ( )
i=1 Wykład 2/9 Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej Warunkiem koniecznym dla istnienia ekstremum funkcji dwóch zmiennych jest zerowanie się odpowiednich pochodnych cząstkowych: śS( p0, p1)
= 0
śp0
śS( p0, p1)
= 0
śp1
Otrzymujemy zatem następujący układ równań: n śS ( )
śp = 2 i=1 p0 + p1xi - yi =0
0
n śS
= 2 p0 + p1xi - yi xi =0 ( )
śp1 i=1
Wykład 2/10 Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej Układ ten można zapisać w następującej postaci: nn
p0 n + p1 yi x = i
i=1 i=1
n n n 2
p0 x + p1x = x yi i i i
i=1 i=1 i=1 lub macierzowo: nn ł n yi ś x ł p0 ł i ę ś ę
i=1 i=1 ę ś ę ś = ę ś n n n p1 ę 2 x x ś ęx yi ś i i i ę ś ę ś i=1 i=1 i=1 Wykład 2/11 Aproksymacja liniowa funkcji jednej zmiennej Rozwiązując układ równań dowolną metodą można obliczyć parametry p0 i p1 np.: -1 X P = Y P = X Y Wykład 2/12 Aproksymacja kwadratowa funkcji jednej zmiennej Przykład 1: Dla zbioru punktów Pi (xi, yi ), i =1,2, ... ,n dobrać wzór aproksymujący w postaci: y = p0 + p1x + p2x2 Wykład 2/13 Aproksymacja kwadratowa funkcji jednej zmiennej Wykorzystując kryterium metody najmniejszych kwadratów 2 n S( p0, p1, p2) = p0 + p1 xi + p2 xi2 - yi = min ( )
i=1 możemy zapisać następujący układ równań: n
śS p0 + p1 xi + p2 xi2 - yi 1 = 0 ( )
śp = 2 i=1 0
n
śS = 2 p0 + p1 xi + p2 xi2 - yi xi = 0 ( )
i=1 śp1 n
śS = 2 p0 + p1 xi + p2 xi2 - yi xi2 = 0 ( )
i=1 śp2 Wykład 2/14 Aproksymacja kwadratowa funkcji jednej zmiennej Zapis macierzowy: n n n ł 2 n yi ś x x ł i i ę ś ę i=1 i=1 ę ś ś p0 łę ni=1 n n n ę 23
x x x ś ę p1 ś = ęx yi ś i i i ę ś ę śę i=1 i ś i=1 i=1 i=1 ę ś ś p2 ę śę n ę n n n ę 2 3 4 2 x x x ś x yi ś i i i i ę ś ę ś i=1 i=1 i=1 i=1 Z powyższego układu równań wyznacza się p0, p1, p2. Wykład 2/15 Aproksymacja funkcji jednej zmiennej Przykład 2: Dla zbioru punktów Pi (xi, yi ), i =1,2, ... ,n dobrać wzór aproksymujący w postaci: 1 y = b0 + b1 + b2 x2 x2 Wykład 2/16 Aproksymacja funkcji jednej zmiennej Wykorzystując kryterium metody najmniejszych kwadratów 2 n ć 1 S(b0,b1,b2) = Łb + b1 xi2 + b2 xi2 - yi ł = min 0 i=1 zapisujemy następujący układ równań: n
i=1 2 śb Wykład 2/17 Aproksymacja funkcji jednej zmiennej Zapis macierzowy: nn n 1 ł 2 n yi ś x ł
ę ę xi2 i=1 i ś i=1 i=1 ę ś ę ś b0 ł n n n ę ś ę ś 11 yi ęb ś n =
1 ę ś ę ę ś xi2 i=1 xi4 xi2 ś i=1 i=1 ę ś ę ś ę ś b2 n n n ę ś ę ś 2 4 2 n ęx x ś ęx yi ś i i i i=1 i=1 i=1 Z powyższego układu równań wyznacza się b0, b1, b2. Wykład 2/18 Metody Numeryczne Interpolacja funkcji jednej zmiennej Wykład 2/19 Interpolacja - definicja Dana jest funkcja: y = f (x) , x x0 , xn [ ] dla której znamy tablicę jej wartości f (x0) = y0 , f (x1) = y1, ..., f (xn) = yn Wartości tworzące n +1 par punktów (x0, y0),(x1, y1), ...,(xn, yn) zwane są węzłami interpolacji. Wykład 2/20 Interpolacja - definicja Celem interpolacji jest wyznaczenie takiej funkcji W(x), aby: W (x0) = y0, W (x1) = y1,..., W (xn) = yn Funkcja ta nazywana jest wielomianem interpolacyjnym i węzłach interpolacji przyjmuje takie same wartości co funkcja y = f (x). Wykład 2/21 Interpolacja - definicja Wielomian interpolacyjny definiuje się jako kombinację liniową n + 1 funkcji bazowych i współczynników ai n W (x) =i a ji (x) i=0 ai współczynniki wielomianu interpolacyjnego ji(x) przyjęte funkcje bazowe Wykład 2/22 Interpolacja - definicja Definiując: Ś = j0(x),j1(x),j2(x),...,jn(x) [ ] j0(x0) j1(x0) ... jn(x0) a0 y0 ł ł ł ęj (x1) j1(x1) ... jn(x1)ś ęa ś ę ś y1 0 1 ęś ę ś ę ś X = A = Y = ... ... ... ... ęś ę ś ę ś ęj (xn) j1(xn) ... jn(xn)ś ęa ś ę ś yn 0 n wtedy: XA = Y W (x) = F X-1Y Wykład 2/23 Interpolacja naturalna Funkcje bazowe: j0(x) = x0 =1, j1(x) = x, j2(x) = x2, ..., jn(x) = xn Postać wielomianu interpolacyjnego: W (x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn Wykład 2/24 Interpolacja naturalna Opierając się na warunku koniecznym istnienia interpolacji: 2 n a0 + a1x0 + a2x0 + ...+ anx0 = y0 2 n a0 + a1x1 + a2x1 + ...+ anx1 = y1 2 n a0 + a1xn + a2xn + ...+ anxn = yn można zapisać, że n a0 y0 ł ł ł 1 x0 ... x0 ę1 x1 ... x1 ś ęa ś ę ś n y1 1 ęś ę ś ę ś A X = Y A = Y = X = ę... ... ... ... ś ę ś ę ś ęś ęa ś ę ś n yn n 1 xn ... xn Wykład 2/25 Interpolacja naturalna Przykład Dla podanych węzłów zapisz: " macierze układu równań, z których wyznacza się współczynniki wielomianu interpolacyjnego dla interpolacji wielomianowej " wielomian interpolacyjny Węzły: (1,3) (-2,5) (4,7) (x0, y0) (x1, y1) (x2, y2) Wykład 2/26 Interpolacja naturalna 0 1 2 ł x0 x0 x0 a0 y0 ł ł ęx0 x1 x1 ś 1 1 ęa ś ę ś = y1 1 1 ęś ę ś ę ś 0 2 ęx2 x1 x2 ś y2 ę ś ę ś 2 a2