Golan MSc


Uniwersytet Wrocławski
Wydział Fizyki i Astronomii
Instytut Fizyki Teoretycznej
Rozpraszanie elektronów na jądrze
w przybliżeniu impulsowym
Autor:
Tomasz Golan
praca magisterska napisana pod kierunkiem:
prof. dr. hab. Jana Sobczyka
Spis treści
1 Wstęp 1
2 Przekrój czynny 3
2.1 Macierz przejścia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Przybliżenie jednofotonowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Przybliżenie impulsowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Wyliczenie przekroju czynnego . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Tarcza - swobodny nukleon 13
3.1 Wyliczenie tensora L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Wyliczenie tensora H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Wyliczenie LH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Gaz Fermiego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4 Nukleon końcowy w bazie momentu pedu 27
4.1 Równanie Diraca z potencjałem centralnym . . . . . . . . . . 27
4.1.1 Część kątowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1.2 Równania różniczkowe na f(r) i g(r) . . . . . . . . . . 32
4.2 Cząstka swobodna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
4.3 Tensor hadronowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5 Podsumowanie 53
Streszczenie
Celem pracy jest przygotowanie do obliczania przekroju czyn-
nego w formalizmie DWIA (Distorted Wave Impulse Appro-
ximation), poprzez ustalenie normalizacji funkcji falowej w
bazie momentu pędu. Pierwsza część pracy jest poświęcona
rachunkom prowadzonym w bazie pędowej. Zostanie wyliczo-
ny inkluzywny przekrój czynny dla rozpraszanie elektronu na
pojedynczym nukleonie, następnie otrzymany wynik będzie
uogólniony na przypadek jądra opisywanego jako gaz Fer-
miego oraz porównany z danymi doświadczalnymi. W drugiej
części pracy zostaną przeprowadzone analogiczne rachunki w
bazie momentu pędu. Przy odpowiedniej normalizacji funk-
cji falowej otrzymany wynik musi być identyczny. W pracy
uzyskano niemal całkowitą zgodność wyników, za wyjątkiem
czynnika normalizacyjnego, który dla bazy momentu pędu
jest formalnie nieskończonoscią.
1 Wstęp
Istnienie neutrina zostało zapostulowane w latach 30-tych ubiegłego wieku
przez Wolfganga Pauliego w celu ratowania zasady zachowania energii i za-
sady zachowania momentu pędu w procesie rozpadu beta neutronu. Jego
istnienie zostało doświadczalnie potwierdzone w 1956 roku w eksperymen-
cie przeprowadzonym przez Frederica Reinesa i Clyde a Cowana1. Jako zró-
dło antyneutrin wykorzystali oni reaktor jądrowy, a za detektor posłużył im
zbiornik wypełniony wodą. Idea doświadczenia była prosta: podczas odwrot-
nego rozpadu beta oddziaływanie antyneutrina z protonem skutkuje produk-
cją neutronu i pozytonu; pozyton, poruszając się w ośrodku materialnym,
szybko spotka na swej drodze elektron, co zaowocuje powstaniem dwóch fo-
tonów, natomiast neutron zostanie zaabsorbowany przez jądro, co przyczy-
ni się do powstania nowego jądra w stanie wzbudzonym, które po upływie
pewnego czasu wyemituje kolejne fotony. W ten sposób obserwacja neutrin
sprowadzona została do detekcji fotonów w koincydencji czasowej.
Kolejne przełomowe odkrycia związane z neutrinami miały miejsce dopie-
ro na przełomie XX i XXI wieku, gdy odkryto tzw. oscylacje neutrin, które
polegają na samoistnej zamianie jednego rodzaju neutrina w inne. Zjawisko
to, zaproponowane po raz pierwszy przez Pontecrovo, było odpowiedzią na
problem deficytu neutrin słonecznych. W latach 70-tych Raymund Davis i
John Bahcall zauważyli, że do Ziemi dociera znacznie mniej neutrin słonecz-
nych, niż sugerowały to rozważania teoretyczne. Zjawisko oscylacji, które jest
fascynujące samo w sobie, niesie za sobą poważne konsekwencje, ponieważ
jest możliwe tylko wtedy, gdy neutrina posiadają masę. Było to zaskakują-
ce odkrycie, ponieważ przez niespełna 70 lat uważano neutrino za cząstkę
pozbawioną masy. W takim też przekonaniu budowano model standardowy.
Nota bene można rozszerzyć model standardowy tak, aby uwzględniał masę
neutrina, przez wprowadzenie neutrin prawoskrętnych.
Mimo przeprowadzonych do tej pory wielu doświadczeń z udziałem neu-
trin, wciąż nie wiemy o nich wszystkiego. Mamy nadzieję, że zbliżające się
eksperymenty, takie jak T2K, wyjaśnią nie roztrzygnięte jeszcze kwestie. W
tym celu chcielibyśmy dysponować jak najlepszym modelem teoretycznym,
opisującym zderzenia neutrin z jądrami atomowymi. Dysponujemy dobrą
efektywną teorią, pozwalającą opisać nam rozpraszanie neutrina na pojedyn-
czym nukleonie, jednak rozważając rozpraszanie na jądrze, musimy uwzględ-
nić procesy zachodzące wewnątrz jądra. Najprostszym modelem jest gaz Fer-
miego, jednak ma on raczej charakter pierwszego przybliżenia. Lepszy opis
oddziaływań nukleonu w jądrze wprowadza się przez funkcję spektralną oraz
1
Eksperyment potwierdził istnienie antyneutrin.
1
uwzględnienie oddziaływań w stanie końcowym, tzw. FSI (Final State Inte-
raction).
Motywacją do napisania tej pracy jest opis zderzeń neutrin z jądrami ato-
mowymi w przybliżeniu DWIA (Distorted Wave Impulse Approximation). W
przybliżeniu impulsowym przyjmuje się, że padająca cząstka oddziałuje z po-
jedynczym nukleonem, co jest uzasadnione w przypadku neutrin o energiach
większych od 1GeV , kiedy typowe przekazy pędu są wystarczająco duże. W
DWIA nukleon początkowy traktuje się jak cząstkę swobodną, a oddziaływa-
nie wybitego nukleonu z jądrem końcowym wprowadza się przez odpowiedni
potencjał (np. Woodsa-Saxona).
Modelowanie oddziaływań wewnątrz jądra poprzez potencjał wiąże się z
koniecznością korzystania z rozwiązania równania Diraca w bazie momentu
pędu. Celem pracy jest zapoznanie się z formalizmem niezbędnym do prze-
prowadzenia rachunków w DWIA oraz ustalenie odpowiedniej normalizacji
funkcji falowej.
W pierwszej części pracy zostanie wyliczony inkluzywny przekrój czynny
dla jądra opisywanego jako gaz Fermiego, wszystkie cząstki będą opisywane
przez fale płaskie. Następnie zostaną przeprowadzone analogiczne rachunki
w sytuacji, gdy nukleon końcowy będzie traktowany jak cząstka swobodna,
ale opisany przez rozwiązanie równania Diraca w bazie momentu pędu.
Z uwagi na szkoleniowy charakter pracy, która jest jedynie przygotowa-
niem do właściwych rachunków, rozpatrzony zostanie proces rozpraszania
elektronów na jądrze. Dlaczego? Po pierwsze obliczenia są mniej złożone.
Po drugie dysponujemy większą liczbą danych pomiarowych dla elektronów,
dzięku czemu łatwiej skonfrontować końcowy wynik z doświadczeniem. Bio-
rąc pod uwagę, że głównym celem jest sprawdzenie konkretnego modelu ją-
dra, taki zabieg wydaje się jak najbardziej uzasadniony - jeśli opis jądra
sprawdzi się w przypadku elektronów, to nie ma powodów, aby sądzić, że
będzie inaczej w procesach z udziałem neutrin.
Chcąc w przyszłości liczyć przekrój czynny w DWIA, musimy najpierw
znać normalizację funkcji falowej w bazie momentu pędu. Celem pracy jest
jej ustalenie poprzez wyliczenie inkluzywnego przekroju czynnego dla roz-
praszania elektronu na jądrze w bazie pędowej i w bazie momentu pędu
oraz ich porównanie. Osobny rozdział poświęcimy dla gazu Fermiego, w celu
sprawdzenia otrzymanego rezultatu, poprzez porównanie z danymi doświad-
czalnymi.
2
2 Przekrój czynny
2.1 Macierz przejścia
Aby zająć się obliczaniem przekroju czynnego, musimy najpierw odpowie-
dzieć sobie na pytanie, jak w formalizmie kwantowej teorii pola liczyć prawdo-
podobieństwo zderzenia. Wiemy, że elektrony uczestniczą w oddziaływaniach
elektromagnetycznych, realizowanych poprzez wymianę wirtualnego fotonu.
Na początek rozważymy sytuację ogólną. Właściwe rachunki będą wykony-
wane w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń, czyli w tzw. przybliżeniu jen-
dofotonowym.
Lagranżjan oddziaływania w przypadku oddziaływań pól Diraca z ze-
wnętrznym polem elektromagnetycznym ma postać
Ż
Lint = jA = -e(x)ł(x)A(x) (2.1)
Zakładamy, że oddziaływanie zachodzi w skończonym czasie, tj. gdy t
ą" cząstki są oddalone od siebie na odległość na tyle dużą, że uniemożli-
wia im ona oddziaływanie i traktujemy je jak cząstki swobodne. Zgodnie z
konwencją możemy wprowadzić swobodne pola asymptotyczne
(in)(x) = lim (x) (2.2)
x0-"
(out)(x) = lim (x) (2.3)
x0"
Pola asymptotyczne działają w różnych przestrzeniach Hilberta, co ozna-
cza, że stany początkowy |i (in) " Hin i końcowy |f (out) " Hout. Aby wyli-
czyć amplitudę prawdopodobieństwa f|i (in), musimy znalezć operator
(out)
unitarny S taki, że
(out)(x) = S-1(in)(x)S (2.4)
co umożliwi nam przejście z jednej bazy w drugą
|f (out) = S-1 |f (in) = S |f (in) (2.5)
|i (in) = S |i (out) (2.6)
i pozwoli wyliczyć amplitudę prawdopodobieństwa
f|i (in) =(out) f|S|i (out) =(in) f|S|i (in) a" Sfi (2.7)
(out)
3
W celu wyznaczenia macierzy S rozważymy ewolucję czasową pola od-
działującego (x). Takie podejście można znalezć w [2].
(t, = U(t)-1(in)(t, (2.8)
x) x)U(t)
W tym miejscu trzeba zachować szczególną ostrożność przy interpretacji
(x). Pola swobodne spełniają jednoczasowe kanoniczne związki komutacyj-
Ł Ł
ne [(in)(t, (in)(t, 2 )] = i3( x a pola oddziałujące [(t, (t, 2 )] =
x), x x- 2 ), x), x
i
3( - 2 ), więc (2.8) może być prawdziwe tylko wtedy, gdy przez (x) ro-
x x
Z3
1/2
zumiemy pola zrenormalizowane (x) Z3 (x).
Z równania (2.2) wynika, że U(t) musi spełniać
lim U(t) = 1 (2.9)
t-"
a z (2.4)
lim U(t) = S (2.10)
t"
W kwantowej teorii pola pracujemy w obrazie oddziaływania, czyli dla
pola (x) zachodzi
"
(t, = i [H(t), (t, (2.11)
x) x)]
"t
i analogicznie dla pola (in)2

"
(in)
(in)(t, = i H0 (t), (in)(t, (2.12)
x) x)
"t
Co więcej, z (2.8) wynika, że
U(t)H(t)U-1(t) = H(in)(t) (2.13)
Wykorzystując powyższe równania możemy zapisać
2
Przez H(in)(t) rozumiemy hamiltonian wyrażony przez pola asymptotyczne.
4

