STATYKA
Cel statyki
Celem statyki jest zastąpienie dowolnego układu sił innym, równoważnym układem sił, w tym układem złożonym z jednej
tylko siły i jednej pary sił (redukcja do siły i momentu głównego) lub zbadanie warunków, jakie musi spełniać układ sił,
aby ciało będące pod jego działaniem, było w równowadze (warunki równowagi układu).
Prof. Edmund Wittbrodt
Równoważne układy sił
Dowolny układ sił możemy zastąpić równoważnym układem sił. Warunkiem jest, aby siła i moment wypadkowy
(sumaryczny) układu równoważnego i wyjściowego były sobie równe.
Każdy układ sił można zredukować do układu złożonego z jednej tylko siły, zwanej siłą główną, i jednego momentu,
zwanego momentem głównym.
Siłę główną dowolnego układu sił obliczamy z zależności
n
W = ,
"Pi
i=1
zaś moment główny
n
M = + ri × Pi ) .
0 "(M i
M
z i
i=1
i
Pi
ri
MO
W
y
O
x
Siły Pi oraz momenty M działające na bryłę i odpowiadająca im siła główna W i moment główny M
i 0
Prof. Edmund Wittbrodt
Warunki równowagi układów sił
Dowolny układ sił
Mówimy, że układ sił działających na bryłę (punkt materialny) jest w równowadze, jeżeli pod wpływem tego układu sił
bryła (punkt materialny) nie zmienia swojego ruchu (pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym).
Ponieważ dowolny układ sił można zredukować do siły głównej i momentu głównego, warunkiem koniecznym i
dostatecznym równowagi dowolnego układu sił jest zerowanie się głównej siły i głównego momentu, co zapisujemy
(rys.):
n
W = = 0 , (2.1)
"Pi
i=1
n
MO = × Pi = 0 . (2.2)
"ri
i=1
M
z
i
i
Pi
ri
MO
W
y
O
x
Bryła oraz działająca na nią siła główna W i moment główny MO
Prof. Edmund Wittbrodt
Warunki równowagi można przedstawić w postaci rzutów na osie dowolnego prostokątnego układu odniesienia. Stąd
zamiast dwóch równań wektorowych uzyskujemy sześć równań analitycznych, równoważnych im:
z
Pzi
Pi
i
Pyi
Pxi
y
zi
xi
yi
x
Siła Pi działająca na bryłę, jej składowe Pxi , Pyi , Pzi oraz współrzędne punktu działania siły xi, yi, zi
n n n
= 0, = 0 , = 0 , (2.3)-(2.5)
"Pxi "Pyi "Pzi
i=1 i=1 i=1
n n n n n n
= = Pxi - xi Pzi ) = 0 , = Pyi - yi Pxi ) = 0 . (2.6-(2.8)
"M xi "( yiPzi - zi Pyi ) = 0 , "M yi "(zi "M zi "(xi
i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1
Analitycznym warunkiem równowagi dowolnego układu sił jest zerowanie się sum rzutów wszystkich sił na
poszczególne osie dowolnego układu odniesienia x, y, z oraz zerowanie się sum momentów wszystkich sił wokół tych
osi.
Rozpatrując równowagę bryły, będącej pod działaniem dowolnego układu sił, możemy mieć najwyżej 6 niewiadomych,
ponieważ do dyspozycji mamy tylko 6 równań równowagi.
Prof. Edmund Wittbrodt
Szczególne przypadki układów sił
W praktyce najczęściej mamy do czynienia z układami prostszymi niż układy przestrzenne dowolne. Zaliczamy do nich
układy sił: płaskie, zbieżne, działające wzdłuż jednej prostej, itp.
Płaski dowolny układ sił
W przypadku, gdy wszystkie siły rozpatrywanego układu leżą w jednej płaszczyz
nie x, y, to równania (2.5), (2.6) i (2.7)
stają się trywialne (0 = 0) i pozostają tylko trzy równania równowagi:
n n n n
= 0, = 0 , = Pyi - yi Pxi ) = 0 . (2.9)-(2.11)
"Pxi "Pyi "M zi "(xi
i=1 i=1 i=1 i=1
P1
Pi
y
i
ri
yi Pn
O x
xi
Płaski dowolny układ sił
Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi płaskiego dowolnego układu sił jest zerowanie się sum rzutów sił na
dwie nierównoległe (np. prostopadłe w układzie prostokątnym) osie leżące w płaszczyz
nie działania sił oraz
zerowanie się sumy momentów tych sił względem dowolnie obranego punktu O, leżącego na tej płaszczyz
nie.
Rozpatrując płaski dowolny układ sił możemy mieć tylko trzy niewiadome.
Prof. Edmund Wittbrodt
Przestrzenny zbieżny układ sił
W przypadku, gdy linie działania wszystkich sił przecinają się w jednym punkcie, to spełnienie trzech pierwszych równań
równowagi (2.3)  (2.5) powoduje, zgodnie z twierdzeniem Varignona, że pozostałe trzy równania (2.6)  (2.8) będą
spełnione automatycznie. Tak więc dla rozpatrywanego układu sił (rys. 2.4) mamy trzy równania równowagi:
n n n
= 0, = 0 , = 0 . (2.12)-(2.14)
"Pxi "Pyi "Pzi
i=1 i=1 i=1
P1 P2
z
Pn
i
y
x
Przestrzenny zbieżny układ sił
Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi przestrzennego zbieżnego układu sił jest zerowanie się sum rzutów
sił na osie dowolnego układu współrzędnych x, y, z.
