Całki wielokrotne, krzywoliniowe i powierzchniowe Next: Całki powierzchniowe Up: Zadania z matematyki dla Previous: Algebra i geometria analityczna   Contents Całki wielokrotne, krzywoliniowe i powierzchniowe Cakę zamień na caki
iterowane i
jesli jest
(a) trójkątem o wierzchokach , i
(b) koem .

Zmień kolejnosc cakowania w cakach podwójnych :


Oblicz
gdy jest koem o srodku w i
promieniu .

Przechodząc do wspórzędnych biegunowych oblicz


Narysuj bryę której objętosc wyznacza caka:


Oblicz objętosci bry ograniczonych powierzchniami:
(a) , , , , .
(b) , , , .
(c) , , .
(d)
.

Znajdź wspórzędne srodka cięzkosci
jednorodnej figury ograniczonej krzywymi:


Oblicz pole które z powierzchni wycina walec .

Przy pomocy caki potrójnej oblicz objętosc bryy
ograniczonej powierzchniami:


Przechodząc do wspórzędnych cylindrycznych oblicz
(gdzie jest bryą
ograniczoną powierzchniami: .

Oblicz cakę potrójną
, gdzie jest
bryą ograniczoną powierzchnią .

Oblicz , gdzie jest częscią
okręgu o srodku w zawartym między punktami
i .

Jaką pracę wykona punkt materialny poruszający się w polu
si:
po uku
od do
.

Oblicz
(a)
(b)
(c) i korzystając z twierdzenia Greene'a
(d) .
(e)
(f)
gdzie jest dodatnio zorientowanym brzegiem
obszaru ograniczonego krzywymi , w pierwszej ćwiartce
układu współrzędnych.

Oblicz

Znajdź masę krzywej , , , ,
której gęstość masy jest proporcjonalna do kwadratu odległości punktu od
punktu .

Oblicz całki powierzchniowe niezorientowane:

(a) , gdzie jest wycinkiem sfery .
(b) , gdzie jest cęścią stożka
położoną nad podzbiorem płaszczyzny
ograniczonym nierównościami:
.
(c) , gdzie jest wycinkiem płaszczyzny

której rzutem na płaszczyzne jest .
(d) , gdzie jet częścią stożka
ponad kołem
dla i .
(e) , gdzie jest częścią sfery
ponad kołem .
(f) , gdzie jest czworościanem ograniczonym
płaszczyznami układu współrzędnych i .
(g) , gdzie jest powierzchnią ograniczoną
zamkniętym walcem: , .



Oblicz strumień cieczy przepływającej ku górze przez
północną sferę przy szybkości przepływu
.


Oblicz całki powierzchniowe zorientowane:
(a) , gdy
(i) jest częścią płaszczyzny , zorientowaną ku górze
(ii) jest zamkniętą, północną połową kuli:
zorientowaną na zewnątrz.


(b) , gdy jest zadana przez:


Znajdź strumień wypływający na zewnątrz powierzchni zamkniętej
gdy
(a) jest czworościanem ograniczonym przez płaszczyznę
i płaszczyznami układu współrzędnych a prędkość
przepływu .
(b) jest ograniczona przez stożek
i płaszczyznę a prędkość przepływu
.


Podczas wykładu udowodniliśmy, że jeśli pole wektorowe
i powierzchnia spełniają założenia twierdzenia
Gaussa-Ostrogradskiego, wtedy
Udowodnij dwa "brakujące ogniwa" dowodu twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego,
t.j. równości



Korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradzkiego oblicz te z całek zadań
i w których jest powierzchnią zamkniętą.

Oblicz strumień cieczy wypływający na zewnątrz powierzchni z
prędkością .
(a) ,

(b) , , .

(c) , .

(por. )
Na wykładzie udowodniliśmy, że przy stosownych założeniach
(przypomnij jakich?!) o polu wektorowym i powierzchni zachodzi
wzór
Udowodnij pozostałe dwa wzory uzupełniając w ten sposób dowód twierdzenia
Stokesa.

Poniższe całki oblicz
(a) korzystając ze wzoru na zamianę całki krzywoliniowej na oznaczoną (bez
korzystania z twierdzenia Stokesa),
(b) korzystając z twierdzenia Stokesa.

(W każdym z przykładów wybierz jedną z dwóch możliwych orientacji
krzywej .)

(i) ,

(ii) ,

Korzystając z twierdzenia Stokesa oblicz ( zorientuj jakkolwiek):

(a) , trójkąt o wierzchołkach . (b) , gdzie jest przecięciem powierzchni o równaniu
z walcem .

(c) , gdzie jest
przecięciem płaszczyzny z płaszczyznami układu.
Next: Całki powierzchniowe Up: Zadania z matematyki dla Previous: Algebra i geometria analityczna   Contents