" " dU(t)
(in)(t, = U(t)(t, x)U-1(t)
x) x)U-1(t) = (t,
"t "t dt
"(t, dU-1(t)
x)
x)
+ U(t) U-1(t) + U(t)(t,
"t dt
dU(t)
= U-1(t)U(t)(t,
x)U-1(t)
dt
+ iU(t) [H(t), (t, U-1(t) (2.14)
x)]
dU-1(t)
+ U(t)(t,
x)U-1(t)U(t)
dt

dU(t)
= U-1(t)(in)(t, + i H(in)(t), (in)(t,
x) x)
dt
dU-1(t)
+ (in)(t,
x)U(t)
dt
Z unitarności operatora U(t) wynika
dU(t) U-1(t)
U-1(t) + U(t) = 0 (2.15)
dt dt
co w połączeniu z (2.12) i (2.14) daje


dU(t)
(in)
i H0 (t), (in)(t, = U-1(t) + iH(in)(t), (in)(t, (2.16)
x) x)
dt

dU(t)
(in) (in)
! i = H(in)(t) - H0 (t) U(t) = Hint (t)U(t) (2.17)
dt
Jeżeli scałkujemy obie strony równania po czasie w granicach od -" do t,
to (mając na uwadze (2.9)) otrzymamy całkowe równanie iteracyjne na U(t)
t
(in)
U(t) = 1 - i dt1Hint (t1)U(t1) (2.18)
-"
co w oczywisty sposób prowadzi do
1
t t t
(in) (in) (in)
U(t) = 1 - i dt1Hint (t1) + (-i)2 dt1 dt2Hint (t1)Hint (t2) + ...
-" -" "
1
t t tn-1

(in) (in) (in)
+ (-i)n dt1 dt2... dtnHint (t1)Hint (t2)...Hint (tn) + ...
" " "
(2.19)
5
Wykorzystując twierdzenie Dysona, (2.19) możemy zapisać w postaci
(por. [2] rozdz. 4-1-4)
t t t
"


(-i)n
(in) (in) (in)
U(t) = dt1 dt2... dtnT Hint (t1)Hint (t2)...Hint (tn)
n!
n=0
-" -" -"
ł łł
t
(in)
ł-i dt2 Hint (t2 )ł
a" T exp
-"
(2.20)
gdzie T oznacza iloczyn chronologiczny. Zgodnie z (2.10) macierz przejścia
wynosi3
ł łł

"
ł-i dtHint(t)ł = T exp i d4xLint(x) (2.21)
S = lim U(t) = T exp
t"
-"
Jest to ogólne wyrażenie na macierz przejścia, które teoretycznie umożli-
wia wyliczenie amplitudy prawdopodobieństwa f|S|i dla dowolnego proce-
su. W obliczeniach korzysta się z rachunku perturbacyjnego, który prowadzi
do wprowadzenia diagramów Feynmana. W wyższych rzędach rachunku za-
burzeń, pojawiające się diagramy pętlowe prowadzą do nieskończoności, przez
co konieczne jest sięganie po procedurę renormalizacji.
W przypadku zderzeń elektronów (neutrin) z nukleonami wyniki otrzy-
mane w pierwszym rzędzie rachunku zaburzeń są na tyle zadowalające, że
nie ma potrzeby korzystania z wyższych rzędów.
2.2 Przybliżenie jednofotonowe
W poprzednim podrozdziale wyprowadziliśmy ogólne wyrażenie na macierz
przejścia (2.21). W przypadku rozważanych przez nas procesów wystarcza-
jące jest ograniczenie się do pierwszego rzędu rachunku zaburzeń, w którym
macierz S przyjmuje postać4

S = 1 + i d4xj(x)A(x) (2.22)
3
Osiągnęliśmy nasz cel, czyli wyraziliśmy wszystko przez pola swobodne. Od tej pory
będziemy opuszczać indeks (in).
4
Będziemy rozważać tylko takie procesy, w których stan końcowy jest różny od począt-
kowego, więc 1 będziemy od tej pory pomijać.
6
gdzie j(x) jest prądem leptonowym.
Jeżeli zródłem pola elektromagnetycznego A(x) jest prąd hadronowy
J(x), to z równań Maxwell a mamy
A(x) = J(x) (2.23)
Aby macierz przejścia wyrazić przez prąd hadronowy, skorzystamy z funkcji
Greena (por. [3] rozdz. 7.4)

d4q e-iq(x-y)
DF (x - y) = - (2.24)
(2Ą)4 q2 + i
która w oczywisty sposób spełnia
DF (x - y) = 4(x - y) (2.25)
Pole A(x) możemy wyrazić przez

A(x) = d4yDF (x - y)J(y) (2.26)
Tak zadane pole elektromagnetyczne spełnia (2.23) i umożliwia zapisanie
macierzy przejścia w postaci

S = i d4xj(x)A(x) = i d4x d4yj(x)DF (x - y)J(y)
(2.27)
d4q e-iq(x-y)
= -i d4x d4y j(x) J(y)
(2Ą)4 q2 + i
2.3 Przybliżenie impulsowe
Gdy rozpatrujemy rozpraszanie wysokoenergetycznych elektronów, czyli ta-
kich których energia jest na tyle duża, że odpowiadająca im długość fali de
Broglie a jest mniejsza niż typowa odległość między nukleonami w jądrze,
uzasadnione jest stosowanie IA (Impulse Approximation), czyli założenia, że
elektron oddziałuje z pojedynczym nukleonem.
Elektron padający i rozproszony będziemy traktować jak fale płaskie o

czteropędach odpowiednio k = (E, k) i k2 = (E2 , Na razie abstrahujemy
k2 ).
od modelu jądra i przyjmujemy jedynie, że nukleon początkowy |i oraz koń-
cowy |f są stanami własnymi hamiltonianu o energiach odpowiednio Ei i
Ef . Zgodnie z (2.27) macierz Sfi wynosi
7

d4q 1
Sfi a" f|S|i = -i d4x d4y k2 |j(x)|k f|J(y)|i e-iq(x-y)
(2Ą)4 q2
(2.28)
Hamiltonian jest generatorem translacji w czasie, więc prądy: leptonowy
i hadronowy możemy wyrazić przez
0 0
j(x) = e-iHx j( 0)eiHx (2.29)
x,
0 0
J(y) = e-iHy J( 0)eiHy (2.30)
y,
Jeżeli skorzystamy dodatkowo ze znanej własności dla stanów własnych ha-
miltonianu
H| = E| ! eiHt| = eiEt| (2.31)
to

d4q 1
0 0
Sfi = -i d4x d4y k2 |e-iHx j( 0)eiHx |k
x,
(2Ą)4 q2
0 0
f|e-iHy J( 0)eiHy |i e-iq(x-y)
y,

d4q 1
= -i d4x d4y k2 |j( 0)|k f|J( 0)|i
x, y,
(2Ą)4 q2
q( y)
x-
0 0
ei e-ix (q0+E2 -E)e-iy (Ef -Ei-q0)

d4q 1
= -i d3x d3y k2 |j( 0)|k f|J( 0)|i
x, y,
(2Ą)4 q2
q( y)
x-
ei (2Ą)(q0 + E2 - E)(2Ą)(Ef - Ei - q0)

d3q 1
= -i d3x d3y k2 |j( 0)|k f|J( 0)|i
x, y,
(2Ą)2 q2
q( y)
x-
ei (Ef + E2 - E - Ei)
(2.32)
Przy czym  a" q0 = E - E2 = Ef - Ei. Stany leptonowe |k i |k2 mają
określony pęd, czyli zachodzi dla nich
Ć

x x
eiP |k = eik |k (2.33)
Ć
2

x x
eiP |k2 = eik |k2 (2.34)
8
Ć Ć

x x
Wykorzystując j( 0) = eiP j(0)e-iP , otrzymamy
x,

Ć Ć
d3q 1

x x
Sfi = -i d3x d3y k2 |eiP j(0)e-iP |k f|J( 0)|i
y,
(2Ą)2 q2
q( y)
x-
ei (Ef + E2 - E - Ei)

d3q 1
= -i d3x d3y k2 |j(0)|k f|J( 0)|i
y,
(2Ą)2 q2
q x( k2 -
y q)
e-i e-i k- (Ef + E2 - E - Ei)

d3q 1
= -i d3y k2 |j(0)|k f|J( 0)|i
y,
(2Ą)2 q2
q
y

e-i (2Ą)33( - k2 - q)(Ef + E2 - E - Ei)
k

2Ąi
q
y
= - k2 |j(0)|k (Ef + E2 - E - Ei) d3y f|J( 0)|i e-i
y,
q2
(2.35)
2.4 Wyliczenie przekroju czynnego
W fizyce cząstek elementarnych wielkością mierzalną, przez co szczególnie in-
teresującą, jest przekrój czynny, który określa stosunek prawdopodobieństwo
zajścia oddziaływania do ilości centrów rozpraszania. Zanim jednak przej-
dziemy do obliczania przekroju czynnego, zwróćmy uwagę, że w wyrażeniu
na amplitudę prawdopodobieństwa Sfi pojawia się delta Diraca, która jest
dystrybucją, a ponieważ nie potrafimy mnożyć przez siebie dystrybucji, nie
jesteśmy w stanie podnieść delty Diraca do kwadratu, a co za tym idzie,
obliczyć prawdopodobieństwa P = |Sfi|2. Aby obejść ten problem, możemy
ograniczyć czas oddziaływania do przedziału (-T/2, T/2). Mamy wtedy
T
/2
1 T
1-E2)t
T (E1 - E2) = dtei(E = E ,E2 (2.36)
1
(2Ą) 2Ą
-T /2
Analogicznie zamkniemy świat w pudełku o objętości V = L3 i nałożymy
periodyczne warunki brzegowe, tj. zerowanie się funkcji falowej na ścianach
2Ą
pudła. Wtedy pęd przyjmuje wartości dyskretne p = (n1, n2, n3), a pędowa

L
delta Diraca jest równa

1 V
3 p1- x
p2)
V ( - p2) = d3xei( = p ,p2 (2.37)
p1
1
(2Ą)3 (2Ą)3
V
9
Taka operacja umożliwia nam podniesienie delt do kwadratu
2
2 V
V
3 3
V ( - p2) = p , = V ( - p2) (2.38)
p1 p1
p2
1
(2Ą)3 (2Ą)3
2
T T
[T (E1 - E2)]2 = E ,E2 = T (E1 - E2) (2.39)
1
2Ą 2Ą
Wykorzystując powyższą własność oraz (2.35), otrzymujemy
2

2ĄT (Ef + E2 - E - Ei)T
q
y

|Sfi|2 = | k2 |j(0)|k |2 d3y f|J(
y)|i e-i

q4
(2.40)
Różniczkowy przekrój czynny definujemy jako (por. [4] rozdz. 3.4)
dP 1
d = (2.41)
T Ć
gdzie dP = P dN = |Sfi|2dN jest prawdopodobieństwem zajścia oddziały-
wania, a dN jest gęstością stanów końcowych. W przypadku zderzeń dwóch
cząstek strumień Ć zdefiniowany jest jako iloczyn gęstości 1/V oraz prędkości
5
względnej

(p1p2)2 - m2m2
1 2
u = (2.42)
E1E1
V
W objętości V gęstość końcowych stanów leptonowych wynosi d3k2 .
(2Ą)3
Gęstość hadronowych stanów końcowych oznaczmy przez d, przez co ro-
zumiemy sumowanie po wszystkich dyskretnych i całkowanie po ciągłych
stopniach swobody. Gdy nukleon końcowy będziemy opisywać falą płaską,
pojawią się 3 pędowe stopnie swobody, czyli d <" d3p2 . W drugim podejściu
nukleon będzie zadany przez funkcję falową w bazie momentu pędu, wte-
dy stopniami swobody będzie energia oraz całkowity momentu pędu i jego

trzecia składowa, czyli d <" dEf .
jM
V
Przy takim oznaczeniu dN = d3k2 d, a różniczkowy przekrój czynny
(2Ą)3
2 2

2ĄT (Ef + E2 - E - Ei) V
q
y

d = | k2 |j(0)|k |2 d3y f|J( d3k2 d
y)|i e-i

q4 (2Ą)3
(2.43)
Na tym etapie przekrój czynny nie zależy już od czasu, więc nic nie stoi na
przeszkodzie, aby dokonać przejścia T ", co prowadzi do
5
W procesach, które będziemy rozważać, u H" 1.
10
T (Ef + E2 - E - Ei) (Ef + E2 - E - Ei) (2.44)
Rozważamy procesy z udziałem wysokoenergetycznych elektronów, więc bez