Rozpatrując przestrzenny zbieżny układ sił możemy mieć tylko trzy niewiadome.
Prof. Edmund Wittbrodt
Płaski zbieżny układ sił
W przypadku, gdy wszystkie siły układu działają w jednej płaszczyz
nie xy oraz ich linie działania przecinają się w jednym
punkcie (rys. 2.5), to równanie (2.14) staje się trywialne i mamy tylko dwa równania równowagi:
n
= 0, (2.15)
"Pxi
i=1
n
= 0 . (2.16)
"Pyi
i=1
y
P2
Pn
P1
x
Płaski zbieżny układ sił
Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi płaskiego zbieżnego układu sił jest zerowanie się sum rzutów sił na
osie układu prostokątnego, leżącego w płaszczyz
nie działania tych sił.
Rozpatrując płaski zbieżny układ sił możemy mieć tylko dwie niewiadome.
Prof. Edmund Wittbrodt
Układ sił działających na jednej prostej
Jeżeli wszystkie siły rozpatrywanego układu leżą na jednej prostej, np. osi x, to równanie (2.16) staje się trywialne i
pozostaje tylko jedno równanie
n
= 0. (2.17)
"Pxi
i=1
x
Pn
P2
P1
Układ sił działających na jednej prostej
Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi układu sił leżących na jednej prostej jest zerowanie się sumy rzutów
sił na oś równoległą do linii działania sił.
Rozpatrując układ sił działających na jednej prostej możemy mieć tylko jedną niewiadomą.
Prof. Edmund Wittbrodt
Przestrzenny równoległy układ sił
Jeżeli wszystkie siły rozpatrywanego układu są równoległe do osi z, to równania (2.3), (2.4) i (2.8) są równaniami
trywialnymi. Mamy więc tylko trzy równania równowagi:
n
= 0 , (2.18)
"Pzi
i=1
n n
= (2.19)
"M xi "( yiPzi - zi Pyi ) = 0 ,
i=1 i=1
n n
= Pxi - xiPzi ) = 0 . (2.20)
"M yi "(zi
i=1 i=1
z
P1
Pn
P2
y
x
Przestrzenny równoległy układ sił
Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi przestrzennego równoległego układu sił jest zerowanie się sumy
rzutów sił na oś równoległą do sił oraz sum momentów względem pozostałych osi.
Rozpatrując przestrzenny równoległy układ sił możemy mieć tylko trzy niewiadome.
Prof. Edmund Wittbrodt
Płaski równoległy układ sił
Jeżeli wszystkie siły rozpatrywanego układu leżą w płaszczyz
nie xy oraz dodatkowo są równoległe do osi x (rys. 2.8), to
równanie (2.10) jest trywialne i mamy dwa równania równowagi:
n
= 0, (2.21)
"Pxi
i=1
n n
= Pyi - yiPxi ) = 0 . (2.22)
"M zi "(xi
i=1 i=1
y
P1
P2
x
Pn
Płaski równoległy układ sił
Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi płaskiego równoległego układu sił jest zerowanie się sumy rzutów sił
na oś równoległą do sił oraz zerowanie się sumy momentów względem dowolnie obranego punktu O, leżącego w
płaszczyz
nie działania sił.
Rozpatrując płaski równoległy układ sił możemy mieć tylko dwie niewiadome.
Prof. Edmund Wittbrodt
Zestawienie warunków równowagi układów sił
Układ sił Schemat układu sił Równania równowagi
"P = 0
xi
z
"P = 0
yi
P2
P1
"P = 0
zi
y
"M = 0
xi
x
P3
Pn
"M = 0
yi
= 0
"Mzi
z
P1
P3
"P = 0
xi
"P = 0
yi
P2
Pn "P = 0
zi
y
x
z
P2
"P = 0
zi
P3
Pn
"M = 0
xi
P1
y
"M = 0
yi
x
y P2
"P = 0
xi
Pn
"P = 0
yi
A
P1 P3
x
"M = 0
Ai
Prof. Edmund Wittbrodt
zbieżny przestrzenny
dowolny przestrzenny
równoległy
przestrzenny
płaski
dowolny
P1
y
P3
"P = 0
xi
P2
"P = 0
yi
Pn
x
y
Pn
P2 "P = 0
yi
P3
P1
= 0
"MAi
A
x
Pn
x
P3
P2
"P = 0
xi
P1
Ponadto:
2 SIA
Y
Jeżeli układ dwóch sił jest w równowadze, to siły te muszą być dwójką zerową
3 SIA
Y
Jeżeli układ trzech sił jest w równowadze, to linie działania tych sił muszą przecinać się w jednym punkcie i leżeć w jednej
płaszczyz
nie (muszą stanowić płaski zbieżny układ sił)
Prof. Edmund Wittbrodt
płaski
prostej
działający na jednej
równoległy
zbieżny płaski