żadnych konsekwencji możemy pominąć ich masę, czyli E2 2 = k2 2 + m2 H" k2 2,
a co za tym idzie
d3k2 = k2 2dk2 d&! = E2 2dE2 d&! (2.45)
Zanim przejdziemy do dalszych rachunków, zwróćmy uwagę, że w skończonej
objętości V znormalizowane funkcje falowe dla fermionów zadane są przez

1 m
k(x) = " u(k)e-ikx (2.46)
E
V
gdzie


s
E + m
u(k) = (2.47)

k
2m s
E+m
Jeżeli założymy, że wiązka padająca jest niespolaryzowana i nie mierzymy
spinu - uśredniamy po jego dozwolonych wartościach, to część leptonową
możemy zapisać w postaci

e2 1 1
k2 |j(0)|k |2 = m2 (k(k2 )łu(k)) (k(k2 )łu(k))" (2.48)
2
V EE2 2
spin
Wygodnie jest wprowadzić tensor leptonowy

1
L a" m2 (k(k2 )łu(k)) (k(k2 )łu(k))" (2.49)
2
spin
oraz hadronowy
2



 q
y

W a" dEf Ei d3y f|J(
y)|i e-i (Ef + E2 - E - Ei) (2.50)

Umożliwia nam to zapisanie wyrażenia na różniczkowy inkluzywny przekrój
czynny w zwartej postaci
d e2 E2 1

= LW (2.51)
dE2 d&! q4 EEf Ei (2Ą)2
11
Wynik otrzymaliśmy przy założeniu, że elektron (zarówno początkowy
jak i końcowy) jest zadany przez falę płaską. W przypadku nukleonów przy-
jęliśmy jedynie, że są stanami o określonej energii. Cała niewiedza o stanach
 
hadronowych zawarta jest w tensorze W . Z tego względu wzór na W jest
zupełnie ogólny, może opisywać rozpraszanie na pojedynczym nukleonie, jak
i na jądrze atomowym. W szczególnym (pośrednim) przypadku jądro może
być opisane jako zbiór nukleonów.
W kolejnych rozdziałach wyliczymy inkluzywny przekrój czynny w sytu-
acji, gdy nukleony są stanami o określonym pędzie oraz gdy funkcja falowa
nukleonu w stanie końcowym jest rozwiązaniem równania Diraca w bazie
momentu pędu.
12
3 Tarcza - swobodny nukleon
W poprzednim rozdziale wyprowadziliśmy wzór na różniczkowy przekrój
czynny bez dodatkowych założeń dotyczących nukleonów. Teraz przyjmie-
my, że nukleon w stanie początkowym i końcowym jest zadany przez falę
płaską o pędzie odpowiednio p i p2 . Otrzymany w tym rozdziale wynik będzie

nam służył jako wzorzec, z którym będziemy porównywać końcowy wynik
pracy.
Na razie rozpatrujemy rozpraszanie na pojedynczym nukleonie. Kolejnym
krokiem będzie uogólnienie wyniku na przypadek jądra opisanego jako gaz
Fermiego. Warto zwrócić uwagę, że swobodny nukleon leży na powłoce masy,
co będziemy wykorzystywać w rachunkach. Nie jest to spełnione dla gazu
Fermiego, ponieważ nukleon jest związany w jądrze.

Zaczniemy od wyliczenia tensora W . Zgodnie z (2.50) mamy
2


V
 q
y

W = EfEi d3p2 d3y p2 |J( 0)|p e-i (Ef + E2 - E - Ei)
y,

(2Ą)3
2


Ć Ć
V

q
y

= EfEi d3p2 d3y p2 |eiP yJ(0)e-iP y|p e-i (Ef + E2 - E - Ei)

(2Ą)3
2


V
y( p- 2 )
q+ p

= EfEi d3p2 d3y p2 |J(0)|p e-i (Ef + E2 - E - Ei)

(2Ą)3

V
= EfEi d3p2 | p2 |J(0)|p V q, |2 (Ef + E2 - E - Ei)
p2 -
p
(2Ą)3

V
2
= EfEi V d3p2 q,p p | p2 |J(0)|p |2 (Ef + E2 - E - Ei)
2 -
(2Ą)3

2 3
= EfEiV d3p2 V ( - p2 + p) | p2 |J(0)|p |2 (Ef + E2 - E - Ei)
q
(3.1)
gdzie w ostatnim przejściu skorzystaliśmy z (2.37).
Kolejnym krokiem będzie przejście od notacji Diraca do macierzowej. Po-
dobnie jak w przypadku elektronów uśredniamy po spinie.


e2 1 1
 2 3
W = EfEiV d3p2 V ( - p2 + p) M2 (k(p2 )u(p)) (k(p2 )u(p))"
q
2
V Ef Ei 2
spin
(Ef + E2 - E - Ei)


1
3
= e2M2 d3p2 V ( - p2 + (k(p2 )u(p)) (k(p2 )u(p))" (Ef + E2 - E - Ei)
q p)
2
spin
(3.2)
13

Wszystkie czynniki objętościowe się skróciły, więc tensor W nie zależy już
od objętości. Możemy swobodnie dokonać przejścia L " i wykonać całkę
po d3p2 .

1

W = e2M2 (k(p2 )u(p)) (k(p2 )u(p))" (Ef + E2 - E - Ei)
2
(3.3)
spin
a" e2H(Ef + E2 - E - Ei)
Wstawiając otrzymany wynik do wzoru na różniczkowy przekrój (por.
(2.51)), mamy
d e4 E2 1
= (Ef + E2 - E - Ei)LH (3.4)
dE2 d&! q4 EEfEi (2Ą)2

gdzie = k- = p2 - Całkowanie po dE2 możemy wykonać, wykorzystując
q k2 p.
energetyczną deltę Diraca i inkluzywny przekrój czynny dla rozpraszania
elektronu na pojedynczym nukleonie jest równy
d e4 E2 1
= LH (3.5)
d&! q4 EEfEi (2Ą)2
gdzie q = k - k2 = p2 - p.
3.1 Wyliczenie tensora L
Tensor leptonowy zdefiniowaliśmy jako (por. (2.49))

1
L = m2 (k(k2 )łu(k)) (k(k2 )łu(k))" (3.6)
2
spin

Korzystając z własności macierzy ł: ł = ł0łł0, możemy go zapisać w
postaci
14

1
L = m2 (k(k2 )łu(k)) (k(k2 )łu(k))"
2
spin

"
1
= m2 (k(k2 )łu(k)) u+(k2 )ł0łu(k)
2
spin


1
+
= m2 (k(k2 )łu(k)) u+(k)ł ł0u(k2 )
(3.7)
2
spin


1
= m2 (k(k2 )łu(k)) u+(k)ł0łł0ł0u(k2 )
2
spin

1
= m2 (k(k2 )łu(k)) (k(k)łu(k2 ))
2
spin
Przy naszej normalizacji (por. [3])

1
uą(k, s)k(k, s) = (kł + m)ą (3.8)
2m
spin
zatem

1
L = m2 (ką(k2 )ł,ąu(k)) (k(k)ł,u(k2 ))
2
spin

1 1 1
(3.9)
= m2ł,ął, (kł + m) k2 ł + m
ą
2 2m 2m

1
= Tr ł (kł + m) ł k2 ł + m
8
Wiemy, że dla macierzy ł zachodzi
Tr {łł} = 4g
(3.10)
Tr {łłłł} = 4 (gg - gg + gg)
a ślad z iloczynu nieparzystej ilości macierzy ł jest równy zeru. Jeśli sko-
rzystamy z powyższych własności oraz liniowości śladu, otrzymamy
1 1
L = Tr {łłłł} kk2  + Tr {łł} m2
8 8
1 1
(3.11)
= (g g - gg + gg) k k2  + gm2
2 2

1
2 2
= kk + kk - gkk2 + gm2
2
15
3.2 Wyliczenie tensora H
Zgodnie z (3.3) tensor hadronowy ma postać

1
H = M2 (k(p2 )u(p)) (k(p)u(p2 )) (3.12)
2
spin
Najogólniejsza postać macierzy wierzchołka oddziaływania może być zbudo-
wana z macierzy 1, ł, , ł5 i łł5 oraz pędów p i p2 . Jednak chcemy,

aby  transformowała się jak wektor, a macierz ł5 transformuje się jak pseu-
dowektor, więc nie będziemy jej brać pod uwagę. Ponieważ nukleony są na
powłoce masy, liczba niezależnych wyrażeń jest redukowana przez równanie
Diraca. Gdy wezmiemy jeszcze pod uwagę fakt, że prąd elektromagnetycz-
ny jest zachowany, to okazuje się, że macierz wierzchołka możemy zapisać
z dokładnością do dwóch funkcji skalarnych (tzw. czynników postaci), wy-
znaczanych doświadczalnie. Ponieważ jedyne skalary jakie można zbudować
z p i p2 , to p2 = p2 2 = M2 i pp2 , a q2 = (p2 - p)2 = 2M2 - 2pp2 , czynniki
postaci zależą jedynie od q2. Spośród możliwych reprezentacji macierzy 
my będziemy korzystać z

(p + p2 )
 = F1(q2) + F2(q2) ł - F2(q2) (3.13)
2M
Korzystając z (3.8) i (3.10), mamy
16

1
H = M2 (k(p2 )u(p)) (k(p)u(p2 ))
2
spin


1 F2(q2)
= Tr F1(q2) + F2(q2) ł - (p + p2 ) ( p + M)
8 2M


F2(q2)
F1(q2) + F2(q2) ł - (p + p2 ) ( p2 + M)
2M

2
1
= F1(q2) + F2(q2) Tr {ł ( p + M) ł ( p2 + M)}
8
2
F2(q2)
+ (p + p2 ) (p + p2 ) Tr {( p + M) ( p2 + M)}
2M

F2(q2)
(3.14)
- F1(q2) + F2(q2) (p + p2 ) Tr {( p + M) ł ( p2 + M)}
2M


F2(q2)
- F1(q2) + F2(q2) (p + p2 ) Tr {( p + M) ł ( p2 + M)}
2M

2
1
= F1(q2) + F2(q2) pp2 - gpp2 + pp2 + M2g

2
2

F2(q2)
+ (p + p2 ) (p + p2 ) pp2 + M2
2M

F2(q2)
- F1(q2) + F2(q2) (p + p2 ) M (p + p2 )
2M


F2(q2)
- F1(q2) + F2(q2) (p + p2 ) M (p + p2 )
2M
Jeżeli pod p2 wstawimy p2 = p + q, to otrzymamy

2
1
H = F1(q2) + F2(q2) 2pp + (pq + pq) + g M2 - M2 - pq
2
2

F2(q2)
+ 2M2 + pq (4pp + qq + 2 (pq + pq))
2M


F2(q2)
- F1(q2) + F2(q2) M2 (4pp + qq + 2 (pq + pq))
2M
(3.15)
Końcowy wynik na H zapiszemy w postaci

2
1 qq
H = g - q2 F1(q2) + F2(q2)
4 q2
(3.16)
2
pq pq F2 (q2)
2
+ p - q p - q F1 (q2) - q2
q2 q2 4M2
17
Aatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem, że równość ta jest prawdziwa.
3.3 Wyliczenie LH
Tensor leptonowy zadany jest przez6 (por. (3.11))

1
2 2
(3.17)
L = kk + kk - gkk2
2
Tensor H (3.16) rozłożymy na dwie części

2
2
q2 F2 (q2)
2 ef
H = g F1(q2) + F2(q2) + pp F1 (q2) - q2 + H(q) a" Hf + H(q)
4 4M2
(3.18)
gdzie H(q) jest częścią zawierającą q, q. Wiemy, że qL = qL = 0,
więc
2
q2
ef
LH = LHf = F1(q2) + F2(q2) (-2kk2 )
8

(3.19)
2
F2 (q2) M2
2
+ F1 (q2) - q2 (pk)(pk2 ) - kk2
4M2 2
Gdy pomijamy masę elektronu, to q2 = (k - k2 )2 = -2kk2 , zatem

2
2 2 F2 (q2)
q4 M2
LH = F1(q2) + F2(q2) + F1 (q2) - q2 (pk)(pk2 ) + q2
8 4M2 4
(3.20)
Wstawiając LH do wzoru na przekrój czynny (3.5), możemy wyliczyć
inkluzywny przekrój czynny dla rozpraszania elektronu na pojedynczym nu-
kleonie. Różnica między protonem a neutronem pojawi się w czynnikach po-
staci.
3.4 Gaz Fermiego
Gdy wiemy już jak liczyć przekrój czynny na rozpraszanie elektronu na poje-
dynczym nukleonie, możemy uogólnić otrzymany rezultat na zderzenie elek-
tronu z jądrem atomowym. Najprościej jest traktować jądro jak gaz Fermiego,
6
Masa elektronu została pominięta.
18
czyli przyjąć, że nukleony znajdują się w studni potencjału i nie oddziału-
ją ze sobą. Oczywiście nie jest to dobre odzwierciedlenie rzeczywistości, ale
sprawdza się w roli pierwszego przybliżenia.
Warto zwrócić uwagę, że istnieją różne definicje gazu Fermiego. W na-
szym przypadku nie ma większego znaczenia, którą wybierzemy, ponieważ
głównym celem pracy jest skonfrontowanie wyników, które otrzymamy pro-
wadząc rachunki dla tego samego procesu w róznych bazach. Z tego samego
powodu nie będziemy też wnikać w szczegóły modelu.
W przypadku swobodnego nukleonu korzystaliśmy z faktu, iż znajduje się

on na powłoce masy, czyli jego energia Ei = | + M2. Energia nukleonu
p|2
związanego w jądrze źi jest pomniejszona o energię wiązania B

źi = Ei - B = | + M2 - B (3.21)
p|2
Z tego względu postać macierzy wierzchołka oddziaływania  (3.13) jest
słuszna tylko dla nukleonów swobodnych, ponieważ liczba funkcji skalarnych,
od których zależy , redukowana była przez równanie Diraca. Podobnie spi-
nor Diraca dla nukleonu związanego będzie różny od tego, z którego korzy-
staliśmy przy liczeniu tensora hadronowego.
W rachunkach użyjemy przybliżenia, w którym spinor Diraca dla nukle-
onu oddziałującego będziemy traktować jak swobodny oraz wykorzystamy
swobodną postać macierzy wierzchołka oddziaływania, ale energię nukleonu
swobodnego Ei w końcowym wzorze na przekrój czynny zastąpimy energią
nukleonu związanego źi.
Licząc przekrój czynny będziemy uśredniać po możliwych wartościach
pędu nukleonu początkowego, pamiętając o tym, że w stanie podstawowym
obsadzone są wszystkie pędy do pędu Fermiego pF . W związku z czym róż-
niczkowy przekrój czynny (por. 3.4)

d d3p e4 E2 1
= (Ef + E2 - E - źi)LH
4
dE2 d&! Ąp3 q4 EEf źi (2Ą)2
F
3

2Ą pF
6ą2 E2 1 |
p|2
= dcosp dp d| LH
p|
2Ąp3 q4 EEf -1
źi
0 0
F
(Ef + E2 - E - źi)
(3.22)
e2
gdzie ą = jest stałą struktury subtelnej.
4Ą
Wyrażenie wewnątrz delty Diraca możemy potraktować jak funkcję kąta,
zawartego między wektorem pędu nukleonu początkowego oraz wektorem
przekazu pędu. W ogólności kąt ten nie ma związku z kątami, po których
19
całkujemy. Jednak, gdy wybierzemy oś z wzdłuż wektora q, staje się on kątem

biegunowym p.


(f(cosp)) = (Ef + E2 - E - źi) =  E2 - źi - E + p2 2 + M2



=  E2 - źi - E + ( + + M2
p q)2


=  E2 - źi - E + p2 + q2 + 2| q| cos p + M2
p||
(3.23)


2
=  E2 - źi - E + Ei + q2 + 2| q| cos p
p||

"f(cos p) -1

= (cos p - cos p,0)

" cos p
gdzie cos p,0 jest miejscem zerowym funkcji f(cos p), czyli

2

E2 -Ei - E + Ei + 2 + 2| q| cos p,0 = 0
q p||
(3.24)
2
(E + źi - E2 )2 - Ei - q2

cos p,0 =
2| q|
p||
Pozostaje nam wyliczyć pochodną
"f(cos p) 2| q| | q|
p|| p||
= = (3.25)
2
" cos p 2 Ei + 2 + 2|
q p|| cosp Ef
q|
Po zamianie argumentu delty Diraca możemy wykonać całkowanie po dcosp
we wzorze na przekrój czynny (3.22), pamiętając, że po tej operacji cos p
zadany jest przez (3.24). Wyrażenie na przekrój czynny przybiera postać

d 6ą2 E2 2Ą pF |
p|
= dp d| LH (3.26)
p|
dE2 d&! 2Ąp3 q4| E Ei
q|
0 0
F
gdzie LH wynosi (por. (3.20))

2
2 2 F2 (q2)
q4 M2
LH = F1(q2) + F2(q2) + F1 (q2) - q2 (pk)(pk2 ) + q2
8 4M2 4
(3.27)
Aby móc wyliczyć przekrój czynny, pozostaje nam wyznaczyć pk oraz pk2
20
pk = źiE - p (3.28)
k
pk2 = źiE2 - p 2 = źiE2 - p( - = źiE2 + | q| cos p - p
k k q) p|| k(3.29)
co, jak widać, sprowadza się do obliczenia iloczynu skalarnego Jeżeli wy-
pk.
bierzemy układ współrzędnych jak na rysunku, to
p|(sin
p = | p cos p, sin p sin p, cos p) (3.30)
oraz

k = | sin k, cos k) (3.31)
k|(0,
zatem iloczyn skalarny
k p||
p = | k|(sin k sin p sin p + cos k cos p) (3.32)
gdzie cos p zadany jest przez (3.24), a cos k możemy wyznaczyć, korzystając
z k2 = k - q oraz k2 2 = k2 = m2 H" 0
k2 2 = (k - q)2 = k2 + q2 - 2kq = q2 - 2Eq0 + 2| q| cos k = 0
k||
(3.33)
2E(E - E2 ) - q2
cos k =
2E|
q|
W ścisły sposób wyliczyliśmy przekrój czynny na rozpraszanie elektronu
na pojedynczym nukleonie związanym w jądrze. Rozważając rozpraszanie na
jądrze, musimy wziąć pod uwagę wkład od wszystkich protonów i neutronów.
Przekrój czynny będziemy liczyć dla jądra tlenu. Ze wzledu na symetryczny
rozkład nukleonów (Z = A/2) pęd Fermiego będzie taki sam dla wszystkich
nukleonów7.
Dla czynników postaci wygodnie jest wprowadzić parametryzację (por.
[6])
GE(q2) + GM(q2)
F1(q2) = (3.34)
1 + 
oraz
GM(q2) - GE(q2)
F2(q2) = (3.35)
1 + 
7
Dla jąder, które posiadają rózną liczbę protonów i neutronów, trzeba rozpatrzeć dwa
pędy Fermiego - osobno dla protonów i neutronów.
21
q2
gdzie  = - . Form factory elektryczny GE(q2) i magnetyczny GM(q2)
4M2
wyznaczane są doświadczalnie - osobno dla protonu i neutronu. Wynoszą dla
protonu
Gp (q2) = GD(q2) Gp (q2) = pGD(q2) (3.36)
E M
i dla neutronu
Gn (q2) = 0 Gn (q2) = nGD(q2) (3.37)
E M
gdzie p = 2, 79 oznacza moment magnetyczny protonu, a n = -1, 91 -
neutronu. GD(q2) jest zadane przez formułę dipolową.
-2
q2
GD(q2) = 1 - (3.38)
2
0, 71GeV
Wykorzystując GD(q2), czynniki postaci zapisujemy w postaci
22
1 + p
p
F1 (q2) = GD(q2) (3.39)
1 + 
p - 1 p
p
F2 (q2) = GD(q2) = GD(q2) (3.40)
1 +  1 + 
dla protonu (gdzie p = p - 1 jest anomalnym momentem magnetycznym
protonu) oraz
n
n
F1 (q2) = GD(q2) (3.41)
1 + 
n
n
F2 (q2) = GD(q2) (3.42)
1 + 
dla neutronu.
Inkluzywny przekrój czynny na rozpraszanie elektronu na jądrze tlenu
jest równy

d d d
= 8 + 8 (3.43)
dE2 dcos dE2 dcos dE2 dcos
total proton neutron
10
8
6
4
2
0
0 0.1 0.2 0.3 0.5
0.4
(GeV)
Rysunek 1: Inkluzywny przekrój czynny dla rozpraszania elektronu na jądrze
tlenu przy energii padającego elektronu E = 1200MeV i kącie rozpraszania
320. Dane doświadczalne zaczerpnięte zostały z prac [8], [9].
23
2
30
10
d

/d

d

(cm /GeV)
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
(GeV)
Rysunek 2: Inkluzywny przekrój czynny dla rozpraszania elektronu na jądrze
tlenu przy energii padającego elektronu E = 1080MeV i kącie rozpraszania
320. Dane doświadczalne zaczerpnięte zostały z prac [8], [9].
40
35
30
25
20
15
10
5
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
(GeV)
Rysunek 3: Inkluzywny przekrój czynny dla rozpraszania elektronu na jądrze
tlenu przy energii padającego elektronu E = 880MeV i kącie rozpraszania
320. Dane doświadczalne zaczerpnięte zostały z prac [8], [9].
24
2
30
10
d

/d

d

(cm /GeV)
2
30
10
d

/d

d

(cm /GeV)
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
(GeV)
Rysunek 4: Inkluzywny przekrój czynny dla rozpraszania elektronu na jądrze
tlenu przy energii padającego elektronu E = 700MeV i kącie rozpraszania
320. Dane doświadczalne zaczerpnięte zostały z prac [8], [9].
35
30
25
20
15
10
5
0
0 0.1 0.2 0.3 0.4
(GeV)
Rysunek 5: Inkluzywny przekrój czynny dla rozpraszania elektronu na jądrze
tlenu przy energii padającego elektronu E = 730MeV i kącie rozpraszania
37.10. Dane doświadczalne zaczerpnięte zostały z pracy [10].
25
2
30
10
d

/d

d

(cm /GeV)
2
30
10
d

/d

d

(cm /GeV)
100
80
60
40
20
0
0 0.1 0.2 0.3
(GeV)
Rysunek 6: Inkluzywny przekrój czynny dla rozpraszania elektronu na jądrze
tlenu przy energii padającego elektronu E = 537MeV i kącie rozpraszania
37.10. Dane doświadczalne zaczerpnięte zostały z pracy [10].
Wykresy przedstawione na rysunkach (1)-(6) przedstawiają inkluzywny
przekrój czynny dla rozpraszania elektronu na jądrze tlenu dla różnych ener-
gii elektronu padającego i kątów rozpraszania. Rachunki zostały wykonane
numerycznie, przy czym przyjąłem energię wiązania B = 27MeV oraz pęd
Fermiego pf = 225MeV .
Widać wyraznie, że przybliżenie impulsowe jest tym dokładniejsze, im
większa jest energia padającego elektronu. Model sprawdza się dla niewiel-
kich przekazów energii  = E - E2 . Przy wyższych wartościach  widoczne
są (szczególnie na wykresach (2) i (3) w okolicy  H" 0, 4GeV ) piki odzwier-
ciedlające powstanie rezonansu ", których gaz Fermiego nie odtwarza.
Warto zauważyć, że pik odpowiadający rozpraszaniu elastycznemu nie
jest ostry, czego można byłoby się spodziewać, ponieważ w przybliżeniu im-
pulsowym elektron odddziałuje z pojedynczym nukleonem. Aatwo się przeko-
nać, że szerokość piku jest związana z rozkładem pędów nukleonów w jądrze.
Kolejnej informacji dostarcza nam położenie piku, z którego możemy wyzna-
czyć energię wiązania.
26
2
30
10
d

/d

d

(cm /GeV)
4 Nukleon końcowy w bazie momentu pedu
W tym rozdziale zajmiemy się wyliczeniem inkluzywnego przekroju czynne-
go na rozpraszanie elektronu na jądrze atomowym, opisując nukleon wybity
przez funkcję falową, będącą rozwiązaniem równania Diraca w bazie mo-
mentu pędu. Najpierw znajdziemy rozwiązanie ogólne równania Diraca dla
cząstki w potencjale centralnym. Następnie znajdziemy postać funkcji falo-
wej w sytuacji, gdy potencjał jest równy zeru i wyliczymy dla niej przekrój
czynny.
Wynik końcowy nie może zależeć od wyboru bazy, stąd oczekujemy, że
rezultat otrzymany w tym rodziale będzie dokładnie taki sam, jak dla cząstki
swobodnej w bazie pędowej.
4.1 Równanie Diraca z potencjałem centralnym
Hamiltonian dla cząstki masywnej, znajdującej się w potencjale centralnym,
zadany jest przez
Ż
$ = -i + m + V (r) (4.1)
ą%
gdzie ą,  są macierzami 4x4 i spełniają
{ąi, ąj} = 2ij {ąj, } = 0 2 = 1 (4.2)
co jest bezpośrednią konsekwencją równania E2 = p2 + m2.
Istnieje wiele sposobów wyboru macierzy ą i  tak, aby spełniały one
(4.2). My będziemy pracować w reprezentacji Pauliego-Diraca, w której

0 j 1 0
ąj =  = (4.3)
j 0 0 -1
gdzie j są macierzami Pauliego

0 1 0 -i 1 0
1 = 2 = 3 = (4.4)
1 0 i 0 0 -1
Jak już było wspomniane, szukamy rozwiązania w bazie momentu pędu.
Ć Ć

Operator całkowitego momentu J pędu jest sumą orbitalnego L i wewnętrz-
Ć Ć

nego S momentu pędu. Każda składowa J działa tylko na zmienne kątowe,
więc w oczywisty sposób komutuje z każdym operatorem, działającym na
zmienną radialną. Mamy zatem
27

Ć
$, Jk = 0 (4.5)
Rozumiemy przez to, że hamiltonian jest niezmienniczy względem obrotów.
Ć

Bezpośrednio z (4.5) wynika, że hamiltonian komutuje również z J2. Jako
Ć
Ć
zbiór zupełny komutujących obserwabli wybierzemy $, J2 i J3 i szukamy
funkcji falowej EjM, która spełnia
$EjM = EEjM (4.6)
Ć
J2EjM = j(j + 1)EjM (4.7)
Ć
J3EjM = MEjM (4.8)
Ponieważ hamiltonian działa tylko na część radialną, a operator momentu
pędu na część kątową, wygodnie jest dokonać sepracji zmiennych i zapisać
funkcję falową w postaci

g(r)Ć(, )
EjM(r, , ) = (4.9)
if(r)(, )
4.1.1 Część kątowa
W pierwszej kolejności zajmiemy się częścią kątową. Wykorzystamy fakt,
Ć
Ć
że harmoniki sferyczne Ym są funkcjami własnymi operatorów L2 i L3 o
l
wartościach własnych odpowiednio l(l + 1) i m
Ć

L2Ym = l(l + 1)Ym (4.10)
l l
Ć
L3Ym = mYm (4.11)
l l
Rozwiązania będziemy szukać w postaci

aYm
l
Ć,  <" 2 (4.12)
bYm
l
Operator całkowitego momentu pędu jest sumą orbitalnego momentu pę-
du i spinu. W reprezentacji Pauliego-Diraca ma postać

1 1
0

Ć Ć Ć
Ć Ć Ć Ć
J = L + S = p + Ł = p + (4.13)
r r
0

2 2
28
Porównując to z (4.8), otrzymamy

1
aYm 1 aYm a(m + )Ym aYm
l l l
2
Ć Ć
J3 l 2 = (L3 + 3) 2 = 2 = M 2
1
bYm 2 bYm b(m2 - )Ym bYm
l l l l
2
(4.14)
Widać, że jeżeli (4.12) mam być stanem własnym trzeciej składowej ope-
ratora całkowitego momentu pędu, to musi zachodzić m2 = m + 1. Ma więc
strukturę

aYm
l
(4.15)
bYm+1
l
1
i odpowiada wartości własnej M = m + .
2
Operator spinu komutuje z operatorem orbitalnego momentu pędu, więc
kwadrat operatora całkowitego momentu pędu (por. (4.13)) jest równy
Ć Ć Ć Ć Ć

J2 = L2 + S2 + 2LS (4.16)
Z własności macierzy Pauliego wynika, że ( = 31, więc kwadrat operatora
)2
Ć Ć Ć
3

spinu S2 = 1. Wartość własną 2LS oznaczmy na razie przez 
4

aYm aYm aYm
Ć Ć Ć
l l l

2LS = L =  (4.17)

bYm+1 bYm+1 bYm+1
l l l
Dla kwadratu całkowitego momentu pędu możemy teraz zapisać

3
aYm Ć aYm aYm
Ć Ć Ć Ć l
l l

J2 = L2 + S2 + 2LS = l(l + 1) + + 
bYm+1 bYm+1 bYm+1
4
l l l
(4.18)
Ć

Aby zidentyfikować , zapiszmy L w jawnej postaci


Ć Ć Ć Ć Ć
L3 L1 - iL2 L3 L-
Ć

L = = (4.19)

Ć Ć Ć Ć Ć
L1 + iL2 -L3 L+ -L3
Ć
Jak wiemy, operatory Lą odpowiednio obniżają lub zwiększają trzecią skła-
dową momentu pędu o 1 (por. [7] rozdz. 5)

Ć
Lą|l, m = (l " m)(l ą m + 1)|l, m ą 1 = Cą(l, m)|l, m ą 1 (4.20)
mamy zatem
29

Ć
aYm aL3Ym + bĆ
l-Ym+1
Ć
l l l

L =

Ć Ć
bYm+1
aL+Ym - bL3Ym+1
l
l l

amYm + bC-(l, m + 1)Ym aYm
l l l
= = 
aC+(l, m)Ym+1 - b(m + 1)Ym+1 bYm+1
l l l
(4.21)

gdzie C-(l, m + 1) = C+(l, m) = (l + m + 1)(l - m). Jeżeli (4.15) ma być
stanem o dobrze określonej wartości kwadratu momentu pędu, musi zacho-
dzić


am + b (l + m + 1)(l - m) = a

(4.22)
a (l + m + 1)(l - m) - b(m + 1) = b


a(m - ) + b (l + m + 1)(l - m) = 0

(4.23)
a (l + m + 1)(l - m) - b(m + 1 + ) = 0
Taki układ równań ma niezerowe rozwiązanie, jeżeli wyznacznik główny jest
równy zeru, czyli


m -  (l + m + 1)(l - m)


= 0 (4.24)

(l + m + 1)(l - m) -(m +  + 1)
-(m - )(m +  + 1) - (l + m + 1)(l - m) = 0
-m2 - m - m + m + 2 +  - l2 + lm - lm - l + m2 + m = 0
2 +  - l2 - l = 0 (4.25)
( - l)( + l) +  - l = 0
( - l)( + l + 1) = 0
Mamy dwa rozwiązania  = l oraz  = -l-1, które wiążemy odpowiednio
z Ć i  (por. (4.9)). Wracając do (4.18) i mając na uwadze (4.7), otrzymujemy
8
zależność całkowitego momentu pędu z orbitalnym momentem pędu
8
Pamiętając o tym, że orbitalny moment pędu l przyjmuje wartości nieujemne, a cał-
1 1 1
kowity moment pędu j = l ą , mamy |l| = l oraz |j + | = j +
2 2 2
30

3
j(j + 1) = l(l + 1) + + l dla  = l
4
3
j(j + 1) = l(l + 1) + - l - 1 dla  = -l - 1
4

1
l2 + 2l + 1 = j2 + j + dla  = l
4
1
l2 = j2 + j + dla  = -l - 1
4
(4.26)
1
(l + 1)2 = (j + )2 dla  = l
2
1
l2 = (j + )2 dla  = -l - 1
2

1
j - dla  = l
2
l =
1
j + dla  = -l - 1
2
Z fizycznego punktu widzenia sytuacja odpowiada dwóm możliwościom łą-
czenia orbitalnego momentu pędu ze spinem.
Pozostaje nam wyliczyć współczynniki a i b, co robimy niezależnie dla Ć
i . Z (4.23) dla  = l mamy


l + m + 1
a(m - l) + b (l + m + 1)(l - m) = 0 ! a = b (4.27)
l - m
Wybieramy taką normalizację, że |a|2 + |b|2 = 1, wtedy

l + m + 1 l + m + 1 2l + 1
b2 + b2 = b2 1 + = b2 = 1 (4.28)
l - m l - m l - m


1
j - - m
l - m j - M
2
b = = = (4.29)
1
2l + 1 2(j - ) + 1 2j
2
l - m l + m + 1
a2 = 1 - b2 = 1 - = (4.30)
2l + 1 2l + 1


1
j - + m + 1
l + m + 1 j + M
2
a = = = (4.31)
1
2l + 1 2(j - ) + 1 2j
2
Analogicznie dla  = -l - 1 mamy


l - m
a(l + m + 1) + b (l + m + 1)(l - m) = 0 ! a = -b (4.32)
l + m + 1

l - m l - m 2l + 1
b2 + b2 = b2 + 1 = b2 (4.33)
l + m + 1 l + m + 1 l + m + 1
31


1
j + + m + 1
l + m + 1 j + M + 1
2
b = = = (4.34)
1
2l + 1 2(j + ) + 1 2j + 2
2

l - m l + m + 1 l - m l - m
a = -b = - = -
l + m + 1 2l + 1 l + m + 1 2l + 1

(4.35)
1
j + - m
j - M + 1
2
= - = -
1
2(j + ) + 1 2j + 2
2
Zbierając powyższe wyniki, otrzymamy
ł ł
1
M-
j+M
2
Yj- (, )
1
2j
2
ł łł
ĆjM(r) = (4.36)
Ć
1
M+
j-M
2
Yj- (, )
1
2j
2
oraz
ł ł
1
M-
j-M+1
2
- Yj+ (, )
1
2j+2
2
ł łł
jM(r) = (4.37)
Ć
1
M+
j+M+1
2
Yj+ (, )
1
2j+2
2
W ten sposób otrzymaliśmy ogólne rozwiązania równania Diraca w po-
tencjale centralnym dla części kątowej. Pełna funkcja falowa jest równa (por.
(4.9))

ł ł
1
M-
j+M
2
g(r) Yj- (, )
1
2j
2
ł ł
1
M+
ł ł
j-M
2
g(r) Yj- (, )
ł ł
1
g(r)ĆjM(r) 2j
Ć
ł 2 ł

EjM(r, , ) = =
1
ł M- ł
j-M+1
if(r)jM(r) 2
Ć
ł -if(r) Yj+ (, ) ł
1
2j+2
ł 2 łł

1
M+
j+M+1
2
if(r) Yj+ (, )
1
2j+2
2
(4.38)
Funkcje g(r) i f(r) zależą od potencjału. W następnym kroku dokonamy se-
paracji zmiennych, otrzymując w ten sposób równania różniczkowe na funkcje
g(r) i f(r).
4.1.2 Równania różniczkowe na f(r) i g(r)
W celu wyznacznia funkcji g(r) i f(r), wstawimy funkcję falową (4.38) do
równania Diraca. Następnie dokonamy takich przekształceń, które doprowa-
dzą do separacji części radialnej i częsci kątowej. Otrzymamy w ten sposób
układ równań różniczkowych na funckje g(r) i f(r).
32
Ć
ąpEjM + mEjM + V (r)EjM = EEjM (4.39)

Wykorzystując jawną postać macierz ą i  w reprezentacji Pauliego-Diraca

(por. (4.3)), mamy
Ć
i( Ć Ć Ć Ć
p)f(r)jM(r) + mg(r)ĆjM(r) + V g(r)ĆjM(r) = Eg(r)ĆjM(r)
(4.40)
Ć
( Ć Ć Ć Ć
p)g(r)ĆjM(r) - imf(r)jM(r) + iV f(r)jM(r) = iEf(r)jM(r)
co zapiszemy w bardziej symetrycznej postaci
Ć
i( Ć Ć
p)f(r)jM(r) = (E - m - V (r)) g(r)ĆjM(r)
(4.41)
Ć
( Ć Ć
p)g(r)ĆjM(r) = i (E + m - V (r)) f(r)jM(r)
Zanim przejdziemy do dalszych rachunków, zapiszemy operator pędu w po-
staci
1
Ć
Ć Ć
= ( p) - ( L) (4.42)
p er er er
r
r
gdzie jest wektorem jednostkowym w kierunku promienia = . Bezpo-
er er
r
średnim rachunkiem możemy sprawdzić, że powyższa równość jest prawdziwa

rk Ć rk rk
Ć
L = %Ełjkl Ll = %Ełjkl (r p)l = %Ełjkl %Ełlmnrmpn
er Ć Ć
j r r r
(4.43)
rk
Ć
= (jmkn - jnmk) rmpn = rj( - rpj
Ć erp) Ć
r
Po podzieleniu obu stron równania przez r i przeniesieniu wyrażeń na odpo-
Ć
wiednie strony, otrzymamy (4.42). Korzystając z tej właności, operator (
p)
zapisujemy jako
1
Ć
Ć Ć
( = ( er)( - er L) (4.44)
p)  erp) (
r
Drugi człon możemy dodatkowo rozpisać, korzystając z własności macierzy
Pauliego

( B) = AB + i B) ! B) = iAB - i( B) (4.45)
A)( (A (A A)(

która jest spełniona dla dowolnych wektorów A i B. Wobec czego mamy
33
i i
Ć Ć
Ć Ć
( = ( er)( - ( + ( er)( (4.46)
p)  erp) erL)  L)
r r
Ć

Operator ( jest tożsamościowo równy zeru. Możemy się łatwo o tym
erL)
przekonać, zapisując go w jawnej postaci
rj rj Ć rj
Ć

( = Lj = (r p)j = %Ełjlmrlpm = 0 (4.47)
erL)j Ć Ć
r r r
Co wynika z faktu, iż iloczyn tensora symetrycznego (rjrl) oraz antysymen-
trycznego (%Ełjlm) jest równy zeru. Zatem (4.46) sprowadza się do
i
Ć
Ć Ć
( p) = ( er)( + ( er)( (4.48)
  erp)  L)
r
Ć
Operator ten działa na stany postaci f(r)ĆjM(r). W takiej sytuacji (
Ć erp)
"
możemy zastąpić przez -i"r . Aby to pokazać skorzystamy z własności części
kątowej (por. [5] rozdz. 9.5)

( Ć er%)jM(r) = 0 (4.49)
er%)ĆjM(r) = 0 ( Ć
Mamy więc


df(r)
Ć

( (f(r)ĆjM(r)) = -i ( Ć er%r ĆjM(r)
erp) Ć er%)f(r) ĆjM(r) = -i Ć
dr
df(r) df(r)
r
= -i ĆjM(r) = -i ĆjM(r)
er Ć Ć
r dr dr
(4.50)
Ć
Biorąc pod uwagę, że er nie zależy od r, operator ( zapisujemy ostatecz-
 p)
nie w postaci
" i
Ć
Ć
( = -i ( er) + ( er)( (4.51)
p)   L)
"r r
Wykorzystując tak zapisany operator w równaniach (4.41), otrzymujemy
df(r) f(r)
Ć

( er)jM(r) - ( er)( Ć Ć
 Ć  L)jM(r) = (E - m - V (r))g(r)ĆjM(r)
dr r
dg(r) g(r)
Ć

- ( er)ĆjM(r) + ( er)( Ć Ć
 Ć  L)ĆjM(r) = (E + m - V (r))f(r)jM(r)
dr r
(4.52)
Z wcześniejszych rozważań wiemy, że
34
3
Ć

( Ć Ć (4.53)
L)jM(r) = (-j - )jM(r)
2
1
Ć

( Ć Ć (4.54)
L)ĆjM(r) = (j - )ĆjM(r)
2
zatem
df(r) 3 f(r)
( er)jM(r) + (j + ) ( er)jM(r) = (E - m - V (r))g(r)ĆjM(r)
 Ć  Ć Ć
dr 2 r
dg(r) 1 g(r)
- ( er)ĆjM(r) + (j - ) ( er)ĆjM(r) = (E + m + V (r))f(r)jM(r)
 Ć  Ć Ć
dr 2 r
(4.55)
Ostatczenej separacji zmiennych dokonamy, korzystając z własności (por. [5]
rozd. 9.5)
( er)jM(r) = -ĆjM(r) ( er)ĆjM(r) = -jM(r) (4.56)
 Ć Ć  Ć Ć
co da nam
df(r) f(r)
- - (1 + l2 ) = (E - m - V (r)) g(r)
dr r
(4.57)
dg(r) g(r)
+ (1 - l2 ) = (E + m - V (r)) f(r)
dr r
1
gdzie l2 = j + . Jest to ogólne rozwiązanie, które otrzymaliśmy bez żadnych
2
założeń dotyczących potencjału (oczywiście oprócz centralności). Aby wyli-
czyć funkcje radialne, musimy zadać jego konkretną wartość. W następnym
podrozdziale wyznaczymy funkcje g(r) i f(r) dla potencjału V (r) = 0.
4.2 Cząstka swobodna
Dla cząstki swobodnej równania (4.57) przybierają postać
df(r) f(r)
- - (1 + l2 ) = (E - m) g(r)
dr r
(4.58)
dg(r) g(r)
+ (1 - l2 ) = (E + m) f(r)
dr r
Struktura jest taka sama jak w przypadku równania Schrdingera, więc ocze-
kujemy, że funkcje g(r) i f(r) będzie można wyrazić przez funkcje Bessela.
35
Postępujemy analogicznie jak w mechanice kwantowej. Wprowadzimy funk-
cje pomocnicze
F (r) = rf(r) G(r) = rg(r) (4.59)
Mamy wtedy
1 dF (r) 1 1 l2 (E - m)
- + F (r) - F (r) - F (r) = G(r)
r dr r2 r2 r2 r
(4.60)
dF (r) l2
- - F (r) = (E - m)G(r)
dr r
1 dG(r) 1 1 l2 (E + m)
- G(r) + G(r) - G(r) = F (r)
r dr r2 r2 r2 r
(4.61)
dG(r) l2
- G(r) = (E + m)F (r)
dr r
Z równania (4.60) wyznaczamy G(r)
1 dF (r) l2
G(r) = - - F (r) (4.62)
E - m dr (E - m)r
i wstawiamy do równania (4.61)
1 d2F (r) l2 dF (r) l2
- - + F (r)
E - m dr2 (E - m)r dr (E - m)r2
l2 dF (r) l2 2
+ + F (r) = (E + m)F (r)
(E - m)r dr (E - m)r2
(4.63)
d2F (r) l2 2 + l2
- + F (r) = p2F (r)
dr2 r2

d2F (r) -l2 2 - l2
+ p2 + F (r) = 0
dr2 r2
Otrzymaliśmy równanie różniczkowe na funkcję F (r). Rozwiążemy je ko-
rzystając z funkcji Bessela. Ogólnym rozwiązaniem równania różniczkowego
typu

1
- 2
d2y
4
+ 2 + y = 0 (4.64)
dx2 x2
jest kombinacja funkcji Bessela
36
" "
y = 1 xJ(x) + 2 xJ-(x) (4.65)
Porównując równanie (4.63) z (4.64) widzimy, że w naszym przypadku  = p
oraz
1
- 2 = -l2 2 - l2
4
1
2 = l2 2 + l2 +
(4.66)
4
2
1
2 = l2 +
2
1
Musimy pamiętać o tym, że l2 = j+ > 0, a funkcja Bessela nie jest określona
2
dla  < 0, dlatego rozwiązanie równania (4.60) ograniczamy do
"
F (r) =  prJl + 1 (pr) (4.67)
2
2
Funkcje G(r) wyznaczymy korzystając z własności funkcji Bessela
dJ(x) 
= J-1(x) - J(x) (4.68)
dx x
oraz równania (4.62)


1
l2 +
 1 p "
2
G(r) = - Jl + 1 (pr) + pr Jl - 1 (pr) - Jl + 1 (pr) p
2 2 2
2 2 2
E - m 2 r pr

l2
+ Jl + 1 (pr)
2
2
r

p " (E - m)(E + m) "
= -  prJl - 1 (pr) = - c prJl - 1 (pr)
2 2
2 2
E E - m
- m
E + m " E + m "
= -  prJl - 1 (pr) = -  prJl+ 1 (pr)
2
2 2
E - m E - m
(4.69)
1
gdzie l = j - . Zgodnie z (4.59) funkcje g(r) i f(r) mają postać
2


E + m p E + m
g(r) = -  Jl+ 1 (pr) a" - Rpl(r) (4.70)
2
E - m r E - m

p
1 2
f(r) =  Jl + (pr) a" Rpl (r) (4.71)
2
2
r
37
Stałą  wyznaczymy z warunku normalizacji funkcji falowej, która przy
tak zadanych funkcjach radialnych jest równa (por. (4.38))

E+m
- Rpl(r)ĆjM(r)
Ć
E-m
EjM(r, , ) = (4.72)
2 Ć
Rpl (r)jM(r)
Funkcję falową normujemy do delt Diraca dla ciągłych stopni swobody oraz
delt Kroneckera dla dyskretnych

+
2 2
d3rE j2 M2 EjM = (E2 - E)jj MM (4.73)
2
Z ortonormalności harmonik sferycznych wynika

d&!Ć+ (r)ĆjM(r) = d&!+ (r)jM(r) = jj MM (4.74)
Ć Ć Ć Ć 2 2
j2 M2 j2 M2
a z własności funkcji Bessela

1
xdxJ(2 x)J(x) = (2 - ) (4.75)

mamy



p2 p
2
r2drRp l(r)Rpl(r) = r2dr Jl+ 1 (p2 r) Jl+ 1 (pr)
2 2
r r
(4.76)
p
= (p2 - p) = (E2 - E)
E
Otrzymujemy w ten sposób równanie na 


E + m E E - m
2 1 + = !  = ą (4.77)
E - m p 2p
Znak stałej c jest tylko kwestią wyboru czynnika fazowego. Ostatecznie unor-
mowania funkcja falowa dla cząstki swobodnej ma postać
ł ł
E+m
Rpl(r)ĆjM(r)
Ć
2p
ł łł
EjM(r, , ) = (4.78)
E-m
2 Ć
- Rpl (r)jM(r)
2p
38
4.3 Tensor hadronowy
W tym rozdziale wyliczymy tensor hadronowy w przypadku, gdy nukleon
początkowy jest zadany przez falę płaską, a nukleon wybity przez funkcję
falową w bazie momentu pędu (4.78). Rachunki, prowadzące do wzoru na
przekrój czynny (2.51), prowadziliśmy w skończonej objętości i musimy wziąć
to pod uwagę przy normowaniu funkcji falowej. Dla kuli o promieniu R mamy
(por. [5] rozdz. 9.8)

R
1
r2dr|Rpl(r)|2 = (4.79)
"
0
Ą
gdzie " = . Stąd dobrze unormowana funkcja falowa w skończonej objętości
R
jest zadana przez
ł ł
"
Ef +M
"Rp l(r)ĆjM(r)
Ć
f up(
r)
2pf
ł łł
|EfjM = a" (4.80)
"
Ef +M
down(
r)
- "Rp l2 (r)jM(r)
Ć
f
2pf

Cała informacja o stanach hadronowych zawarta jest w tensorze W (2.50)
2



 q
y

W = dEfEp d3y EfjM|J(
y)|p e-i (Ef + E2 - E - Ei)

(4.81)


Przez d rozumiemy całkowanie po wszystkich ciągłych stopniach swo-
body oraz sumowanie po dyskretnych. W przypadku funkcji falowej zadanej
przez (4.80) mamy


d = (Ef )dEf (4.82)
jM
(E)dE opisuje liczbę możliwych stanów, jakie może przyjąć cząstka w prze-
dziale (E, E + dE). Aby wyznaczyć (E), rozważmy objętość dV w prze-
strzeni pędów
4 4
dV = Ąp3 - Ąp3 (4.83)
2 1
3 3
"
gdzie p2 = (E + dE)2 - M2 a p1 = E2 - M2. Na jeden stan pędowy
(2Ą)3
przypada objętość , zatem
V
V
(E)dE = dV (4.84)
(2Ą)3
39
Skąd wyznaczamy (E)
V dV V 4 3 1 V
2
(E) = = Ą (E2 - M2) 2E = 2pE (4.85)
(2Ą)3 dE (2Ą)3 3 2 (2Ą)2
Zatem tensor hadronowy wynosi
2



V
y
 2 q

W = dEf2Ef pfEp d3y EfjM|J(
y)|p e-i (Ef +E2 -E-Ei)

(2Ą)2
jM
(4.86)
Operator J( możemy zapisać jako
y)
Ć Ć


J( = eiP yJ(0)e-iP y (4.87)
y)
co daje nam
2



Ć Ć
V

 2 q
y

W = dEf 2EfpfEp d3y EfjM|eiP yJ(0)e-iP y|p e-i

(2Ą)2
jM
(Ef + E2 - E - Ei)
2



Ć
V

2 y( p)
q+

= dEf 2EfpfEp d3y EfjM|eiP yJ(0)|p e-i

(2Ą)2
jM
(Ef + E2 - E - Ei)
(4.88)
Nie wiemy jak operator pędu działa na stan |Ef jM , ale możemy wykorzy-
stać rozkład jedynki w przestrzeni Hilberta i zapisać operator jednostkowy
w postaci

1 = |p2 s2 p2 s2 | (4.89)
p2 ,s2


Wstawiając 1 do wyrażenia na W , otrzymamy
40
2



Ć
V

 2 y( +
q p)

W = dEf2Ef pfEp d3y EfjM|1eiP yJ(0)|p e-i

(2Ą)2
jM
(Ef + E2 - E - Ei)
2




Ć
V

2 y( +
q p)

= dEf2Ef pfEp d3y Ef jM|p2 s2 p2 s2 |eiP yJ(0)|p e-i

(2Ą)2 p2 s2

jM
(Ef + E2 - E - Ei)
2




V
2 y( + p
q p- 2 )

= dEf2Ef pfEp d3y Ef jM|p2 s2 p2 s2 |J(0)|p e-i

(2Ą)2 p2 s2

jM
(Ef + E2 - E - Ei)
2




V
2
= dEf2Ef pfEp V p+ EfjM|p2 s2 p2 s2 |J(0)|p
q,p2

(2Ą)2 p2 s2

jM
(Ef + E2 - E - Ei)
2


3

V
2
= dEf2Ef pfEp EfjM|p2 s2 p2 s2 |J(0)|p

(2Ą)2
jM s2
(Ef + E2 - E - Ei)
(4.90)
gdzie p2 = p+ Taki zabieg umożliwia nam wyliczenie elementu p2 s2 |J(0)|p ,
q.
w którym prąd J(0) identyfikujemy jako . W pierwszej kolejności zajmie-
my się czynnikiem EfjM|p2 s2 .
Zgodnie z naszą normalizacją fala płaska, zamknięta w objętości V , jest
zadana przez

M 1
p2
r
|p2 s2 = " 2 (4.91)
us (p2 )e-i
2
Ep V
gdzie spinor Diraca


2
s
2
Ep + M
2
us (p2 ) = (4.92)

p2
2
s
2M
Ep +M
2
Mamy zatem
41



2  2
1 M Ep + M p
+ + p2
r
Ef jM|p2 s2 = " d3r up( + down( s e-i
r) r) 2
2 2
Ep 2M Ep + M
V



2
1 Ep + M p2
+ + p2
r
2 2
= " d3r up( + down(  ) s e-i
r) r)( ep
2 2
2Ep Ep + M
V

2 2
1 Ep + M Ep - M
+ +
= " up( 2 ) + down( 2 )( ep ) s
p p  2 2
2 2
2Ep Ep + M
V



1 1
+ +
2 p 2 p  2 2
= " Ep + Mup( 2 ) + Ep - Mdown( 2 )( ep ) s
2
2Ep
V
(4.93)
2
gdzie jest wektorem jednostkowym w kierunku wektora p2 , a up/down( 2 )
ep p
zdefiniowane są przez

p2
r
up( 2 ) a" d3rup( (4.94)
p r)ei

p2
r
down( 2 ) a" d3rdown( (4.95)
p r)ei
Zgodnie z (4.80)

"
Ef + M
up( = "Rp l(r)ĆjM(r) (4.96)
r) Ć
f
2pf

"
Ef + M
down( = - "Rp l2 (r)jM(r) (4.97)
r) Ć
f
2pf
a części kątowe zadane są przez (por. (4.36) i (4.37))
ł ł
1
M-
j+M
2
Yj- (, )
1
2j
2
ł łł
ĆjM(r) = (4.98)
Ć
1
M+
j-M
2
Yj- (, )
1
2j
2
ł ł
1
M-
j-M+1
2
- Yj+ (, )
1
2j+2
ł 2 łł

jM(r) = (4.99)
Ć
1
M+
j+M+1
2
Yj+ (, )
1
2j+2
2
Ze względu na postać funkcji up/down( wygodnie jest zapisać falę płaską
r)
p
r
ei jako sumę harmonik sferycznych i funkcji Bessela (por. [5] rozdz. 9.8)
42

(2Ą)3/2 " l "
p
r
ei = ilRpl(r)Ym (r)Ym(p) (4.100)
Ć Ć
l l
p
l=0 m=-l
Takie rozwinięcie pozwala nam wyliczyć up( 2 )
p

p2
r
up( 2 ) = d3rup(
p r)ei



"
(2Ą)3/2 Ef + M 2 2 " 2
= " il d3rRp l(r)ĆjM(r)Rp l2 (r)Ym (r)Ym (p2 )
Ć 2 Ć Ć
f l2 l2
p2 2pf
l2 m2



"
(2Ą)3/2 Ef + M 2
2
= " il r2drRp l(r)Rp l2 (r)
f
p2 2pf
l2 m2
ł ł
1
2 " 2
M-
j+M
2
Yl (r)Ym (r)Ym (p2 )
Ć Ć Ć
l2 l2
2j
ł łł

d&!
1
2 " 2
M+
j-M
2
Yl (r)Ym (r)Ym (p2 )
Ć Ć Ć
l2 l2
2j
(4.101)
W tym miejscu skorzystamy z normalizacji harmonik sferycznych

2
d&!Ym (r)Ym(r) = mm ll (4.102)
Ć Ć 2 2
l2 l
mamy zatem



"
(2Ą)3/2 Ef + M 2
up( 2 ) = " il r2drRp l(r)Rp l2 (r)
p 2
f
p2 2pf
l2 m2
ł ł
2
j+M
Ym (p2 )M- 1
Ć
l2 ,m2
2j
2
ł łł
2
ll
2
j-M
Ym (p2 )M+ 1
Ć
l2 ,m2
2j
2


"
(2Ą)3/2 Ef + M
(4.103)
2
= "il r2drRp l(r)Rp l(r)
f
p2 2pf
ł ł
1
M-
j+M
2
Yl (p2 )
Ć
2j
ł łł


1
M+
j-M
2
Yl (p2 )
Ć
2j


"
(2Ą)3/2 Ef + M
= "ilĆjM(p2 ) r2drRp l(r)Rp l(r)
Ć 2
f
p2 2pf
43
W skończonej objętości funkcje Rpl(r) spełniają (por. (4.79) i (4.76))

1 p
2 2
r2drRp l(r)Rpl(r) = EE (4.104)
" E
Ostatecznie up( 2 ) zadane jest przez
p

(2Ą)3/2 Ef + M 1
up( 2 ) = " ilĆjM(p2 )E Ep (4.105)
p Ć
2
f
Ef 2pf "
W analogiczny sposób otrzymamy wyrażenie na down( 2 )
p

(2Ą)3/2 Ef - M 1
down( 2 ) = - " iljM(p2 )E Ep (4.106)
p Ć
2
f
Ef 2pf "
Wstawiając otrzymane wyniki do (4.93), dostajemy



1 1 (2Ą)3/2 1 1
2 Ć
Ef jM|p2 s2 = " " il Ep + M Ef + MĆ+ (p2 )
jM
2
2Ep Ef 2pf "
V


2 Ć  2 2
- Ep - M Ef - M+ (p2 )( ep ) s E Ep
2
jM f
(4.107)
Wyrażenie na Ef jM|p2 s2 możemy uprościć, wykorzystując zależności mię-
dzy częściami kątowymi (4.56)
+ (p2 )( ep ) = (( ep )jM(p2 ))+ = -Ć+ (p2 ) (4.108)
Ć  2  2 Ć Ć
jM jM
co daje nam


1 (2Ą)3/2 1 1
2
EfjM|p2 s2 = " " il (Ep + M)(Ef + M)
2
2Ef Ep pf "
V


(4.109)
2 Ć 2
+ (Ep - M)(Ef - M) Ć+ (p2 )s E Ep
2
jM f
1
" Ć 2
a" N1Ć+ (p2 )s E Ep
2
jM f
"

Wstawmy otrzymany wynik do wzoru na tensor W
44
2


3

V 1
 2
W = dEf2Ef pfEp " N1E Ep Ć+ (p2 ) s p2 s2 |J(0)|p
Ć 2

2
f jM

(2Ą)2 "
jM s2
(Ef + E2 - E - Ei)
2


3

V 1
2
= dEf2Ef pfEp |N1|2E Ep Ć+ (p2 ) s p2 s2 |J(0)|p
Ć 2

2
f jM
(2Ą)2 "
jM s2
(Ef + E2 - E - Ei)
(4.110)
Porównując (4.76) i (4.79), znajdujemy związek między deltą Kroneckera i
deltą Diraca w kuli o promieniu R
2
E Ep = "(Ef - Ep ) (4.111)
2
f

Jeżeli wstawimy deltę Diraca do wzoru na W , czynniki " się skrócą i tensor
nie będzie zależał od promienia R. Umożliwia nam to przejście R " i
wykonanie całki po dEf
2


3

V
Ć+ Ć
 2
2 2
W = dEf2Ef pfEp |N1|2(Ef - Ep ) (p2 ) s p2 s2 |J(0)|p

jM
(2Ą)2
jM s2
(Ef + E2 - E - Ei)
2

3

V
2
= 2Ef pfEp |N1|2 Ć+ (p2 ) s p2 s2 |J(0)|p (Ef + E2 - E - Ei)
Ć 2

jM
(2Ą)2
jM s2
(4.112)
2
Po wykonaniu całki Ef = Ep , czyli czynnik N1 wynosi

1 (2Ą)3/2 1
N1 = " il [(Ef + M) + (Ef - M)]
2Ef pfEf
V
(4.113)
(2Ą)3/2 il
= "
V pfEf
Wyrażenie na tensor hadronowy upraszcza się do
2


Ć+ Ć
 2
2
W = 2Ef Ep(2Ą)V (p2 ) s p2 s2 |J(0)|p (Ef + E2 - E - Ei)

jM

jM s2
(4.114)
45

2
Pojawiający się spinor s we wzorze na W uniemożliwia nam skorzysta-
nie z formuł śladowych, jak robiliśmy to w poprzednim rozdziale. Dlatego
zapiszemy jawnie element p2 s2 |J(0)|p i poszukamy związku z wynikami
otrzymanymi dla fal płaskich. Przechodząc do notacji macierzowej mamy
e M
p2 |J(0)|p = k(p2 )u(p)
V
2
EpEp



2 s
e M Ep + M Ep + M
p2
+ +
= ł0
p
s2 s2
Ep +M
2
s
V 2M 2M
2
EpEp
Ep+M
(4.115)
, zdefiniowane przez (3.13), jest kombinacją macierzy jednostkowych oraz
macierzy Pauliego. Z uwagi na własność macierzy Pauliego
ij = ij1 + i%Ełijkk (4.116)
wyrażenie (4.115) zawsze można sprowadzić do postaci
p2 |J(0)|p = N2+ s (4.117)
s2
gdzie

2
1 e (Ep + M)(Ep + M)
N2 a" (4.118)
2
2 V Ep Ep


 a" A1 + B (4.119)


Sumowanie po spinie s2 w wyrażeniu na W da nam
2


N Ć
 2
2
W = 2Ef Ep(2Ą)V Ć+ (p2 ) s + s (Ef + E2 - E - Ei)

2
jM s2

jM s2

2
2 2
= 2Ef Ep(2Ą)V N2 Ć+ (p2 ) s (Ef + E2 - E - Ei)
Ć
jM
jM
(4.120)
Tak jak w poprzednim rozdziale uśredniamy po spinie nukleonu początkowe-
go
46

2
1
 2 2
Ć
W = 2Ef Ep(2Ą)V N2 Ć+ (p2 ) s (Ef + E2 - E - Ei)
jM
2
jM s

2 2
= Ef Ep(2Ą)V N2 Ć+ (p2 ) s+ ĆjM(p2 )(Ef + E2 - E - Ei)
Ć Ć
jM s
jM s

2 2
= Ef Ep(2Ą)V N2 Ć+ (p2 )  ĆjM(p2 )(Ef + E2 - E - Ei)
Ć Ć
jM
jM


2 2

= Ef Ep(2Ą)V N2 Ć+ (p2 ) A1 + B A1 + B ĆjM(p2 )
Ć   Ć
jM
jM
(Ef + E2 - E - Ei)


2 2

= Ef Ep(2Ą)V N2 Ć+ (p2 ) A2 1 + B2 ĆjM(p2 )(Ef + E2 - E - Ei)
Ć  Ć
jM
jM

2 2
= Ef Ep(2Ą)V N2 Ć+ (p2 ) (A2 1) ĆjM(p2 )(Ef + E2 - E - Ei)
Ć Ć
jM
jM
(4.121)
Ostatnia równość wynika z własności

Ć+ (p2 )iĆjM(p2 ) = 0 (4.122)
Ć Ć
jM
jM
Możemy to sprawdzić bezpośrednim rachunkiem


" j - M "

1 1
j + M
M- M+
2 2
Ć+ (p2 )1ĆjM(p2 ) = Yj- (, ) Yj- (, )
Ć Ć
1 1
jM
2j 2 2j 2
jM jM
ł ł
1
M-

j+M
2
Yj- (, )
1
0 1 2j
2
ł łł

1
M+
j-M
1 0 2
Yj- (, )
1
2j
2

" M+

1 1
j2 - M2
M-
2 2
= Yj- (, ) Yj- (, )
1 1
2j 2 2
jM
" M-
1 1
M+
2 2
+ Yj- (, ) Yj- (, )
1 1
2 2
(4.123)
W tym miejscu skorzystamy z własności harmonik sferycznych
"
Y-m(, ) = (-1)mYm(, ) (4.124)
l l
47
co daje nam


1 1
j2 - M2 1 -M M+
-M
2 2
2
Ć+ (p2 )1ĆjM(p2 ) = (-1) Yj- (, )Yj- (, )
Ć Ć
1 1
jM
2j 2 2
jM jM

1 1
1 -M- M-
2 2
2
+ (-1)-M- Yj- (, )Yj- (, )
1 1
2 2



1 1
j2 - M2 1 -M M+
2 2
2
= (-1)M- Yj- (, )Yj- (, )
1 1
2j 2 2
jM

1 1
-M- M-
2 2
- Yj- (, )Yj- (, )
1 1
2 2

j


1 1
j2 - M2 1 -M M+
2 2
2
= (-1)M- Yj- (, )Yj- (, )
1 1
2j 2 2
1
j
M=
2

1 1
-M- M-
2 2
- Yj- (, )Yj- (, )
1 1
2 2
1

-
2


1 1
j2 - M2 1 -M M+
2 2
2
+ (-1)M- Yj- (, )Yj- (, )
1 1
2j 2 2
j M=-j

1 1
-M- M-
2 2
- Yj- (, )Yj- (, )
1 1
2 2
(4.125)
W drugim sumowaniu możemy zmienić zmienną sumowania M -M
48

j


1 1
j2 - M2 1 -M M+
2 2
2
Ć+ (p2 )1ĆjM(p2 ) = (-1)M- Yj- (, )Yj- (, )
Ć Ć
1 1
jM
2j 2 2
1
jM j
M=
2

1 1
-M- M-
2 2
- Yj- (, )Yj- (, )
1 1
2 2

j


1 1
j2 - M2 1
+M -M+
2 2
2
+ (-1)-M- Yj- (, )Yj- (, )
1 1
2j 2 2
1
j
M=
2

1 1
M- -M-
2 2
- Yj- (, )Yj- (, )
1 1
2 2

j


1 1
j2 - M2 1 -M M+
2 2
2
= (-1)M- Yj- (, )Yj- (, )
1 1
2j 2 2
1
j
M=
2

1 1
-M- M-
2 2
- Yj- (, )Yj- (, )
1 1
2 2

j


1 1
j2 - M2 1 -M M+
2 2
2
- (-1)M- Yj- (, )Yj- (, )
1 1
2j 2 2
1
j
M=
2

1 1
-M- M-
2 2
- Yj- (, )Yj- (, ) = 0
1 1
2 2
(4.126)
W analogiczny sposób wyrażenie znika dla 2. Dla 3 mamy


" j - M "

1 1
j + M
M- M+
2 2
Ć+ (p2 )3ĆjM(p2 ) = Yj- (, ) Yj- (, )
Ć Ć
1 1
jM
2j 2 2j 2
jM jM
ł ł
1
M-

j+M
2
Yj- (, )
1
1 0 2j
2
ł łł

1
M+
j-M
0 -1 2
Yj- (, )
1
2j
2

2 2

1 1
j + M
M- M-
Y (, ) - j - M Y (, )
2 2
=

1 1
j- j-
2j 2 2j 2
jM
(4.127)
Skorzystamy z własności harmonik sferycznych związanych z sumowaniem
po m
49
l

2l + 1
|Ym(, )|2 =
l
4Ą
m=-l
(4.128)
l

m|Ym(, )|2 = 0
l
m=-l
Otrzymujemy wtedy

1 2 2

1 1
j +
M- M-
Y (, ) + 1 (M - 1) Y (, )
2 2 2
Ć+ (p2 )3ĆjM(p2 ) =
Ć Ć

1 1
jM
j- j-
2j 2 2j 2 2
jM j M M
1 2 2

1 1
j +
M+ M+
Y (, ) + 1 (M + 1) Y (, )
2
2 2
-

1 1
j- j-
2j 2 2j 2 2
M M

1 1 1 1

j + 2(j - ) + 1 j + 2(j - ) + 1
2 2 2 2
= - = 0
2j 4Ą 2j 4Ą
j
(4.129)

Oczekujemy, że tensor W będzie związany z tensorem H (3.3), gdyż
choć pracujemy w innej bazie, to opisujemy tą samą fizykę co w rodziale 3.
Zapiszmy jawnie H

1
2 2
H = M2 (ks (p2 )us(p)) (ks (p2 )us(p))"
2
s,s2

2
1 Ep + M Ep + M
2
= M2 + s+ s
s2 s
2 2M 2M
s,s2

2
1 (Ep + M)(Ep + M)
2
= +  s
s2
2 4
s2


2
1 (Ep + M)(Ep + M)

= + A2 1 + B2 s (4.130)
 2
s2
2 4
s2
+

2
1 (Ep + M)(Ep + M)
2 2
= A2  s 1s
2 4
s2

2
1 (Ep + M)(Ep + M)

+ B2  +
s
s2 2
2 4
s2
2
(Ep + M)(Ep + M)
= A2 
4
50
co wynika z własności

+1s = 2 (4.131)
s
s
oraz

+is = 0 (4.132)
s
s
Wykorzystując otrzymaną zależność między A2  i H, wyrażenie na tesnor

W (4.121) zapisujemy w postaci

4
 2 2
W = Ef Ep(2Ą)V N2 HĆ+ (p2 )ĆjM(p2 )(Ef+E2 -E-Ei)
Ć Ć
jM
(Ef + M)(Ep + M)
jM
(4.133)
2
Współczynnik N2 (por. (4.118)) jest równy
1 e2 (Ef + M)(Ep + M)
2
N2 = (4.134)
2
4 V Ef Ep
zatem


W = e2H(2Ą) Ć+ (p2 )ĆjM(p2 )(Ef + E2 - E - Ei) (4.135)
Ć Ć
jM
jM
Przypomnijmy sobie, że dla fal płaskich otrzymaliśmy wynik

W = e2H(Ef + E2 - E - Ei) (4.136)
W tej sytuacji okazuje się, że sumowanie po j, M prowadzi do rozbieżności,
o czym łatwo przekonać się, korzystając z własności harmonik sferycznych
(4.128)
51


1 1
j + M
M- j - M
M+
2 2
Ć+ (p2 )ĆjM(p2 ) = |Yj- |2 + |Yj- |2
Ć Ć
1 1
jM
2j 2 2j 2
jM jM

1

1 1
j +
M- 1 1
M-
2 2 2
= |Yj- |2 + (M - )|Yj- |2
1 1
2j 2 2j 2 2
j m m

1

1 1
j +
1
M+ M+
2
2 2
+ |Yj- |2 - (M + )|Yj- |2
1 1
2j 2 2 2
m m

1 1

j + 2(j - ) + 1
2 2
= 2
2j 4Ą
j

1

j +
2j
2
=
2j 2Ą
j

1 1
= (j + ) = "
2Ą 2
j
(4.137)
52
5 Podsumowanie
Praca miała na celu przygotowanie do rachunków DWIA przez obliczenie in-
kluzywnego przekroju czynnego w dwóch bazach. Przy użyciu bazy momentu
pędu powinniśmy otrzymać dokładnie ten sam wynik, co w podejściu standar-
dowym, gdy cząstki swobodne opisujemy falą płaską. Uzgodnienie normaliza-
cji funkcji falowej jest niezbędne do wykonania kolejnego kroku, modelowania
oddziaływania nukleonu w jądrze przez potencjał Woodsa-Saxona.
Uzyskano niemal całkowitą zgodność wyników, za wyjątkiem czynnika
normalizacyjnego, który dla bazy momentu pędu jest formalnie nieskończo-
noscią. Nieskończoność może być związana z subtelnościami matematyczny-
mi, które pojawiają się, gdy przechodzimy z przestrzeni dyskretnej do ciągłej
i vice versa. Musimy również pamiętać, że z jednej strony zamykaliśmy świat
w pudle o objętości V = L3, a z drugiej w kuli o promieniu R i niewykluczone,
że tu należy szukać rozwiązania problemu.
Praca jest niezbędnym punktem wyjścia do dalszych rozważań. Po tym
jak uda się znalezć rozwiązanie problemu nieskończoności, wynik będzie moż-
na wykorzystać do obliczenia inkluzywnego przekroju czynnego dla rozpra-
szania elektronu na jądrze w przybliżeniu DWIA, a następnie uogólnić go na
przypadek neutrin.
53
Literatura
[1] V.B. Berestetskii, E.M. Lifshitz Quantum Electrodynamics (1980)
[2] C. Itzykson, J.B. Zuber Quantum Field Theory (1980)
[3] J. D. Bjorken, S. D. Drell Relativistic Quantum Mechanics (1964)
[4] S. Weinberg The Quantum Theory of Fields (1995)
[5] A. I. Akhiezer, V. B. Berestetskii Elements of Quantum Electrodynamics
(1959)
[6] A. Aste Coulomb distortion effects in quasi-elastic (e,e ) scattering on
heavy nuclei, http://arxiv.org/abs/0710.1261v3 (2008)
[7] L.D. Landau, E.M. Lifshitz Quantum Mechanics - Non-Relativistic The-
ory (1977)
[8] M. Anghinolfi et al., J. Phys. G 21, L9 (1995)
[9] M. Anghinolfi et al., Nucl. Phys. A602, 405 (1996)
[10] J. S. O Connell et al., Phys. Rev. C 35, 1063 (1987)
[11] J.M. Udias Lepton-Nucleus Scattering in a Relativistic Framework: Elec-
tromagnetic and Neutral Current Case (1995)
[12] J.M. Udias et al., Phys. Rev. C 51, 6 (1995)
[13] B. Povh, K. Rith, C. Scholz, F. Zetsche Particles and Nuclei (2006)
54


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
PTW MSC
msc
MSC MEPC 2 circ2
MSC
2006 Golan kont wzrokowy
MSC MEPC[1][1] 3 Circ 3
cw 5 przeciwbólowe i msc znieczulające
MSC MEPC 4 circ1
Fanuc MSC 500 MS [AP] L807 85 3
zasady SO msc
MSC circ1030
Bobis i wsp 06 MSC
MSC
msc f H0
msc@f H0
Fanuc MSC 5 21 MS [TC] L521 85
golan

więcej podobnych podstron